伪随机序列

《通信信号处理》专题

姓名：杨晶超

学号：s2*******

目录

1 伪随机序列的概念

2 伪随机序列的相关函数

3 m序列

• 3.1 m序列的定义

• 3.2 m序列的构造

• 3.3 m序列的性质

• 3.4 m序列的相关性

4 M序列

5 Gold序列

• 5.1 m序列优选对

• 5.2 Gold序列的产生方法

• 5.3 Gold序列的相关特性

6 伪随机序列的应用

• 6.1 扩展频谱通信

• 6.2 码分多址(CDMA)通信

• 6.3 通信加密

• 6.4 误码率的测量

• 6.5 数字信息序列的扰码与解扰• 6.6 噪声产生器

• 6.7 时延测量

1 伪随机序列的概念

扩频系统的扩频运算是通过伪随机序列来实现的。从理论上来讲，用纯随机序列来扩展信号的频谱是最理想的，但是接收端必须复制同一个随机序列，由于随机序列的不可复制性，因此在工程中，无法使用纯随机序列，而改为采用伪随机序列。

随机序列通信的基本理论源于香农的编码定理。香农编码定理指出：只要信息速率R d 小于信道容量C ，则总可以找到某种编码方法，使得在码字相当长的条件下，能够几乎无差错地从高斯白噪声干扰的信号中恢复出原发送的信号。

伪随机序列应当具有类似理想随机序列的性质。在工程上常用二元{0，1}序列来产生伪随机序列，它具有以下三个特点：

(1)随机序列中的“0”的个数和“1”的个数接近相等；

(2)随机序列中长度为1的游程约占游程总数的1/2，长度为2的游程约占游程总数的(1/2)2，长度为3的游程约占游程总数的(1/2)3…… 在同长度的游程中，“0”的游程数和“1”的游程数大致相等；

(3)随机序列的自相关函数具有类似白噪声自相关函数的性质。

2 伪随机序列的相关函数

(1) 凡自相关函数满足

(

)1201

11,011,0N i i a N i i j i a j N R j a a j N N -=-+=⎧

==⎪

⎪

=⎨⎪=-≠⎪⎩∑∑ 则为狭义伪随机序列。

(2) 凡自相关函数满足

(

)1201

011,01

1,0N i i a

N i i j i a j N R j a a c j N -=-+=⎧

==⎪

⎪

=⎨

⎪=<≠⎪⎩

∑∑ 则为广义伪随机序列。

3 m 序列

3.1 m 序列的定义

m 序列是最长线性移位寄存器序列，线性移位寄存器是由移位寄存器加上反馈后所产生的。如图1所示。

图1 n 位线性反馈移位寄存器结构

对于一个序列{a n }，序列的生成多项式为

()2

012n

n G x a a x a x a x =+++⋅⋅⋅+

序列的特征多项式为

()2

012n

n F x c c x c x c x =+++⋅⋅⋅+

可以证明：()()

1G x F x =

反馈逻辑c i 一旦确定，产生的序列就确定了。由n 级移位寄存器产生的序列，其最大的周期为2n -1。因此，假设在二元域上的n 级线性反馈移位寄存器所产生的非零序列的周期为N=2n -1，则称这个序列为n 级最大周期线性移位寄存器序列，简称m 序列。

3.2 m 序列的构造

产生m 序列的条件由下述定理给出。

定理1：如果一个n 级线性移位寄存器所产生的序列周期是N=2n -1的m 序列，则其特征多项式必然是不可约的。

定理2：设()0n

i i i F x cx ==∑，c 0=c n =1是二元域上的多项式，以G(F)

代表由特征多项式所产生的所有非零序列的集合。于是G(F)中的非零序列均为m 序列的充要条件是F(x)为二元域上的本原多项式。 所谓本原多项式是指F(x)可整除1+x N ，N=2n -1，F(x)除不尽1+x M ，M

3.3 m 序列的性质

m 序列具有下列性质。

1. 平衡性

在m 序列中，“1”的个数比“0”的个数多1个，且“1”的个数为2n-1个，“0”的个数为2n-1-1个。

2. 移位可加性

一个m 序列同该序列的任意循环移位序列模2加是该序列的另一移位序列，即仍属于m 序列。

3. 游程特性

周期为N=2n -1的m 序列中，总共有2n-1个游程，长度为k 的游程个数占游程总数的1/2k ，其中1≤k ≤(n -2)。“0”和“1”的游程数目各占一半。长度为n-1的游程只有一个，为全“0”游程；长度为n 的游程也只有一个，为全“1”游程。

3.4 m 序列的相关性

m 序列相关函数定义为()1

1

N i i j

i R j a a N

-+==

∑ 根据m 序列的平衡性和移位可加性，可得

()1,01,1,2,,(1)j R j j N N

=⎧

⎪

=⎨-=±±⋅⋅⋅±-⎪⎩

由于m 序列是周期函数，因此自相关函数也是周期函数，它是以周期N 重复的。

若周期m 序列的每个码元宽度为T c ，则一个周期为T=NT c ，其自相关函数时域波形如图2所示：

图2 二元m 序列自相关函数波形

其功率谱密度曲线如图3所示：

图3 m 序列功率谱