无穷大量与无穷小量&极限的运算法则

第五讲
Ⅰ 授课题目：
§2.4无穷大量与无穷小量；§2.5极限的运算法则。

Ⅱ 教学目的与要求：
1、理解无穷大与无穷小的概念，弄清无穷大与无穷小的关系；
2、掌握极限的运算法则。

Ⅲ 教学重点与难点：
1、无穷大与无穷小的概念、相互关系；
2、用极限的运算法则求极限。

Ⅳ 讲授内容：
§2.4无穷大量与无穷小量 一、无穷大的概念： 引例：讨论函数 1
1
)(-==x x f y ，当 1→x 时的变化趋势。

当 1→x 时，
1
1
-x 越来越大(任意大)，即：+∈∀R E ，要 E x >-11⇒E x 11<-，
也即：+∈∀R E ，01>∃E ，当 E x 11<-时，有：E x >-1
1。

定义2.9：+∈∀R E ，变量y 在其变化过程中，总有一时刻，在那个时刻以后，E y >成立，则称变量y 是无穷大量，或称变量y 趋于无穷大，记：∞=y lim 。

如：∞=-→11
lim
1
x x ，-∞=+
→x x lg lim 0，+∞=-→
tgx x 2
lim π。

注 1. 若：∞=y lim ，则习惯地称此时)(x f y =的极限为无穷(大)；
2.无穷大不能与很大的数混淆；
3.无穷大与无界变量的区别；
例如：x
x f y sin 1
)(=
= 当)2,1,0(, ±±==k k x π时，∞→)(x f ，无界，但非无穷大，πk x ≠ 时，)(x f 为有限数。

例1 函数 ?),(cos 内是否有界在+∞-∞=x x y 又当 +∞→x 时，此函数是否为无穷大？为什么？ 解 用反证法
若：当+∞→x 时，x x y cos =非无穷大，
)1(,cos ,,0,0M x x X x X M >>>∃>∀有时当则，取2
2π
π+
=n x n ，当n 充分大时
必有X x n >，而 0cos =n n x x 与(1)式矛盾。

∴ +∞→x 时，x x y cos =，非无穷大。

4.无穷大运算的结论：
(1)有界变量与无穷大量之和是无穷大量； (2)两个无穷大量之积是无穷大量； (3)有限个无穷大量之积是无穷大量。

二、无穷小量： 1.概念：
定义2.10 以零为极限的变量称为无穷小量。

例如：021lim
=∞→n n ，则称 ∞→n 时，变量 n n y 2
1=是无穷小量。

注 无穷小量非很小的数，但零是可作为无穷小量的唯一的数。

2.两个重要结论： 结论1
定理2.9 A y =l i m ，⇔α+=A y ，0lim =α。

例如： ?56lim
=+∞→x x x ， x x x 5656+=+，而：05lim =∞→x x ，∴65
6lim =+∞→x
x x 。

结论2
定理2.10 若：0lim =α，且：0,>≤M M y ，⇒0lim =y α 推论 若：C 为常数，0lim =α⇒0lim =αC 。

例如：?1sin
lim 0=→x
x x
0lim 0=→x x ，11
sin ≤x
，∴01sin lim 0=→x x x 。

三、无穷大量与无穷小量的关系： 定理2.11 若：∞=y lim ，⇒ 01
lim
=y
；若：)0(,0lim ≠=αα⇒∞=α1lim 。

例如：∞=+∞
→x
x e lim ，⇒ 01
lim
=+∞→x
x e 。

注 无穷大、无穷小与极限过程有关。

四、无穷小的阶(无穷小的比较)： 1.概念：
定义2.11 设βα,是关于同一过程的无穷小，α
β
lim 也是关于同一过程的极限， 若：0lim
=αβ
，则称β是比α较高阶的无穷小，记：)(αβ =； 若：∞=α
β
lim ，则称β是比α低阶的无穷小；
若：)0(lim ≠=c c α
β
，则称β是与α同阶的无穷小； 特别地：1=c 时，称α与β是等价的无穷小，记：α~β。

例如：2
1
2lim
0=→x x x ，∴ 0→x 时，x 与x 2是同阶无穷小。

注 1.同一过程的无穷小方能比较；
2.α
β
lim
存在，方能比较。

2.重要结论：
定理2.12 若：α~'
α，β~'
β，且：∃''lim αβ ，则 αβ
lim =''lim α
β。

常用的等价无穷小：
0→x 时，x x sin ~~tgx ~1~)1ln(~~arcsin -+x e x arctgx x ，……。

例2 设：0→x 时，)1ln()cos 1(2x x +-是比n x x sin 高阶的无穷小，而n x x sin 是比12
-x e 高阶的无穷小，则 ?=n
解 021lim 2lim sin )1ln()cos 1(lim 302
2020===+--→→→n x n x n x x xx
x
x x x x x ，∴ 03>-n ⇒ ⇒3<n ；
又：0lim lim 1
sin lim 1
02002===--→→→n x n x x n x x x xx e x x ，∴01>-n ⇒ 1>n ，
即：31<<n ，故：2=n 。

§2.5 极限的运算法则
定理2.13 若：A x =lim ，B y =lim ⇒=±)lim(y x B A y x ±=±lim lim 。

推论1 i i A x =lim ，n i ,,2,1 =，⇒ ∑∑∑=====n
i n
i i
i
n
i A x x 1
1
1
lim lim。

推论2 0l i m l i m
==βα，⇒ 0)lim(=±βα 注 可推广到有限个。

定理2.14 若：A x =lim ，B y =lim ⇒ AB y x xy ==lim lim )lim(
推论1 i i A x =lim ，n i ,,2,1 =，⇒ ∏∏∏=====n i n
i i
i
n i i
A x x 1
1
1
lim lim
推论2 0l i m l i m
==βα，⇒ 0lim =αβ 注 可推广到有限个。

推论3 0)(lim ≠=A x f ，0lim =α，⇒ 0)
(lim
=x f α
推论4 A x =l i m
，c 为常数 ⇒ cA x c cx ==lim lim
推论5 A x =lim ⇒n
n n A x x ==)(lim lim ，n
n n A x x 111)(lim lim == (0>A )，
+∈Z n 。

定理2.15 若：A x =lim ，0lim ≠=B y ⇒B
A y x y x ==lim lim lim 。

例1 求：)123(lim 21
+-→x x x 。

解 2112131lim 2lim 3)123(lim 21
21
21
=+⨯-⨯=+-=+-→→→x x x x x x x
注 若：)(x f 是一多项式，则：)()(lim 00
x f x f x x =→。

例2 求：若：)(x f 是135
2lim 22+-+→x x x x 。

解 7
5)13(l i m )52(l i m 1352l i m 2
2222=+-+=+-+→→
→x x x x x x x x x
注 若：0)(,)
()()(0≠=x p x p x q x f )(),(x q x p 是多项式，则：==→→)()
(lim )(lim 00x p x q x f x x x x
=
)
()
()
(lim )
(lim 000
0x p x q x p x q x x x x =
→→。

例3 研究：4
5lim
22-→x x
x
解 054
lim
22=-→x
x x ，∴ ∞=-→45lim 22x x x 。

例4 求：9
3
lim 23--→x x x 。

解 )3)(3(3
lim 93lim 32
3+--=--→→x x x x x x x 31l i m 3+=→x x 6
1= 例5 求：42
lim 4--→x x x 。

(4
1)
解 42
l i m
4--→x x x )2)(2(2lim 4+--=→x x x x 4
121l i m 4=+=→x x 例6 求：x
x x 1
1lim
-+→。

解
x x x 11l i m
-+→)
11()
11)(11(lim
0++++-+=→x x x x x )11(lim 0++=→x x x x 21111l i m 0=++=→x x
例7 求：223
21lim
4
---+→x x x 。

解 22321l i m 4---+→x x x )321)(4()22)(82(lim 4++-+--=→x x x x x 32
2)
321()22(2lim 4=
+++-=→x x x 例8 求：1
3124lim 423+-+∞→x x x x 。

解 13124l i m 423+-+∞→x x x x 03
013124lim 4
42==+-+=∞→x
x x x x
例9 求：x
x x x 781
2lim 22++∞→。

解 x x x x 7812l i m 22
++∞→4
1
7812l i m 2=+
+=∞→x
x x
注
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>∞<==++++++++----∞→m
n m n m n b a b x b x b x b a x a x a x a m m m m n n n n x ,,0,lim 0
11101110 (j i b a b a ,,0,000≠≠是常数，且： n i ,,2,1,0 =，m j ,,2,1,0 =)。

例10 已知：⎪⎩⎪
⎨⎧≥+-+<-==0,1
1
30
,1)(3
2x x x x x x x f y ，研究：)(lim 0x f x →，)(lim x f x +∞→，)(lim x f x -∞
→。

解 1)1(lim )(lim 00-=-=→→-x x f x x ，11
1
3lim )(lim 3200-=+-+=→→+x x x x f x x ，∴1)(lim 0
-=→x f x ；
又：=+∞→)(lim x f x 01
1
3lim
32=+-+∞→x x x x ；=-∞→)(lim x f x -∞=--∞→)1(lim x x 。

例11 求：)1(lim 2x x x x -++∞
→
解 2
1
1l i m
)1(l i m 22=
++=-++∞
→+∞
→x
x x x x x x x 。

例12 求：)11(lim 2
2--+∞
→x x x
解 )11(l i m 2
2
--
+∞
→x x x =1
1)1(1lim
2
2
22-++--+∞
→x x x x x =1
12lim
2
2
-++=∞
→x x x =
=011112
lim
2
2=-++
∞
→x x x x 。

Ⅴ 小结与提问:
1. 无穷小与无穷大是相对于过程而言的
主要内容：两个定义，三个定理，一个推论； 几点注意：五点注意。

2.无穷小的阶
意义：同一过程的无穷小的比较，比较趋于零的快慢； 应用：等价无穷小在求极限中有非常巧妙的应用。

3.极限的运算法则
在极限存在的情况下，和、差、积、商(分母非零)的极限等于极限的和、差、积、商。

Ⅵ 课外作业：
89P 7~13.15.19.36.37。