山东省泰安市2019年中考数学试题(解析版)

泰安市2019年初中学业水平考试数学试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）
1.在实数| 3.14|-，3-，π中，最小的数是（ ）
A. B. 3- C. | 3.14|- D. π 【答案】B
根据实数的比较大小的规则比较即可. 【详解】解：-3.14=3.14；
因此根据题意可得-3是最小的
故选B.
【点睛】本题主要考查实数的比较大小，关键在于绝对值符号的去掉，根据负数绝对值越大，反而越小.2.下列运算正确的是（ ）
A. 633a a a ÷=
B. 428a a a ⋅=
C. ()32626a a =
D. 224a a a += 【答案】A
根据整式的运算法则逐个计算即可.
【详解】A 正确，63633a a a a -÷==
B 错误，44262a a a a +==⋅
C 错误，()32628a a =
D 错误，2222a a a +=
故选A.
【点睛】本题主要考查整式的计算法则，关键在于幂指数的计算法则，是常考点.
3.2018年12月8日，我国在西昌卫星发射中心成功发射“嫦娥四号”探测器，“嫦娥四号”进入近地点约200公里，远地点约42万公里的地月转移轨道.将数据42万公里用科学记数法表示为（ ）
A. 94.210⨯米
B. 84.210⨯米
C. 74210⨯米
D. 74.210⨯米
【答案】B
根据科学记数法的表示方法表示即可.
详解】解：42万公里=84.210⨯米
故选B. 【点睛】本题主要考查科学记数法的表示方法，关键在于指数的计算. 4.下列图形：
其中是轴对称图形且有两条对称轴的是（ ） A. ①② B. ②③
C. ②④
D. ③④ 【答案】A
根据题意首先将各图形的对称轴画出，在数对称轴的条数即可. 【详解】1有两条对称轴；2有两条对称轴；3有四条对称轴；4不是对称图形
故选A. 【点睛】本题主要考查图形的对称轴，关键在于对称轴的概念的掌握.5.如图，直线12l l ，130∠=︒，则23∠+∠=（ ）
A. 150°
B. 180°
C. 210°
D. 240°
【答案】C
【
根据题意作直线l 平行于直线l 1和l 2，再根据平行线的性质求解即可.
【详解】解：作直线l 平行于直线l 1和l 2
12////l l l
1430;35180︒︒∴∠=∠=∠+∠=
245∠=∠+∠
2+3=4+5+3=30180210︒︒︒∴∠∠∠∠∠+=
故选C.
【点睛】本题主要考查平行线的性质，关键在于等量替换的应用，两直线平行同旁内角互补，两直线平行内错角相等.6.某射击运动员在训练中射击了10次，成绩如图所示：
下列结论不正确的是（ ）
A. 众数8
B. 中位数是8
C. 平均数是8.2
D. 方差是1.2 【答案】D
首先根据图形数出各环数出现的次数，在进行计算众数、中位数、平均数、方差.
【详解】根据图表可得10环的2次，9环的2次，8环的3次，7环的2次，6环的1次.所以可得众数是8，中位数是8，平均数是102+92+83+72+61=8.210
⨯⨯⨯⨯⨯ 方差是22222
2(108.2)2(98.2)3(88.2)2(78.2)(68.2) 1.5610
⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+-=
故选D
【点睛】本题主要考查统计的基本知识，关键在于众数、中位数、平均数和方差的概念.特别是方差的公式.7.不等式组542(1)253213
2x x x x +≥-⎧⎪+-⎨->⎪⎩的解集是（ ） A. 2x ≤
B. 2x ≥-
C. 22x -<≤
D. 22x -≤<
【答案】D
根据不等式的性质解不等式组即可.
【详解】解： 542(1)253213
2x x x x +≥-⎧⎪+-⎨->⎪⎩化简可得：22x x ≥-⎧⎨<⎩ 因此可得22x -≤<
故选D.
【点睛】本题主要考查不等式组的解，这是中考的必考点，应当熟练掌握.8.如图，一艘船由A 港沿北偏东65
°方向航行至B 港，然后再沿北偏西40°方向航行至C 港，C 港在A 港北偏东20°方向，则A ，C 两港之间的距离为（ ）km .
A. 30+
B. 30+
C. 10+
D. 【答案】B 根据题意作BD 垂直于AC 于点D ，根据计算可得45DAB ︒∠=，60BCD ︒∠=;根据直角三角形的性质求解即可
.
【详解】解：根据题意作BD 垂直于AC 于点D.可得AB= ，652045DAB ︒︒︒∠=-=
204060DCB ︒︒︒∠=+=
所以可得cos 45302
AD AB ︒===
sin 45302
BD AB ︒===
tan 60BD CD ︒===
因此可得30AC AD CD =+=+
故选B.
【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，根据特殊角的三角函数值计算即可.9.如图，ABC ∆是O 的
内接三角形，119A ∠=︒，过点C 的圆的切线交BO 于点P ，则P ∠的度数为（ ）
A. 32°
B. 31°
C. 29°
D. 61°
【答案】A 根据题意连接OC ，COP ∆为直角三角形，再根据BC 的优弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，可计算的COP ∠的度，再根据直角三角形可得P ∠的度数.
【详解】根据题意连接OC.因为119A ∠=︒
所以可得BC 所对的大圆心角为2119238BOC ︒︒∠=⨯=
因为BD 为直径，所以可得23818058COD ︒︒︒∠=-=
由于COP ∆为直角三角形
所以可得905832P ︒︒︒∠=-=
故选A.
【点睛】本题主要考查圆心角的计算，关键在于圆心角等于同弧所对圆周角的2倍.10.一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5，的五个小球，这些球除标号外都相同，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于5的概率为（ ） A. 15 B. 25 C. 35 D. 45
【答案】C
根据树状图首先计算出总数，再计算出小球标号之和大于5的数，利用概率的计算公式可得摸出的小球标号之和大于5的概率.
【详解】解：根据题意可得树状图为：
一共有25种结果，其中15种结果是大于5的
因此可得摸出的小球标号之和大于5的概率为
153255= 故选C.
【点睛】本题主要考查概率计算的树状图，关键在于画树状图，根据树状图计算即可.11.如图，将O 沿
弦AB 折叠，AB 恰好经过圆心O ，若O 的半径为3，则AB 的长为（ ）
A. 12π
B. π
C. 2π
D. 3π
【答案】C 根据题意作OC AB ⊥,垂足为C ，根据题意可得OC=32
，因此可得30OAB ︒∠=,所以可得圆心角120AOB ︒∠=,进而计算的AB 的长.
【详解】根据题意作OC AB ⊥,垂足为C
O 沿弦AB 折叠，AB 恰好经过圆心O ，若O 的半径为3
32OC ∴=
,30OAB ︒∠= ∴圆心角120AOB ︒∠=
∴AB =
120232360ππ⨯⨯= 故选C.
【点睛】本题主要考查圆弧的计算，关键在于确定圆心角.12.如图，矩形ABCD 中，4AB =，2AD =，E 为AB 的中点，F 为EC 上一动点，P 为DF 中点，连接PB ，则PB 的最小值是（ ）
A. 2
B. 4
C.
D.
【答案】D 根据题意要使PB 最小，就要使DF 最长，所以可得当C 点和F 点重合时，才能使PB 最小，因此可计算的
PB 的长.
【详解】解：根据题意要使PB 最小，就必须使得DF 最长，因此可得当C 点和F 点重合时，才能使PB 最小.
当C 和F 重合时，P 点是CD 的中点
2CP ∴=
BP ∴===
故选D.
【点睛】本题主要考查矩形中的动点问题，关键在于问题的转化，要使PB 最小，就必须使得DF 最长.二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）
13.已知关于x 的一元二次方程22
(21)30x k x k --++=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是_____. 【答案】114
k <- 根据根与系数的关系可得要使22(21)30x k x k --++=有两个不相等的实数根，则必须>0∆，进而可以
计算出k 的取值范围.
【详解】解：根据根与系数的关系可得要使22
(21)30x k x k --++=有两个不相等的实数根，则>0∆. 22(21)4(3)k k ∆=--+
114
k ∴<- 故答案为114
k <-. 【点睛】本题主要考查二元一次方程的根与系数的关系，根据方程根的个数，列不等式求解.14.《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相同，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各种多少两？设黄金重x 两，每枚白银重y 两，根据题意可列方程组为____.
【答案】911(10)(8)13x y y x x y =⎧⎨+-+=⎩
根据题意甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相同.故可得911x y = ，再根据两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两，可得(10)(8)13y x x y +-+=,因此可得二元一次方程组.
【详解】根据题意可得甲袋中的黄金9枚和乙袋中的白银11枚质量相等，可得911x y =，
再根据两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两.故可得(10)(8)13y x x y +-+=.
因此911(10)(8)13x y y x x y =⎧⎨+-+=⎩
所以答案为911(10)(8)13x y y x x y =⎧⎨+-+=⎩
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，关键在于理解题意，这是中考的必考题,必须熟练掌握.15.如图，90AOB ∠=︒，30B ∠=︒，以点O 为圆心，OA 为半径作弧交AB 于点A ，点C ，交OB 于点D ，若3OA =，则阴影部分的面积为_____.
【答案】34
π
根据题意连接OC ，可得阴影部分的面积等于两个阴影部分面积之和，再根据弧AC 所对的阴影部分面积等于弧AC 所对圆心角的面积减去OAC ∆的面积，而不规则图形BCD 的面积等于OBC ∆的面积减去弧DC 所对圆心角的面积.进而可得阴影部分的面积.
【详解】解：根据题意连接OC
,90903060OA OC OAB B ︒︒︒︒=∠=-∠=-=
ACO ∴∆为等边三角形
60AOC ︒∴∠=
∴阴影部分面积1=26013333cos3036022ππ︒⨯⨯-⨯⨯=
∴阴影部分面积2=2133033223604
ππ⨯-⨯⨯= ∴阴影部分面积=阴影部分面积1+阴影部分面积2=34
π 故答案为34
π。

【点睛】本题只要考查圆弧的面积计算，关键在于阴影部分面积的分割.16.若二次函数2
5y x bx =+-的对称轴为直线2x =，则关于x 的方程25213x bx x +-=-的解为_____.
【答案】12x =，24x =
首先根据对称轴求出参数b,再将参数代入方程中求解方程即可. 【详解】解：二次函数25y x bx =+-的对称轴为直线2x = 22
b ∴-= 4b ∴=-
因此方程为251423x x x -=--
所以可得122,4x x ==
故答案为12x =，24x =.
【点睛】本题主要考查二次函数与一元二次方程的问题，关键在于根据对称轴确定参数.17.在平面直角坐标系中，直线:1l y x =+与y 轴交于点1A ，如图所示，依次作正方形111OA B C ，正方形1222C A B C ，正方形
2333C A B C ，正方形3444C A B C ，…，点1A ，2A ，3A ，4A ，…在直线l 上，点1C ，2C ，3C ，4C ,…在x 轴正半轴上，则前n 个正方形对角线的和是_____.
【答案】(21n -根据题意可得11OA =,212A C =,324A C =, 112n n n A C --=,进而计算每个正方形的对角线,再求和即可.
【详解】解：根据根据题意可得11OA =,212A C =,324A C =,
112n n n A C --=
所以可得正方形111OA B C
正方形1222C A B C 的对角线为
正方形2333C A B C 的对角线为
正方形3444C A B C 的对角线为
正方形1n n n n C A B C -的对角线为2n -所以前n 个正方形对角线的和为
1122(1248+2)2n n --+=++++ =(21n -
故答案为(21n -【点睛】本题主要考查学生的归纳总结能力，关键在于根据前面的简单的规律，总结出后面的规律.18.如图，
矩形ABCD 中，AB =12BC =，E 为AD 的中点，F 为AB 上一点，将AEF ∆沿EF 折叠后，点A 恰好落到CF 上的点G 处，则折痕EF 的长是____.
【答案】首先根据题意连接EC.再根据勾股定理计算EC 、GC 的长，设BF=x ,根据勾股定理列方程进而求解未知数x .再计算EF 的长度.
【详解】根据题意连接EC,
AEF ∆沿EF 折叠后，点A 恰好落到CF 上的点G 处
EFG ∴∆为直角三角形，,AF FG EG AE ==
在直角三角形EGC ∆中，EC =
==
所以GC ===
设BF=x ,所以FC x = ，BC=12
根据勾股定理可得22212)x x +=
所以可得x
所以可得EF ===
因此答案为.
【点睛】本题主要考查矩形的知识，关键在于折叠的图形的性质不变,和原来的图形是全等的.三、解答题（本大题共7小题，满分78分）
19.先化简，再求值：25419111a a a a a -⎛⎫⎛⎫-+
÷-- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，其中a =
【答案】1-
首先将分式化简，化成最简式，再将参数代入计算即可. 【详解】原式22892514111
a a a a a a --+--+=+++ 2(4)11(4)
a a a a a -+=⋅+- 4a a
-=
当a =1
==- 【点睛】本题主要考查分式的化简，根据化简的分式求值，这是中考的必考题，应当熟练掌握.20.为了弘扬泰山文化，某校举办了“泰山诗文大赛”活动，从中随机抽取部分学生的比赛成绩，根据成绩（高成都绩于50分），绘制了如下的统计图表（不完整）；
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）求出a 、b 的值；
（2）计算扇形统计图中“第5组”所在扇形圆心角的度数；
（3）若该校共有1800名学生，那么成绩高于80分的共有多少人.
【答案】（l ）12a =，7b =；（2）27︒ ；（3）成绩高于80分的共有900人
（1）根据第三组的学生人数除以所占的百分比，计算出总人数，再利用第二组所占的百分比乘以总人数，可计算的a 的值，进而计算b 的值.
（2）首先计算第五组人数所占的百分比，再利用圆周角的性质计算即可.
（3）首先计算样本中大于80分人数的百分比，再利用总数乘以样本比例，可得出成绩高于80分的人数.
【详解】（l ）抽取学生的人数：1025%40÷=（人）
4030%12a =⨯=，408121037b =----=
（2）33602740
⨯
=︒︒ （3）812180090040+⨯=（人） 所以，成绩高于80分的共有900人
【点睛】本题主要考查统计的基本知识，关键在于总人数的求解，这是中考的必考题,必须熟练掌握.21.已知一次函数y kx b =+的图象与反比例函数m y x =
的图象交于点A ，与x 轴交于点(5,0)B ，若OB AB =，且152
OAB S ∆=.
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）若点P 为x 轴上一点，ABP ∆是等腰三角形，求点P 的坐标.
【答案】（l ）27y x = ，31544y x =- ；（2）1(0,0)P 、2(10,0)P ，3(13,0)P ，465,08P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
（1）根据152OAB S ∆=
可计算出A 点的纵坐标，进而利用勾股定理计算出A 点的横坐标，代入可得一次函数和反比例函数的解析式.
（2）根据题意可得有三种情况，一种是AB 为底，一种是AB 为腰，以A 为顶点，一种是AB 为腰，以B 为顶点.
【详解】（l ）过点A 作AD x ⊥轴于点D ∵152OAB S ∆=
∴11155222
OB AD AD ⨯⋅=⨯⨯= ∴3AD =
∵(5,0)B ∴5AB OB ==
在Rt ABD ∆
中，4BD =
==
∴9OD =∴(9,3)A ∵m y x =
经过点A ∴39
m = ∴27m = ∴反比例函数表达式为27y x = ∵y kx b =+经过点A ，点B
∴9350k b k b +=⎧⎨+=⎩解得34154k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
∴一次函数表达式为31544
y x =-
（2）本题分三种情况
①当以AB 为腰，且点B 为顶角顶点时，可得点P 的坐标为1(0,0)P 、2(10,0)P
②当以AB 为腰，且以点A 为顶角顶点时，点B 关于AD 的对称点即为所求的点3(13,0)P
③当以AB 为底时，作线段AB 的中垂线交x 轴于点4P ，交AB 于点E ，则点4P 即为所求
由（1）得，150,4C ⎛
⎫- ⎪⎝⎭
在Rt OBC
中，254BC === ∵4cos cos ABP OBC ∠=∠
∴4BE OB BP BC =∴4552254
BP =∴4258BP =∴42565588
OP =+= ∴465,08P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
【点睛】本题主要考查一次函数和反比例函数的综合性问题，关键在于第二问中的等腰三角形，要分AB 为腰和底，为腰又要分顶点是A 还是B.22.端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗，某商场在端午节来临之际用3000元购进A 、B 两种粽子1100个，购买A 种粽子与购买B 种粽子的费用相同，已知A 粽子的单价是B 种粽子单价的1.2倍.
（1）求A 、B 两种粽子的单价各是多少？
（2）若计划用不超过7000元的资金再次购买A 、B 两种粽子共2600个，已知A 、B 两种粽子的进价不变，求A 中粽子最多能购进多少个？
【答案】（l ）A 种粽子的单价是3元，B 种粽子的单价是2.5元；（2）A 种粽子最多能购进1000个. （1）根据题意列出分式方程计算即可，注意根的验证.
（2）根据题意列出不等式即可，根据不等式的性质求解.
【详解】（l ）设B 种粽子的单价为x 元，则A 种粽子的单价为1.2x 元
根据题意，得
1500150011001.2x x
+= 解得： 2.5x =
经检验， 2.5x =是原方程的根
1.2 1.2
2.53x =⨯=
所以A 种粽子的单价是3元，B 种粽子的单价是2.5元
（2）设A 种粽子购进m 个，则购进B 种粽子(2600)m -个
根据题意，得
3 2.5(2600)7000m m +-…
解得1000m ≤
所以，A 种粽子最多能购进1000个
【点睛】本题主要考查分式方程的应用，关键在于分式方程的解需要验证.23.在矩形ABCD 中，AE BD ⊥于点E ，点P 是边AD 上一点.
（1）若BP 平分ABD ∠，交AE 于点G ，PF BD ⊥于点F ，如图①，证明四边形AGFP 是菱形；
（2）若PE EC ⊥，如图②，求证：AE AB DE AP ⋅=⋅；
（3）在（2）的条件下，若1AB =，2BC =，求AP 的长.
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）12
AP = （1）根据若BP 平分ABD ∠，可得AP PF =，再利用APB BGE ∠=∠，可证明AP AG =，进而可得AP AG PF == 和PF AG ，所以可证四边形AGFP 是菱形.
（2）只要证明~AEP DEC ∆∆，再结合CD AB =，即可证明AE AB DE AP ⋅=⋅.
（3）根据题意可得tan ADB ∠ 再利用（2）的结论即可得AP.
【详解】（1）证明：∵BP 平分ABD ∠，PF BD ⊥，PA AB ⊥
∴AP PF = ABP GBE
∠=∠ 又∵在Rt ABP ∆中，90APB ABP ∠+∠=︒
在Rt BGE ∆中，90BGE GBE ∠+∠=︒
∴APB BGE ∠=∠
又∵BGE AGP ∠=∠ ∴APB AGP ∠=∠
∴AP AG = ∴AG PF =
∵PF BD ⊥，AE BD ⊥ ∴PF AG
∴四边形AGFP 是平行四边形
∴AGFP 是菱形
（2）∵AE BD ⊥，PE EC ⊥
∴90AEP PED ∠+∠=︒，90CED PED ∠+∠=︒
∴AEP CED ∠=∠
又∵90PAE ADE ∠+∠=︒，90CDE ADE ∠+∠=︒
∴PAE CDE ∠=∠
∴~AEP DEC ∆∆ ∴AE AP DE CD
= ∴AE CD DE AP ⋅=⋅ 又∵CD AB = ∴AE AB DE AP ⋅=⋅
（3）∵1AB =，2BC = ∴1tan 2
AE AB ADB DE AD ∠=
== 由（2）知 12
AP AE CD DE == ∴1122
AP CD == 【点睛】本题主要考查矩形的综合性问题，关键在于利用相似求相似比例,这是中考的必考点，必须熟练掌握.24.若二次函数2
y ax bx c =++的图象与x 轴分别交于点(3,0)A 、(0,2)B -，且过点(2,2)C -. （1）求二次函数表达式；
（2）若点P 为抛物线上第一象限内的点，且4PAB S ∆=,求点P 的坐标；
（3）在抛物线上（AB 下方）是否存在点M ，使ABO ABM ∠=∠？若存在，求出点M 到y 轴的距离；若不存在，请说明理由.
【答案】（l ）224233y x x =-- ；（2）点P 的坐标为104,3⎛⎫ ⎪⎝⎭
；（3）点M 到y 轴的距离为118 . （1）根据待定系数法，计算即可.
（2）首先设出P 点的坐标，再利用PAB POA AOB POB S S S S ∆∆∆∆=+-求解未知数，可得P 点的坐标. （3）首先求出直线AB 的解析式，过点M 作ME y ⊥轴，垂足为E ，作MD x ⊥轴交AB 于点D ，再利用平行证明MD MB =，列出方程求解参数，即可的点M 到y 轴的距离.
【详解】（l ）因为抛物线2
y ax bx c =++过点(0,2)-，∴2c =-， 又因为抛物线过点(3,0)，(2,2)- ∴93204222a b a b +-=⎧⎨+-=-⎩
解，得234
3a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
所以，抛物线表达式为224233
y x x =-- （2）连接PO ，设点224,233P m m m ⎛
⎫-- ⎪⎝
⎭. 则PAB POA AOB POB S S S S ∆∆∆∆=+-
212411323222332
2m m m ⎛⎫=⨯⋅--+⨯⨯-⨯⋅ ⎪⎝⎭ 23m m =-
由题意得234m m -=
∴4m =或1m =-（舍） ∴224102333
m m --= ∴点P 的坐标为104,
3⎛⎫ ⎪⎝⎭.
（3）设直线AB 的表达式为y kx n =+，因直线AB 过点(3,0)A 、 (0,2)B -，
∴302k n n +=⎧⎨=-⎩
解，得232
k n ⎧=⎪⎨⎪=-⎩
所以AB 的表达式为223
y x =- 设存在点M 满足题意，点M 坐标为22
4,233t t t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
，过点M 作ME y ⊥轴，垂足为E ，作MD x ⊥轴交AB 于点D ，则D 的坐标为2,
23t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2223MD t t =-+，22433BE t t =-+. 又MD y 轴
∴ABO MDB ∠=∠
又∵ABO ABM ∠=∠
∴MDB ABM ∠=∠
∴MD MB =
的
∴2
223MB t t =-+.
在Rt BEM ∆中 222222422333t t t t t ⎛⎫⎛⎫-++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
解得：118
t = 所以点M 到y 轴的距离为
118 【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数综合性问题，难度系数高,但是是中考的必考知识点,应当熟练地掌握.25.如图，四边形ABCD 是正方形，EFC ∆是等腰直角三角形，点E 在AB 上，且90CEF ∠=︒，FG AD ⊥，垂足为点G .
（1）试判断AG 与FG 是否相等？并给出证明.
（2）若点H 为CF 的中点，GH 与DH 垂直吗？若垂直，给出证明；若不存在，说明理由.
【答案】（l ）AG FG =，见解析；（2）DH GH ⊥，见解析.
（1）首先假设AG FG =，在BC 边上取BM BE =，连接EM 、AF ，进而证明AEF MCE ∆≅∆，可得45DAF ∠=︒，即可证明AG FG =. （2）假设垂直，延长GH 交CD 于点Q ，证明FGH CQH ∆≅∆,进而证明DCQ ∆是等腰三角形，即可证明DH GH ⊥.
【详解】（l ）AG FG =
证明如下：在BC 边上取BM BE =，连接EM 、AF
∵四边形ABCD 是正方形
∴AB BC =
∴AE CM = 的
∵90CEF ∠=︒
∴90AEF BEC ∠+∠=︒
又∵90BEC BCE ∠+∠=︒
∴AEF BCE ∠=∠
又∵CE EF =
∴AEF MCE ∆≅∆
∴135EAF EMC ∠=∠=︒
又∵90BAD ∠=︒
∴1359045DAF ︒-︒∠==︒
又∵FG AD ⊥
∴AG FG =.
（2）DH GH ⊥
证明如下：延长GH 交CD 于点Q
∵四边形ABCD 是正方形
∴AD CD ⊥
又∵FG AD ⊥
∴FG CD
∴GFH DCH ∠=∠
又∵GHF CHQ ∠=∠
FH CH =
∴FGH CQH ∆≅∆
=
∴GH HQ
=
FG CQ
=
∴AG CQ
=
∴DG DQ
∆是等腰三角形
∴DCQ
⊥.
∴DH GH
【点睛】本题主要考查正方形的性质，关键在于结合三角形的全等来证明，这是几何的重要考点，应当熟
练地掌握.。