衡水中学2018年大联考

2017—2018学年度上学期高三年级第一调考试 数学文科试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分） 1、设全集U 是实数集R ，
函数y =的定义域为2,{|log (1)1}M N x x =-<，则如图所示的
阴影部分所表示的集合是（ ）
A ．{}|21x x -≤<
B ．{}|22x x -≤≤
C ．{}|12x x <≤
D ．{}|2x x < 2、如果复数2(32)(1)z a a a i =-++-为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．1或2 B ．1 C ．2 D ．不存在
3、若函数(),1(4)2,12x a x f x a
x x ⎧>⎪
=⎨-+≤⎪⎩ 是R 上的上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(1,)+∞ B ．[4,8) C ．(4,8) D ．(1,8)
4、已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，且满
足0OA OB OC ++=
，则其外接圆的表面积为（ ） A ．
169π B ．49
π
C ．4π
D ．π 5、已知幂函数()2
3222
(1)t t f x t t x +-=-+ 是定义域为R 的偶函数，则实数t 的值
为（ ）
A ．1或2
B ．-1或2
C ．0或2
D ．0或1
6、若1ln ln 1
(,1),ln ,(),2
x x x e a x b c c -∈=== ，则,,a b c 的大小关系是
A ．c b a >>
B ．b c a >>
C ．a b c >>
D ．b a c >> 7、执行如图所示的程序框图，则输出的k 的值为（ ） A ．7 B ．9 C ．11 D ．13
8、设z x y =+，其中实数,x y 满足2000x y x y y k +≥⎧⎪
-≤⎨⎪≤≤⎩
，若的最大值为，则z 的最小值为（ ）
A ．-2
B ．-3
C ．-1
D ．0
9、如图，在ABCD 中分别为,M N 上的点，且32,43
AM AB AN AD ==
，连接
,AC MN 交于P 点，若AP AC λ=
，则λ的值为（ ）
A ．35
B ．37
C ．316
D ．617
10、已知定义在R 上的函数()f x 满足①()(2)0f x f x --=；②(2)()f x f x -=-；③在[]1,1-上
的表达式为(
)[1,0]
cos(),(0,1]2
f x x x π
∈-=⎨∈⎪⎩，则函数()f x 与函数()2,01,0
x x g x x x ⎧≤=⎨->⎩的图象在区间[]3,3-上的交点个数为（ ）
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8 11、已知函数()sin()(0,)2
f x wx w π
ϕϕ=+><
的最小正周期是π，若将其图象向右平移
3
π
个单位后得到图象关于原点对称，则函数()f x 的图象（ ） A ．关于直线12
x π
=对称 B ．关于直线512
x π
=
对称 C ．关于点(
,0)12π对称 D ．关于点5(,0)12
π
对称 12、设函数()[],0
(1),0x x x f x f x x ⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩
其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][][]1.22,1.21,11-=-==，
若直线(0)y kx k k =+>与函数()y f x =的图象恰有三个不同的交点，则k 的取值范围是（ ）
A ．11(,]43
B ．1(0,]4
C ．11[,)43
D ．11
[,]43
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。

. 13
、已知集合{(,)|{(,)|}A x y y B x y y x m ====-，若A B φ= ， 则实数m 的取值范围_______________
14、已知函数()2sin()f x wx ϕ=+对任意x 的都有()()66f x f x ππ+=- ，则()6
f π=______________
15、已知定义在R 上的函数()f x 满足(1)(1)2f x f x -++=，且当1x >时，()2x x
f x e -=，
则曲线()y f x =在0x =处的切线方程是_______________
16、已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是等比数列，对一切n N +∈，都有1
n n n
a b a +=，则数列{}n b 的通项公式为_______________
三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17、（10分） 已知点(cos ,sin ),P Q x x O 为坐标原点，函数()f x OP QP =⋅。

（1）求函数()f x 的最小值及此时x 的值；
（2）若A 为ABC ∆的内角，()4,3f A BC ==，求ABC ∆的周长的最大值。

18、（12分） 如图所示，在四棱锥P ABCD -中，AB ⊥平面,//,,PAD AB CD PD AD E =是PB 的
中点，F 是DC 上的点且1
,2
DF AB PH =
为PAD ∆中AD 边上的高。

（1）证明：EF ⊥平面PAB ；
（2）若3,1PH AD FC ===，求三棱锥E BCF -的体积。

19、（12分） 已知数列{}n a 是等差数列，且11232,12a a a a -++=。

（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令3n n n b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S 。

20、（12分） 已知函数()()32(),1,()ln ,1f x x f x x x g x a R a x x <⎧=-+=∈⎨≥⎩ 。

（1）求()f x 在[]1,1-上的最大值；
（2）求()g x 在[1,](e e -为自然对数的底数）上的最大值；
（3）已知函数()g x 的图象上存在两点,P Q ，使得POQ ∆是以坐标原点O 为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上，求实数a 的取值范围。

21、（12分） 已知函数()(1),x f x ax e a R =-∈ 。

（1）讨论()f x 的单调区间； （2）当0m n >>时，证明：n m me n ne m +<+。

请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，
22、 在直角坐标系xOy 中，曲线13:(3x t C t y t
=-⎧⎨=+⎩为参数）
，曲线222:(1)1C x y +-=，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系。

（1）求曲线12,C C 的极坐标方程；
（2）若射线:(0)l θαρ=>分别交12,C C 于,A B 两点，求OB OA
的最大值。

23、（本小题满分10分））选修4-5 设,a b 为正实数，且11a b
+=。

（1）求22a b +的最小值 （2）若23()4()a b ab -≥，求ab 的值。