伪随机序列

《通信信号处理》专题
姓名：杨晶超
学号：s2*******
目录
1 伪随机序列的概念
2 伪随机序列的相关函数
3 m序列
• 3.1 m序列的定义
• 3.2 m序列的构造
• 3.3 m序列的性质
• 3.4 m序列的相关性
4 M序列
5 Gold序列
• 5.1 m序列优选对
• 5.2 Gold序列的产生方法
• 5.3 Gold序列的相关特性
6 伪随机序列的应用
• 6.1 扩展频谱通信
• 6.2 码分多址(CDMA)通信
• 6.3 通信加密
• 6.4 误码率的测量
• 6.5 数字信息序列的扰码与解扰• 6.6 噪声产生器
• 6.7 时延测量
1 伪随机序列的概念
扩频系统的扩频运算是通过伪随机序列来实现的。

从理论上来讲，用纯随机序列来扩展信号的频谱是最理想的，但是接收端必须复制同一个随机序列，由于随机序列的不可复制性，因此在工程中，无法使用纯随机序列，而改为采用伪随机序列。

随机序列通信的基本理论源于香农的编码定理。

香农编码定理指出：只要信息速率R d 小于信道容量C ，则总可以找到某种编码方法，使得在码字相当长的条件下，能够几乎无差错地从高斯白噪声干扰的信号中恢复出原发送的信号。

伪随机序列应当具有类似理想随机序列的性质。

在工程上常用二元{0，1}序列来产生伪随机序列，它具有以下三个特点：
(1)随机序列中的“0”的个数和“1”的个数接近相等；
(2)随机序列中长度为1的游程约占游程总数的1/2，长度为2的游程约占游程总数的(1/2)2，长度为3的游程约占游程总数的(1/2)3…… 在同长度的游程中，“0”的游程数和“1”的游程数大致相等；
(3)随机序列的自相关函数具有类似白噪声自相关函数的性质。

2 伪随机序列的相关函数
(1) 凡自相关函数满足
(
)1201
11,011,0N i i a N i i j i a j N R j a a j N N -=-+=⎧
==⎪
⎪
=⎨⎪=-≠⎪⎩∑∑ 则为狭义伪随机序列。

(2) 凡自相关函数满足
(
)1201
011,01
1,0N i i a
N i i j i a j N R j a a c j N -=-+=⎧
==⎪
⎪
=⎨
⎪=<≠⎪⎩
∑∑ 则为广义伪随机序列。

3 m 序列
3.1 m 序列的定义
m 序列是最长线性移位寄存器序列，线性移位寄存器是由移位寄存器加上反馈后所产生的。

如图1所示。

图1 n 位线性反馈移位寄存器结构
对于一个序列{a n }，序列的生成多项式为
()2
012n
n G x a a x a x a x =+++⋅⋅⋅+
序列的特征多项式为
()2
012n
n F x c c x c x c x =+++⋅⋅⋅+
可以证明：()()
1G x F x =
反馈逻辑c i 一旦确定，产生的序列就确定了。

由n 级移位寄存器产生的序列，其最大的周期为2n -1。

因此，假设在二元域上的n 级线性反馈移位寄存器所产生的非零序列的周期为N=2n -1，则称这个序列为n 级最大周期线性移位寄存器序列，简称m 序列。

3.2 m 序列的构造
产生m 序列的条件由下述定理给出。

定理1：如果一个n 级线性移位寄存器所产生的序列周期是N=2n -1的m 序列，则其特征多项式必然是不可约的。

定理2：设()0n
i i i F x cx ==∑，c 0=c n =1是二元域上的多项式，以G(F)
代表由特征多项式所产生的所有非零序列的集合。

于是G(F)中的非零序列均为m 序列的充要条件是F(x)为二元域上的本原多项式。

所谓本原多项式是指F(x)可整除1+x N ，N=2n -1，F(x)除不尽1+x M ，M<N 。

3.3 m 序列的性质
m 序列具有下列性质。

1. 平衡性
在m 序列中，“1”的个数比“0”的个数多1个，且“1”的个数为2n-1个，“0”的个数为2n-1-1个。

2. 移位可加性
一个m 序列同该序列的任意循环移位序列模2加是该序列的另一移位序列，即仍属于m 序列。

3. 游程特性
周期为N=2n -1的m 序列中，总共有2n-1个游程，长度为k 的游程个数占游程总数的1/2k ，其中1≤k ≤(n -2)。

“0”和“1”的游程数目各占一半。

长度为n-1的游程只有一个，为全“0”游程；长度为n 的游程也只有一个，为全“1”游程。

3.4 m 序列的相关性
m 序列相关函数定义为()1
1
N i i j
i R j a a N
-+==
∑ 根据m 序列的平衡性和移位可加性，可得
()1,01,1,2,,(1)j R j j N N
=⎧
⎪
=⎨-=±±⋅⋅⋅±-⎪⎩
由于m 序列是周期函数，因此自相关函数也是周期函数，它是以周期N 重复的。

若周期m 序列的每个码元宽度为T c ，则一个周期为T=NT c ，其自相关函数时域波形如图2所示：
图2 二元m 序列自相关函数波形
其功率谱密度曲线如图3所示：
图3 m 序列功率谱
4 M 序列
M 序列是由移位寄存器产生的最长非线性序列，其码长为2n 的周期序列。

M 已达到n 级移位寄存器所能达到的最长周期，所以又称全长序列。

M 序列可以在m 序列的基础上，加上全“0”状态后形成。

显然，“0”状态应插在x n x n-1…x 1=100…0之后，同时还必须使“0”状态的后续状态为原m 序列的下一状态，即0…001。

因此必须对原
m 序列的反馈逻辑进行修正。

当检测到
M 序列的状态为 (即00…0)后，加上原m 序列的反馈逻辑f 0(x 1, x 2, …, x n )，得到新的反馈逻辑
M 序列具有如下性质：
（1）在一个周期2n 内，序列中的“0”和“1”的个数相等。

（2）在一个周期中，共有2n-1个游程，其中同样长度的“0”游程和“1”游程的个数相等。

当1≤k ≤n -2时，长度为k 的游程数占总游程数的2-k ，长度为n -1的游程不存在，长度为n 的游程有两个，分别为全“1”和全“0”游程。

（3）由n 级移位寄存器产生m 序列的数量为
()
21n
n
φ-，()φ∙为欧
拉函数。

而由n 级移位寄存器产生M 序列的数量为1
2
2n n
--个。

当n >4
时，M 序列比m 序列的数量大得多。

（4）M 序列不再具有移位相加性，因而其自相关函数不再具有双值特性，而是一个多值函数。

对于周期N=2n 的M 序列自相关函数R M (τ)具有如下相关值：
12121021),,(),,(x x x x x x f x x x f n n n n --+=1
2121021),,(),,(x x x x x x f x x x f n n n n --+=
① R M (0)=1； ② R M (j )=0，0<j <n ； ③ R M (±n )=1-4W (f 0)/N ；
其中，W (f 0)是产生M 序列的反馈逻辑函数表示成f (x 1, x 2, …, x n )= f 0(x 1, x 2, …, x n-1)+x n 的形式时，函数f 0取值为1的个数，称为f 0的权重。

④ 当j >n 时，无确定的表达式。

5 Gold 序列
5.1 m 序列优选对
所谓m 序列优选对，是指在m 序列集中，其互相关函数最大值的绝对值小于某个值的两个m 序列。

如果有两个m 序列, 它们的互相关函数满足不等式：
1
2
2
2
2
1,()2
1,n n R τ++⎧+⎪≤⎨⎪+⎩ 则我们称这一对m 序列为优选对。

5.2 Gold 序列的产生方法
如果把两个m 序列发生器产生的优选对序列作模2加运算,生成的新的码序列即为Gold 序列。

每改变两个m 序列相对位移就可得到一个新的Gold 序列。

因为总共有2n -1个不同的相对位移, 加上原来的两个m 序列本身, 所以, 两个n 级移位寄存器可以产生2n ＋1个Gold 序列。

产生Gold 序列的电路原理框图如图4所示。

n 为奇数 n 为偶数但不能被4整除
图4 产生Gold序列的电路原理框图
5.3 Gold序列的相关特性
Gold序列具有三值互相关特性。

表1给出了互相关值和出现某种相关值的概率。

表1 Gold序列的互相关函数值出现的概率
Gold序列的自相关函数也是三值函数，只是出现的概率不同。

6 伪随机序列的应用
6.1 扩展频谱通信
图5 数字基带扩展频谱通信系统的模型
6.2 码分多址(CDMA)通信
码分多址系统有以下特点：
（1）所有用户可以异步地共享整个频带资源，也就是说，不同用户码元发送信号的时间并不要求同步；
（2）系统容量大；
（3）信道数据率非常高。

图6 码分多址扩频通信系统模型
6.3 通信加密
数字通信的一个重要优点是容易做到加密,在这方面m序列的应用很多。

将信源产生的二进制数字消息和一个周期很长的m序列模二相加,这样就将原消息变成不可理解的另一序列。

将这种加密序列在信道中传输，被他人窃听也不可理解其内容。

在接收端再加上一同样的m序列，就能恢复为原发送消息。

图7 数字加密的基本原理框图
6.4 误码率的测量
在数字通信中，误码率是一项主要的性能指标。

在实际测量数字通信系统的误码率时，一般测量结果与信源送出信号的统计特性有关。

通常认为二进制信号中0和1是以等概率随机出现的，所以测量误码率时最理想的信源应是随机信号产生器。

由于m序列是周期性的伪随机序列，因而可作为一种较好的随机信源，它通过终端机和信道后，输出仍为m序列。

在接收端，本地产生一个同步的m序列，与收码序列逐位进行模二加运算，一旦有错，就会出现“1”码，用计数器计数。

图8 误码率测试
6.5 数字信息序列的扰码与解扰
如果我们能够先将信源产生的数字信号变换成具有近似于白噪声统计特性的数字序列，再进行传输；在接收端收到这个序列后先变换成原始数字信号，再送给用户。

这样就可以给数字通信系统的设计和性能估计带来很大方便。

所谓加扰技术，就是不用增加多余度而扰乱信号，改变数字信号统计特性，使其近似于白噪声统计特性的一种技术。

具体做法是使数字信号序列中不出现长游程，且使数字信号的最小周期足够长。

这种
技术的基础是建立在伪随机序列理论之上的。

图9 采用加扰技术的系统
图10 自同步加扰器和解扰器原理框图
6.6 噪声产生器
测量通信系统的性能时，常常要使用噪声产生器。

在实际测量中，往往需要用到带限高斯白噪声。

使用噪声二极管这类噪声源构成的噪声发生器，测量得到的误码率常常很难重复得到。

m序列的功率谱密度的包络是(sin x／x)2形的。

设m序列的码元宽度为T1秒，则大约在0～(1／T1)×45％Hz的频率范围内，可以认为它具有均匀的功率谱密度。

将m序列进行滤波，就可取得上述功率谱均匀的部分并将其作为输出,所以可以用m序列的这一部分频谱作为噪声产生器的噪声输出。

虽然这种输出是伪噪声，但其对多次进行的某一测量都有较好的可重复性，且性能稳定，噪声强度可控。

6.7 时延测量
由于m序列具有优良的周期性自相关特性，因此，利用它作测量信号可以提高可测量的最大时延值和测量精度。

图11为这种测量方法示意图。

图11 时延测量示意图
一般情况下，这种方法只能在闭环的情况下进行测量，即收、发端在同一地方，其测量精度取决于伪码同步电路的精度及m序列码的码元宽度，m序列码的周期即为可测量的最大时延值。

由于伪码同步电路具有相关积累作用，因此，即使接收到的m序列码信号的平均功率很小，只要m序列码的周期足够大，在伪码同步电路中仍可得到很高的信噪比，从而保证足够的测量精度。

除m序列外，其他具有良好自相关特性的伪随机序列都可用于测量时延。