固体物理 课后习题解答(黄昆版)第四章
4.1，根据 k
黄昆 固体物理 习题解答
第四章 能带理论
= ± π 状态简并微扰结果，求出与 E ? 及 E +相应的波函数ψ ? 及ψ+?，并说明它 a
们的特性．说明它们都代表驻波，并比较两个电子云分布 ψ2
说明能隙的来源(假设V n =V n *)。
＜解＞令 k
= + π ， k ′ = ? π ，简并微扰波函数为ψ
=
A ψk
( ) + B ψk
( )
a
*
a
?E k ( ) ? E A V B n
= 0
( )
V A n
+ ?E k ? E B =
取 E E +
带入上式，其中 E +
= E k
0( )
+ V n
V(x)<0,V n < 0 ,从上式得到 于是
A ? n π
? n π ?
π
ψ = A ?ψ 0( )?ψk
0′( )? =
i
x
e a ? e i x a =2A sin n x
+
?
k
? L ?
? ?
L a 取 E E ? ， E ?=E k
0( )? V n
V A n
= ?V B n
,得到A B
A ? i n
πx
?i n πx
?
π
ψ = A ?ψ 0( )?ψk
0′( )
? =
e a ? e
a
=2
A cos n x
?
? k
?? ?
L a
由教材可知，Ψ+及 Ψ ? ν ( ) 为零．产生
驻波因为电子波矢
n k
π
=
时，电子波的波长
a
λ =2
π=2a ，恰好满足布拉格发射条件，这
k
n
时电子波发生全反射，并与反射波形成驻波由于两驻波的电子分布不同，所以对应不同代入 能量。
4.2,写出一维近自由电子近似，第 n 个能带(n=1，2，3)中，简约波数 k π
= 的 0 级波函数。
2a
1
1
r
2π
1
π 2π
1
i
2π
1
x
i mx i x i mx(m+ )
ψ
* ＜解＞( ) = ikx=
e
ikx a
e e
= e2a?
e
a= e a 4
k L
?π=L
*
L
π
1 i2x
L
第一能带：m0, m = 0,ψ( ) = e a
2a
b b′则b′ →,
k
2π
?= ?
L
2π
, m= ?1,i
2πx i π
∴ψ *( )= 1
3π
i x
e
第二能带：a a即（e a=e ）2a k L2a
2π2π 1 π2π 1 5π
第三能带：c′ →, ?=
a
a即m =
,
*
1,ψk( ) = L
i x i x
e2a?e
a
= L i x
e2a
解答（初稿）作者季正华- 1 -
4.3 电子在周期场中的势能．
黄昆 固体物理 习题解答
1 2 2 2 2 m ω ?b ? ?( x na ?
) ,
当na b x na b + V x ( ) =
0 ，
当(n-1)a+b ≤ ≤x na b ?
其中 d ＝4b ， ω 是常数．试画出此势能曲线，求其平均值及此晶体的第一个和第二个禁带 度．
＜解＞(I)题设势能曲线如下图所示．
(2)势能的平均值：由图可见， V x ( ) 是个以 a 为周期的周期函数，所以
V x ( )
= 1
∫ V x L
( )
=
1
∫
a
( )
=
1
a b
( )
L a b
a ∫?b
题设 a = 4b ，故积分上限应为 a b ? = 3b ，但由于在 [b b ,3 ] 区间内
[? , ] 区间内积分．这时， n = 0 ，于是
V x ( ) 0=
，故只需在
= 1
∫
b
= m ω
2
∫
b
2
2
=
m ω2 ? 2
b
? 1
x 3
b ? = 1
m ωb 2
V
( )
b ? x dx )
( b x ? ?b ?b
? 。
a
?b
2a
?b
2a ? 3
? 6
（3），势能在[-2b,2b]区间是个偶函数，可以展开成傅立叶级数
V x ( ) = V +
∞
∑
′
V
m π = 2
∫
2b
V x
m π
xdx = 1
b
∫ V x
m π
xdx
=?∞ m
m
cos 2b ,m
2b
( ) cos 2b
b
( ) cos 2b
第一个禁带宽度 E
= V
以 m
= 1代入上式, E =
m ω 2
∫
b
2
2
(b
? x ) cos
π x
dx
g 2 ,
g
1
1
u
(
1
b
)
2
2b
利用积分公
式
2
∫u2 cos mudu= m?
2 ?
mu sin
mu
+ 2 cos mu??
?
m3 sin mu得
E g1=π16mωb2
第二个禁带宽度= V以m = 2代入上式,代入上式3
ω2
m
bπx
E g2 22,
2
2mωb
E g
2 =
b∫
2 2
(b?x) cos
b dx再次利用积分公式有
E g2=π
2 2
4.4用紧束缚近似求出面心立方晶格和体心立方晶格s态原子能级相对应的能带解答（初稿）作者季正华- 2 -
E s
(k v
) 函数
黄昆 固体物理 习题解答
解：面心立方晶格—— s 态原子能级相对应的能带函数
s (v )
= εs
? J 0
? ∑v
?ik v ?R v
E k
J (R s
)e s
=
R s Nearest
—— s 原子态波函数具有球对称性
v v = ?∫ ? ξ ?
v
v v
v
v ξ > J J R 0*
R U
d
1=( )s
(
)[ ( )ξ ?V ( )] ( )}
s
v
ε
= ?
i
∑
s
v v ? ?
i
E k ( )
s
J 0 ? J 1
R Nearest e ik R
s s
—— 任选取一个格点为原点 —— 最近邻格点有 12 个 12 个最邻近格点的位置
? a a ? a a ? a
a ? ? ? 2 a ? 2 a , 0 ?0, ? ? 2 a , ? 2 a ? ? ? 2 a , 0, ? 2
a ? ?
2 ,
2 , 0 0, ? ?
2 , 2 ? ? 2 , 0, 2
? ? ? ?
? a 2 a , a 2 a , 0 ? 0, ? ? ?
? a 2 a , a 2 a
? ? a a
2 a
? , ? , 0
0, ? , ? ? , 0, ?
? 2 2 a v a ?
2 v
2 ? 2
2
v =i + v j + 0k v
s
E k
( ) ε = ?
J
∑
v v ? ?
e ik R
s
R s
2
2
s
? J 1
R Nearest
v v
v
v v a v a v +v
?
a
s
? ?ik R s
=
? (
+
+
x
y
z
) ( i + j 0 ) = i 2
( k x
+k y
)2 ? ac
e e
2
2
k a e k a b 4 —— 类似的表示共有 12 项
= k a ? k a y
? (cos x
2 i sin x )(cos 2 2 i sin y
)
2
—— 归并化简后得到面心立方 s 态原子能级相对应的能带
E k s
( )v
= εs
? J 0
k a
k a
k a
k a
k a k a ? J
4 (
c o s 1
x
c os
y+ c
o
s x co
s
z+ c
o
s
y co
s z)
2 2 2 2 2 2
——对于体心立方格子，任选取一个格点为原点
解答（初稿）作者季正华- 3 -
? a
a a ?
a
黄昆 固体物理 习题解答
a a ? ?
2 ,
2 , 2
? ?
2 , ? 2 , 2 ? ? ? ? a 2 , ? a 2 , ? a 2
? ? ?
? a 2 , a 2 , ? a 2 ? ? ? ? ? a , 2 a ,
? a , 2 a ,? a 2 a ? ? ? ? ? a , 2 a , ? a , 2 a , ?
a
2 a
? 2
2 2
? 2
2 2
a v a
a
v
v =i +v
j +
k v
R
s
s
E k
( ) ε =s
?
J 0 ? J 1
∑
e v v
? ?
ik R
s
2
2
2
R Nearest
v v
v
v
v
a v a v a v
?
a s
? ?ik R
= ? ( + +
) ( i + j + k )
= i (k + +k k )
e s e k a x y z k a 2 2 2 k a
e 2 x y z
k a k a
k a
—— 类似的表示共有 8 项
= (cos x 2 ? i sin x )(cos 2 y
2 ? i sin y
)(cos
2
z
2 ?
i sin z )
2
—— 归并化简后得到体心立方 s 态原子能级相对应的能带
k a
k a
k a
s
v =ε ? ? x
y
z
E k ( )
J J
8 cos
cos cos
s
1
2
2
2
4.7,有一一维单原子链。间距为 a 。总长度为 Na 。求（1），用紧束缚近似求出原子 s 态能级 对应的能带 E(k)函数。（2）求出其能态密度函数的表达式。（3），如果每个原子 s 态只有一 个电子，求等于 T=0K 的费米能级 E F 0
及 E F 0
处的能态密度。
r
ε
= ?
ika
? ika
ε
= ? ?
J
ka E
?
J
ka
J ? J e + e ) J 2 cos
2 cos
＜解＞ (1), ( )
r
s
0 1
(
? s
1
1
( ) ??E k = ?E J ?
? ∑
( ) s
? ?ik R r
s ? ?
N E
L
= × × 2
dk = 2Na ×
1
=
N
(2) , ( ) 2 π dE
π
J a ka π J sin ka
2
2 sin
1
r
Na 1
2 Nak 0
π
(3), N
= ∫
k F
? 2 ( ) 2dk
= ?2 ? 2k 0 = F
∴ k 0
=
= ? π π
2
F
π 0
=
F
N
2a
=
N
E = E k
( )
E
J 2 cos
a E N E
, (F
)
π F
F
1
2a
s
π J
1 sin 2
a ? a π J
1
4.8，证明一个自由简单晶格在第一布里渊区顶角上的一个自由电子动能比该区一边中点大
2 倍．(b)对于一个简单立力晶格在第一布里渊区顶角上的一个自由电子动能比该区面心上
大多少？(c)(b)的结果对于二价金属的电导率可能会产生什么影响 7
＜解＞（a ）二维简单正方晶格的晶格常数为 a ，倒格子晶格基矢 A =2
π ?
i
B a
解答（初稿）作者 季正华 - 4 -
, = 2π ?
a
第一布里渊区如图所示
黄昆 固体物理 习题解答
π π
? ? ? ?
j ?
= ? , B K ? + = ? ? ? ?
. 区边中点的波矢为K A
2
a 角顶 点的波矢为
B
a ? ?a ? ?
ε = h
(
2 2
2
)
自由电子能量
2m K x
+ K y
+ K z
π2
,
π
2
ε h 2
h 2 ? ? h
2 ? ? A 点能量 A = 2 = K x
? ? = ? ? ,
2m ? ? 2m a ? ? 2m a ? π2
π
2 ? ? π 2 ?
2 2 ? ? ? ? 2
? ?
ε = h ( 2 2 ) = h
+ = h 2
B 点能量 B K x
+ K y
?? ? ? ? ? ?2? ? ? ? ?
, 所以ε ε/
B
A =
2m
2m ?? ?a ? ? a ? ? 2 π m ? ? a ?
?
π
π A = ? 2 ? ? i B = ? 2 ? ? j C = ? ?
2 ? k ,
b)简单立方晶格的晶格常数为a ，倒格子基矢为 第一布里渊区如图 7—2 所示．
2
? ? ,
? a ? ?
? ? a ? ,
???a?
2 π
;
A点能量
== h ?
ε
???
m a
A2
??
解答（初稿）作者季正华- 5 -
2
黄昆 固体物理 习题解答 2
? π2
π
2
π 2 ?
2
? π
2 ?
ε
h
(
)
h ? ?
? ?
? ? = h ? ?
B 点能量 =
2
2
2
=
+ +
B
K x
+ K y
+ K z
?? ? ? ? ? ? ? ?3? ? ? ? ?
,
所以ε εB / 2m
A =
3
? ? ? ?a ? ?a 2m ? a
? ? m 2 ?
? a ?
?
(c)如果二价金属具有简单立方品格结构，布里渊区如图 7—2 所示．根据自由电子
ε =
h 2
(2
2
2
)
理论，自由电子的能量为
2m K x
+ K y
+ K z
3
，FerM 面应为球面．由(b)可知，内
切于 4 点的内切球的体积 4π π? ? ? ? ，于是在 K 空间中，内切球内能容纳的电子数为
π π
3
π
3 ? ?a
4 3 ? ? ? ? ? ?
a 2 V
( )3
= 3 N = 1.047N
其中V = Na 3
二价金属每个原子可以提供 2 个自由电子，内切球内只能装下每原子 1.047 个电子，
余下的 0.953 个电子可填入其它状态中．如果布里渊区边界上存在大的能量间隙，则余 下的电子只能填满第一区内余下的所有状态(包括 B 点)．这样，晶体将只有绝缘体性 质．然而由(b)可知，B 点的能员比 A 点高很多，从能量上看，这种电子排列是不利的．事 实上，对于二价金属，布里渊区边界上的能隙很小，对于三维晶体，可出现一区、二区 能带重迭．这样，处于第一区角顶附近的高能态的电子可以“流向”第二区中的能量较 低的状态，并形成横跨一、二区的球形 Ferm 面．因此，一区中有空态存在，而二区中 有电子存在，从而具有导电功能．实际上，多数的二价金届具有六角密堆和面心立方结 构，能带出现重达，所以可以导电． 4.9 半金属交叠的能带
2 2
E k = E (0) ? h k , m = 0.18 m
1
( )
1
2m 1
1
h 2
v v
E k ( ) = ( ) + ( k k 0 2 ) , m 2
= 0.06 m
2 E k 2
0 2m
2
其中 E 1(0) 为能带 1 的带顶，E k 2( )0为能带 2 的带底.
E 1(0) ? E k 2( ) 0.10eV 由于能带的
交叠，能带1中的部分电子转移到能带2中，而在能带1中形成空穴，讨论T = 0 K时的费
密能级
解：半金属的能带1和能带2如图所示
2 2
E k= E (0) ? h k
1 ( ) 1 2m
1
h2v v
E k= ( ) + (k k)2
2 ( ) E k20 2m
2
k = 2 [ (0)m E11 ?E k1( )]
h
解答（初稿）作者季正华- 6 -
能带 1 的能态密度
黄昆 固体物理 习题解答
2
N E = V dS k
( ) 2
∫ ?
?
= h 1
?
= h
(2 ) 3
k
E
k
E
m
1
N E
= V
dS
k E
N E
= E
2[ (0)1
? E k 1
( )]/ m 1 V 4π k 2
1
( ) 2 (2 ) 3
∫ ?
k
E
1 ( ) 2
3 (2 ) h 2[ (0)E 1
? E k 1
( )]/ m
1
3
N E ( ) = 2V 2m ( ) 1 2
E (0) ? E k
( )
1
2
2
1
(2 )
h
同理能带 2 的能态密度
3
N E ( ) = 2V ( 2m ) E k ( ) ? E k ( )
2
2
2 2 2
2
(2 )
h
半金属如果不发生能带重合，电子刚好填满一个能带。由于能带交叠，能带 1 中的电子填
充到能带 2 中，满足
E
E 0
1(0)
∫
N E dE =
F
∫
N E dE
E 0
F
E
1
( ) V
m
E
2(k 0)
3
2
( )
2(2
3
1(0)
∫
2(2)
? E k dE ( ) = E F
∫
V
m ) E k ( ) ? E k dE ( )
2
2 1 2
E 1
(0)
1
2
2 2 2
2
2
E 0
F
(2 )
3
h
3
E
1( 0)
3
E
2(k 0)
(2 )
3 h
E 0
F
?m 2 [ (0) ? E k
( )]2
= m 2 [ ( )E k ? ( )]
2
1E
1
1
E F
2
2
E k 2
E 2(k 0)
? E 0
= m E 0
?
( )] [ (0) F
] 2 [ F E k 2
m E 1
1
m E (0)+m E (k )
0 E =
1 1
2 2 0
( m 1 =
V )
0.18 ,m m 2
= 0.06 m E 1
(0) ? E k 2
( ) 0.10
e
F
0=
E F
m +m 1
2
E k 2
( ) 0.0750
eV
4.12，正方晶格．设有二维
正方晶格，晶体势为U x y( ) ? 2πx?? 2πy?
?ππ?= ?4 cos ?
?
a cos
??
??
a?.
?
用基本方程，近似求出布里渊区角?
,
?a a
??处的能隙．
??
＜解＞以??表示位置矢量的单位矢量，以b b12 表示倒易矢量的单位矢量，则有，解答（初稿）作者季正华- 7 -
黄昆 固体物理 习题解答 ? + ?,
?
?
2π (
?
?
)
r = xi yi G G b 1 1
+ G b 2 2
=
g b + g b , g g 为整数。
a
1 1
2 2
1
2
晶体势能U x y ( ) = ?
?2
π x ? ? 2π y ?
? 2π
4 cos 2π ? ? a
??
cos ? ? ? ? 2π
a ??
.
2π
? i
x ?i
x i
y
?i y ∑
( )
( ) = ?
U r
U e σ
+ e
σ
?? e σ + e σ
?
iG
U
e
?
??
? G ( )
G ( ) 其中U
G ( ) = ?U ，而其他势能傅氏系数
U
G ( )
= U
G
( )20= =
... 0 。 这 样 基 本 方 程
(λ εk
? ) ( ) + ∑
G
G
( ?
) 0变为
( λ ? ε ) ( )
(
)G ( )
(
)G ( )
(
)+
(
)=
+ U
C K G
+ U C K G
+ U
C K G
U
C K G ( )
K
G ( )
? π π ?
( )
1 1 1
( )
( )
( )
G ( )
求布里渊区角顶 ? , ? ，即 k G ( , ) =
G
处的能隙，可利用双项平面波近
似
? a a ?
2 2
2
Ψ = ( )iKr +
( ? )
( ? )
来处理。
当 K = 1 2 G ( )
K = ? 1
2 G
( )
时依次有
K G
( ) = ?1
G ( )
K G
= +1 G ( ) 而其他的 K G ( )
，
2
K G ( ) > G ( )
2
， 所 双 项 平 面 波 近 似 下 上 式 中 只 有
? 1
( )?? C K G ( ( )
) =
?
1
( ) ?
C ? G
? 2 ?
C ? ? G
? 2
??
? 1
( )?
(
( ) )
= ?
1
( ) ? C ? G
? 2
? C K G ?
C ? + G
? 2
??
?
? ? 1
?
? 1
?
?λ1
?ε ? ?C G ( ) ? ?UC ? ? G ( ) ? = 0 ? G ( ) 2 ? ? 2 ? ? 2
?
?
? ? 1
( ) ? ? 1
( ) ? =
?λ1?ε??C?
G ??UC? +
G
?
?
??2G( ) λ1( )
??
?ε
2 ??
?u
2
2G ?u λ
?1G( )
?ε=0，因为2
2 ?1 ?2 2π2
λ1 = λ 1 λ
= =
h ?G( ) ?= h
G( ) ?G( ) 2m? 2 ma2 2 2
λε 2 ? 2 = ελ± =U
π
2 2
h ±U ,
由行列式有( ) U0解得= 2
ma
解答（初稿）作者季正华- 8 -
黄昆 固体物理 习题解答
4.13. 证明面心立方晶体 S 电子能带 E （K ）函数沿着布里渊区几个主要对称方向上可化为： (1) 沿ΓX （K y =K z =0, K x =2πδ／a ，０≤δ≤1）
E=E s a －A －4B （1＋2cos δπ）
(2) 沿ΓL （K x =K y =K z = 2πδ／a ，０≤δ≤1/2）
E=E s a －A －12Bcos 2δπ
(2) 沿ΓK （K z =0, K x = K y =2πδ／a ，０≤δ≤3/4）
E=E s a －A －4B （cos 2δπ＋2cos δπ）
(4) 沿ΓW （K z =0, K x =2πδ／a ，K y =πδ／a ，０≤δ≤1） E=E s a －A －4B （cos δπ× cos δπ/2－cos δπ－cos δπ/2）
解：面心立方最近邻的原子数为 12，根据禁束缚近似 S 带计算公式，（教材 P184）
E s （K ）=E s a －A －4B （cos
a 2 K x
·cos a 2 K y
+ cos a 2 K y
·cos a 2 K z
+ cos a 2 K z
·cos a 2
K x
） 把各方向的K x 、K y 、K z 值代入上式即可得到相应的答案，具体计算略。
补充习题 一维周期势场中电子的波函数应当满足布洛赫定理。如果晶格常数为 a ,电子的 波函数为
ψ
1)k
( x ) = sin
x
a
π
2) ψ (x ) = ∑ ?
m
?
k
( ) m =?∞
i f (x ma )
ψ
x
π
3)k
(x ) = i cos 3
a
4) ψ (x ) = ∑
?
) k
l =?∞
f ( x la
求电子在这些态中的波矢 解：根据布洛赫定理
ψ ψ
v v =v v v (r R n
) e ik R n
(r )
一维情形布洛赫定理
ψ (x + a ) = e ika
ψ
x
( )
1）电子的波函数
ψ
ψ
k (
x ) = sin x a π
+ x a
π x
π
+ = k (x a
) sin a = ? sin a ψ
k ( x a ) = ?ψ
k ( ) = e ika
ψk
( )
e ika= ?1 电子的波矢k = π
a
ψ(x + a) = e ikaψx
( )
2）电子的波函数
解答（初稿）作者季正华- 9 -
ψk(x) = ∑∞(?m?) 黄昆固体物理习题解答
m=?∞i) f (x ma
+ = ∑+∞?ψk(x a) i
??
x m a
= ?i∑+∞
?
?∞
m?
( )m f [ (
??
1) ]
?∞+∞( )1
i f [ x(m a
1) ]
= ?i∑l
(?i) ( ?= ψ
f x la) ?i x ?∞k( )
（e ika= ?i，电子的波
矢k = ?π）
2a
ψ(x + a) = e ikaψx
( ) 3）电子的波函数ψk( x) = i cos3xπ
ψ
a
(x a)
πk
(x + a i
3
x
) = cos 3+
a
i cos
= ?
e ika= ?1 a x π= ?ψk( )
电子的波矢k = π
a
ψ(x + a) = e ikaψx
( )
4）电子的波函数
ψk(x) = ∑∞?)
l=?∞f (x la
ψ( + = ∑+∞
x a)
??1) ]
k
+∞
l=?∞f [x(l a
= ∑
m=?∞
?
f (x ma
)
= ψ
k
x
( )
e ika= 1电子的波矢k = 0
补充习题电子的能量为
2 k2 2 2
= +
E(k) E
( k x+ y+k z) h 求能态密度
k m
x m y m
z
2
解答（初稿）作者季正华- 10 -
固体物理课后答案
1.1 如果将等体积球分别排列成下列结构，设x 表示钢球所占体积与总体积之比，证明结构x简单立方π/ 6 ≈0.52体心立方3π/ 8 ≈0.68面心立方2π/ 6 ≈0.74六方密 排2π/ 6 ≈0.74金刚石3π/16 ≈0.34 解：设钢球半径为r ，根据不同晶体结构原子球的排列，晶格常数a 与r 的关系不同，分别为：简单立方：a = 2r 金刚石：根据金刚石结构的特点，因为体对角线四分之一处的原子与角上的原子紧贴，因此有 1.3 证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是体心立方。 证明：体心立方格子的基矢可以写为
面心立方格子的基矢可以写为 根据定义，体心立方晶格的倒格子基矢为 同理 与面心立方晶格基矢对比，正是晶格常数为4π/ a的面心立方的基矢，说明体心立方晶格的倒格子确实是面心立方。注意，倒格子不是真实空间的几何分布，因此该面心立方只是形式上的，或者说是倒格子空间中的布拉菲格子。根据定义，面心立方的倒格子基矢为 同理 而把以上结果与体心立方基矢比较，这正是晶格常数为4πa的体心立方晶格的基矢。 证明：根据定义，密勒指数为的晶面系中距离原点最近的平面ABC 交于基矢的截距分别为 即为平面的法线
根据定义，倒格子基矢为 则倒格子原胞的体积为 1.6 对于简单立方晶格，证明密勒指数为(h, k,l)的晶面系，面间距d 满足 其中a 为立方边长。 解：根据倒格子的特点，倒格子 与晶面族(h, k,l)的面间距有如下关系 因此只要先求出倒格，求出其大小即可。 因为倒格子基矢互相正交，因此其大小为 则带入前边的关系式，即得晶面族的面间距。 1.7 写出体心立方和面心立方晶格结构的金属中，最近邻和次近邻的原子数。若立方边长为a ，写出最近邻和次近邻的原子间距。 答：体心立方晶格的最近邻原子数（配位数）为8，最近邻原子间距等于 次近邻原子数为6，次近邻原子间距为a ；
黄昆版固体物理学课后答案解析答案
《固体物理学》习题解答 黄昆 原著 韩汝琦改编 （陈志远解答，仅供参考） 第一章 晶体结构 1.1、 解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， Vc nV x = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1） a=2r ， V= 3r 3 4π，Vc=a 3 ，n=1 ∴52.06r 8r 34a r 34x 3 333=π=π=π= （2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 3 3 4a r 4a 3=?= n=2, Vc=a 3 ∴68.083)r 3 34(r 342a r 342x 3 3 33≈π=π?=π?= （3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=?= n=4，Vc=a 3 74.062) r 22(r 344a r 344x 3 3 33≈π=π?=π?= （4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=62 60sin a a 6S ABO ??=??=2 a 233 晶胞的体积：V=332r 224a 23a 3 8 a 233C S ==?= ? n=1232 1 26112+?+? =6个 74.062r 224r 346x 3 3 ≈π=π?= （5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3 r 8a r 24a 3= ??= n=8, Vc=a 3
固体物理习题解答
《固体物理学》习题解答 ( 仅供参考) 参加编辑学生 柯宏伟（第一章），李琴（第二章），王雯（第三章），陈志心（第四章），朱燕（第五章），肖骁（第六章），秦丽丽（第七章） 指导教师 黄新堂 华中师范大学物理科学与技术学院2003级
2006年6月 第一章 晶体结构 1. 氯化钠与金刚石型结构是复式格子还是布拉维格子，各自的基元为何？写出 这两种结构的原胞与晶胞基矢，设晶格常数为a 。 解： 氯化钠与金刚石型结构都是复式格子。氯化钠的基元为一个Na +和一个Cl － 组成的正负离子对。金刚石的基元是一个面心立方上的Ｃ原子和一个体对角线上的Ｃ原子组成的Ｃ原子对。 由于NaCl 和金刚石都由面心立方结构套构而成，所以，其元胞基矢都为： 12 3()2()2()2a a a ? =+?? ?=+?? ?=+?? a j k a k i a i j 相应的晶胞基矢都为： ,,.a a a =?? =??=? a i b j c k 2. 六角密集结构可取四个原胞基矢 123,,a a a 与4a ,如图所示。试写出13O A A '、1331A A B B 、2255A B B A 、123456A A A A A A 这四个晶面所属晶面族的 晶面指数()h k l m 。 解： (1)．对于13O A A '面，其在四个原胞基矢 上的截矩分别为：１，１，1 2 -，１。所以， 其晶面指数为()1121。
(2)．对于1331A A B B 面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：１，１，1 2-，∞。 所以，其晶面指数为()1120。 (3)．对于2255A B B A 面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：１，1-，∞，∞。所以，其晶面指数为()1100。 (4)．对于123456A A A A A A 面，其在四个原胞基矢上的截矩分别为：∞，∞，∞，１。所以，其晶面指数为()0001。 3. 如将等体积的硬球堆成下列结构，求证球体可能占据的最大体积与总体积的 比为： 简立方： 6 π ；六角密集：6；金刚石： 。 证明： 由于晶格常数为a ，所以： (1)．构成简立方时，最大球半径为2 m a R = ，每个原胞中占有一个原子， 3 34326m a V a π π??∴== ??? 36 m V a π∴ = (2)．构成体心立方时，体对角线等于４倍的最大球半径，即：4m R ，每个晶胞中占有两个原子， 3 3 422348m V a π??∴=?= ? ??? 32m V a ∴ = (3)．构成面心立方时，面对角线等于４倍的最大球半径，即：4m R ，每个晶胞占有４个原子， 3 3 444346 m V a a π??∴=?= ? ???
固体物理第四章总结1
第四章总结成员及分工 1：一维晶格以及三维晶格的振动 2：晶格热容的量子理论 3：简谐近似和简谐坐标 4：晶格的状态方程和热膨胀 5：离子晶体的长波近似 4－1 一维晶格以及三维晶格的振动一、知识脉络
二、重点 1.格波的概念和“格波”解的物理意义 (1)定义：晶格原子在平衡位置附近作振动时，将以前进波的形式在晶体中传播，这种波称为格波。 (2)物理意义：一个格波解表示所有原子同时做频率为ω的振动，不同原子之间有位相差。相邻原子之间的位相差为aq 。 (3) q 的取值范围：－(π/a) 2.一维单原子链的色散关系 22241[1cos ]sin ()2aq aq m m ββω= -= 把 ω 与q 之间的关系称为色散关系(disperse relation)，也称为振动频谱或振动谱。 3.一维单原子链的运动方程 相邻原子之间的相互作用 βδδ-≈-=d dv F a d v d ???? ??=22δβ 第n 个原子的运动方程 11() (2) n n n n i t naq nq m Ae ωμβμμμμ?? +--=+-= 4.一维双原子链中两种原子的运动方程及其解 （1）运动方程( equation) )2(2221212n n n n M μμμβμ---=+++? ? )2(2221212n n n n M μμμβμ---=+++? ? （2）方程的解(solution) ])2([2q na t i n Ae -=ωμ ])12([12aq n t i n Be +-+=ωμ 5.声学波与光学波的概念与物理意义 （1）声学波与光学波的定义 }]sin )(41[1{2 /122 2aq M m mM mM M m +-++=+β ω }]sin ) (41[1{2/122 2aq M m mM mM M m +--+=-β ω ω＋对应的格波称为光学波（optic wave ）或光学支（optic branch) ；ω－对应的格 波称为声学波(acoustic wave)或声学支（acoustic branch ） （2）两种格波的振幅比 aq m A B cos 222 ββω-- =??? ??++ aq m A B cos 222 ββω-- =??? ??-- （3）ω＋ 与ω－ 都是q 的周期函数 )()(q a q --=+ωπ ω )()(q a q ++=+ωπ ω 第五章 第五章 晶体中电子能带理论 思考题 1. 1. 将布洛赫函数中的调制因子)(r k u 展成付里叶级数, 对于近自由电子, 当电子波矢远离和在布里渊区边界上两种情况下, 此级数有何特点? 在紧束缚模型下, 此级数又有什么特点? [解答] 由布洛赫定理可知, 晶体中电子的波函数 )()(r r k.r k i k u e =ψ, 对比本教科书(5.1)和(5.39)式可得 )(r k u = r K K .)(1 m i m m e a N ∑Ω . 对于近自由电子, 当电子波矢远离布里渊区边界时, 它的行为与自由电子近似, )(r k u 近似一常数. 因此, )(r k u 的展开式中, 除了)0(a 外, 其它项可忽略. 当电子波矢落在与倒格矢K n 正交的布里渊区边界时, 与布里渊区边界平行的晶面族对布洛赫波产生了强烈的反射, )(r k u 展开式中, 除了)0(a 和)(n a K 两项外, 其它项可忽略. 在紧束缚模型下, 电子在格点R n 附近的几率)(r k ψ2大, 偏离格点R n 的几率)(r k ψ2小. 对于这样的波函数, 其付里叶级数的展式包含若干项. 也就是说, 紧束缚模型下的布洛赫波函数要由若干个平面波来构造.. 2. 2. 布洛赫函数满足 )(n R r +ψ=)(r n k.R ψi e , 何以见得上式中k 具有波矢的意义? [解答] 人们总可以把布洛赫函数)(r ψ展成付里叶级数 r K k'h K k r ).()'()(h i h e a +∑+=ψ, 其中k ’是电子的波矢. 将)(r ψ代入 )(n R r +ψ=)(r n k.R ψi e , 得到 n k'.R i e =n k.R i e . 其中利用了πp n h 2.=R K (p 是整数), 由上式可知, k =k ’, 即k 具有波矢的意义. 3. 3. 波矢空间与倒格空间有何关系? 为什么说波矢空间内的状态点是准连续的? [解答] 波矢空间与倒格空间处于统一空间, 倒格空间的基矢分别为321 b b b 、、 , 而波矢空间的基矢分别为32N N / / /321b b b 、、 1N , N 1、N 2、N 3分别是沿正格子基矢321 a a a 、、方向晶体的原胞数目. 倒格空间中一个倒格点对应的体积为 *321) (Ω=??b b b , 《固体物理学》习题解答 黄昆 原著 汝琦改编 （志远解答，仅供参考） 第一章 晶体结构 1.1、 解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， Vc nV x = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1） a=2r ， V= 3 r 3 4π，Vc=a 3，n=1 ∴52.06r 8r 34a r 34x 3 333=π=π=π= （2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 3 3 4a r 4a 3=?= n=2, Vc=a 3 ∴68.083)r 3 34(r 342a r 342x 3 3 33≈π=π?=π?= （3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=?= n=4，Vc=a 3 74.062) r 22(r 344a r 344x 3 3 33≈π=π?=π?= （4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=62 60sin a a 6S ABO ??=??=2 a 233 晶胞的体积：V=332r 224a 23a 3 8 a 233C S ==?= ? n=1232 1 26112+?+? =6个 74.062r 224r 346x 3 3 ≈π=π?= （5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3 r 8a r 24a 3= ??= n=8, Vc=a 3 第一章 金属自由电子气体模型习题及答案 1. 你是如何理解绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近这一点的？ [解答] 自由电子论只考虑电子的动能。在绝对零度时，金属中的自由（价）电子，分布在费米能级及其以下的能级上，即分布在一个费米球内。在常温下，费米球内部离费米面远的状态全被电子占据，这些电子从格波获取的能量不足以使其跃迁到费米面附近或以外的空状态上，能够发生能态跃迁的仅是费米面附近的少数电子,而绝大多数电子的能态不会改变。也就是说，常温下电子的平均动能与绝对零度时的平均动能十分相近。 2. 晶体膨胀时，费米能级如何变化？ [解答] 费米能级 3/222 )3(2πn m E o F = ， 其中n 单位体积内的价电子数目。晶体膨胀时，体积变大，电子数目不变，n 变小，费密能级降低。 3． 为什么温度升高，费米能反而降低？ [解答] 当K T 0≠时，有一半量子态被电子所占据的能级即是费米能级。除了晶体膨胀引起费米能级降低外，温度升高，费米面附近的电子从格波获取的能量就越大，跃迁到费米面以外的电子就越多，原来有一半量子态被电子所占据的能级上的电子就少于一半，有一半量子态被电子所占据的能级必定降低，也就是说，温度生高，费米能反而降低。 4． 为什么价电子的浓度越大，价电子的平均动能就越大？ [解答] 由于绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近，我们讨论绝对零度时电子的平均动能与电子的浓度的关系。 价电子的浓度越大，价电子的平均动能就越大，这是金属中的价电子遵从费米—狄拉克统计分布的必 然结果。在绝对零度时，电子不可能都处于最低能级上，而是在费米球中均匀分布。由式 3/120)3(πn k F =可知，价电子的浓度越大费米球的半径就越大，高能量的电子就越多，价电子的平均动能 就越大。这一点从3 /2220)3(2πn m E F =和3/222)3(10353πn m E E o F ==式看得更清楚。电子的平均动能E 正比于费米能o F E ，而费米能又正比于电子浓度3 2l n 。所以价电子的浓度越大，价电子的平均动能就越大。 5． 两块同种金属，温度不同，接触后，温度未达到相等前，是否存在电势差？为什么？ [解答] 两块同种金属，温度分别为1T 和2T ，且21T T >。在这种情况下，温度为1T 的金属高于费米能o F E 的电子数目，多于温度为2T 的金属高于费米能o F E 的电子数目。两块同种金属接触后，系统的能量要取最小值，温度为1T 的金属高于o F E 的部分电子将流向温度为2T 的金属。温度未达到相等前，这种流动一直持续，期间，温度为1T 的金属失去电子，带正电；温度为2T 的金属得到电子，带负电，两者出现电势差。 Chapter 4 能带理论（energy band theory ） 一、简要回答下列问题（answer the following questions ） 1、波矢空间与倒格子空间有何关系？为什么说波矢空间内的状态点是准连续的？ ［答］波矢空间与倒格子空间处于统一空间，倒格子空间的基矢分别为321,,b b b ，而波矢空间的基矢分别为321332211,,;/,/,/N N N N N N b b b 分别是沿正格子基矢321,,a a a 方向晶体的原胞数目。 倒格空间中一个倒格点对应的体积为 *)(321Ω=??b b b 波矢空间中一个波矢点对应的体积为 N N N N *)(3 32 21 1Ω= ??b b b 即波矢空间中一个波矢点对应的体积, 是倒格空间中一个倒格点对应的体积的1/N 。由于N 是晶体的原胞数目，数目巨大，所以一个波矢点对应的体积与一个倒格点对应的体积相比是极其微小的。也就是说，波矢点在倒格子空间是极其稠密的。因此，在波矢空间内作求和处理时，可以把波矢空间的状态点看成是准连续的。 2、在布里渊区边界上电子的能带有何特点？ ［答］电子的能带依赖波矢的方向，在任一方向上，在布里渊区的边界上，近自由电子的能带一般会出现禁带。若电子所处的边界与倒格矢G h 正交，边界是G h 的中垂面，则禁带的宽度Eg=2|Vn|，Vn 是周期势场的付里叶级数的系数。 不论何种电子，在布里渊区的边界上，其等能面在垂直于在布里渊区的边界上的斜率为零，即电子的等能面与布里渊区的边界正交。 3、带顶和带底的电子与晶格的作用各有什么特点？ ［答］能带顶部是能带的极大值的位置，所以 022 ??k E ，晶格对电子作正功，有效质量大于零。 4、单电子理论是怎样将多体问题简化为周期场中的单电子问题的？ [答]单电子理论是在经过几步近似之后，将多体问题转化为单电子问题，以单电子在周 第一章 第一章 晶体的结构 思 考 题 1. 1. 以堆积模型计算由同种原子构成的同体积的体心和面心立方晶体中的原子数之比. [解答] 设原子的半径为R , 体心立方晶胞的空间对角线为4R , 晶胞的边长为3/4R , 晶胞的体积为() 3 3/4R , 一个晶胞包含两个原子, 一个原子占的体积为() 2/3/43 R ,单位体积 晶体中的原子数为() 3 3 /4/2R ; 面心立方晶胞的边长为2/4R , 晶胞的体积为 () 3 2/4R , 一个晶胞包含四个原子, 一个原子占的体积为() 4/2 /43 R , 单位体积晶体 中的原子数为() 3 2 /4/4R . 因此, 同体积的体心和面心立方晶体中的原子数之比为 2/323 ???? ? ?=0.272. 2. 2. 解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面？为什么？ [解答] 晶体容易沿解理面劈裂，说明平行于解理面的原子层之间的结合力弱，即平行解理面的原子层的间距大. 因为面间距大的晶面族的指数低, 所以解理面是面指数低的晶面. 3. 3. 基矢为=1a i a , =2a aj , =3a () k j i ++2 a 的晶体为何种结构? 若 =3a () k j +2 a +i 2 3a , 又为何种结构? 为什么? [解答] 有已知条件, 可计算出晶体的原胞的体积 23 321a = ??=a a a Ω. 由原胞的体积推断, 晶体结构为体心立方. 按照本章习题14, 我们可以构造新的矢量 =-=13a a u 2a ()k j i ++-, =-=23a a v 2a ()k j i +-, =-+=321a a a w 2 a ()k j i -+ . w v u ,,对应体心立方结构. 根据14题可以验证, w v u ,,满足选作基矢的充分条件.可见基 矢为=1a i a , =2a aj , =3a () k j i ++2a 的晶体为体心立方结构. 若 1.1对于体积V 内N 个电子的自由电子气体，证明 （1）电子气体的压强 ()() V p 032ξ?=，其中 0ξ为电子气体的基态能量。 （2）体弹性模量()V p V K ??-=为V 100ξ 解：（1） () 3 2 352225 223101101-==V N m h V m k h F πππξ （1.1.1） () () () ()() V V N m h V N m h V N m h V V p 035 352223535222323522223101323231013101ξππππππξ?==??? ? ??--=??? ? ????=??-=--- （1.1.2） （2） ()() () () V V N m h V N m h V V N m h V V V p V K 1031019103531013231013203 8 35222 383 52 22 353522 2ξππππππ==??? ? ??--=??? ? ????-=??-=--- （1.1.3） 1.2 He 3 原子是具有自旋1/2的费米子。在绝对零度附近，液体He 3 的密度为0.081g ?cm -3。 计算费米能量F ε和费米温度F T 。He 3 原子的质量为g m 24105-?≈。 解：把 He 3 原子当作负电背景下的正电费米子气体. Z=1. 3 2832224 1062.11062.1105081 .01m cm m Z n m ?=?=??== --ρ （1.2.1） ( ) 19173 1 2 108279.7108279.73--?=?==m cm n k F π （1.2.2） () eV J m k F F 42327 2 9 3422102626.41080174.6100.52108279.710055.12----?=?=?????= =ηε （1.2.3） K k T B F F 92.410381.1106.801742323=??==--ε （1.2.4） 山东大学试题专用纸 物理系-----年级----班 课程名称: 固体物理 共1页 学号: 姓名: 一. 填空(20分, 每题2分) 1.对晶格常数为a 的SC 晶体,与正格矢R =a i +2a j +2a k 正交的倒格子晶面族的面指数为( ), 其面间距为( ). 2.典型离子晶体的体积为V , 最近邻两离子的距离为R , 晶体的格波数目为( ), 长光学波的( )波会引起离子晶体宏观上的极化. 3. 金刚石晶体的结合类型是典型的( )晶体, 它有( )支格波. 4. 当电子遭受到某一晶面族的强烈反射时, 电子平行于晶面族的平均速度( )零, 电子波矢的末端处在( )边界上. 5. 两种不同金属接触后, 费米能级高的带( )电. 对导电有贡献的是 ( )的电子. 二. (25分) 1. 证明立方晶系的晶列[hkl ]与晶面族(hkl )正交. 2. 设晶格常数为a , 求立方晶系密勒指数为(hkl )的晶面族的面间距. 三. (25分) 设质量为m 的同种原子组成的一维双原子分子链, 分子内部的力系数为β1, 分子间相邻原子的力系数为β2, 分子的两原子的间距为d , 晶格常数为a , 1. 列出原子运动方程. 2. 求出格波的振动谱ω(q ). 四. (30分) 对于晶格常数为a 的SC 晶体 1. 以紧束缚近似求非简并s 态电子的能带. 2. 画出第一布里渊区[110]方向的能带曲线, 求出带宽. 3.当电子的波矢k =a πi +a π j 时,求导致电子产生布拉格反射的晶面族的面指数. (试题随答卷上交) 答案： 一. 填空(20分, 每题2分) 1.对晶格常数为a 的SC 晶体,与正格矢R =a i +2a j +2a k 正交的倒格子晶面族 的面指数为( 122 ), 其面间距为( a 32π ). 2.典型离子晶体的体积为V , 最近邻两离子的距离为R , 晶体的格波数 目为( 3 3R V ), 长光学波的( 纵 )波会引起离子晶体宏观上的极化. 3. 金刚石晶体的结合类型是典型的(共价结合)晶体, 它有( 6 )支格波. 4. 当电子遭受到某一晶面族的强烈反射时, 电子平行于晶面族的平均速度(不为 )零, 电子波矢的末端处在(布里渊区)边界上. 5. 两种不同金属接触后, 费米能级高的带(正)电.对导电有贡献的是 (费米面附近)的电子. 二. (25分) 1.设d 为晶面族()hkl 的面间距为, n 为单位法矢量, 根据晶面族的定义, 晶面族()hkl 将c b a 、、分别截为l k h 、、 等份， 即 a =?n a cos (a ,n )==a cos (a ,n )=hd , b =?n b cos (b ,n )= a cos (b ,n ) =kd , c =?n c cos (c ,n )= a cos (c ,n ) =ld . 于是有 n =a d h i +a d k j +a d l k =a d (h i +k j +l k ). (1) 其中, i 、j 、k 分别为平行于c b a 、、三个坐标轴的单位矢量. 而晶列 []hkl 的方向矢量为 =R ha i +ka j +la k =a (h i +k j +l k ). (2) 由(1)、（2）两式得 n =2a d R , 即n 与R 平行. 因此晶列[]hkl 与晶面()hkl 正交. 2. 立方晶系密勒指数为(hkl )的晶面族的面间距 22222222l k h a a l a k a h d hkl hkl ++= ++==k j i K πππππ 三. (25分) 1. 第四章 晶格结构中的缺陷 4.1 试证明，由N 个原子组成的晶体，其肖托基缺陷数为 s B k T s n Ne μ?= 其中s μ是形成一个空位所需要的能量。 证明：设由N 个原子组成的晶体，其肖托基缺陷数为s n ，则其微观状态数为 !()!s ! s s N P N n n =? 由于s μ个空位的出现，熵的改变 []!ln ln ln ()ln()ln ()!! B s B B s s s s s s N S k P k k N N N n N n n n N n n Δ===????? 晶体的自由能变化为 []ln ()ln()ln s s s s B s s s F n T S n k T N N N n N n n n μμ=?Δ=?????s 要使晶体的自由能最小 B ()ln 0s s s s T n F u k T n N ?????Δ=+=??????????n 整理得 s B k T s s n e N n μ ?=? 在实际晶体中，由于, s n N < 《固体物理学》习题解答 黄昆原著韩汝琦改编 (陈志远解答，仅供参考) 第一章晶体结构 1.1、 解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n和小球体积V所得到的小球总 体积nV与晶体原胞体积Vc之比，即：晶体原胞的空间利用率, (1)对于简立方结构：(见教材P2图1-1) a=2r, 4 V= 3 r3, Vc=a3,n=1 4 3 4 3 r r 二x 3 3 0.52 3 a 8r3 6 (2)对于体心立方：晶胞的体对角线BG= , 3a 4r n=2, Vc=a3 4 3 F) n=4, Vc=a3 (22r)3 (4 )对于六角密排：a=2r晶胞面积：S=6 S ABO nV Vc 0.68 (3 )对于面心立方：晶胞面对角线BC= , 2a 4r, a 2 ., 2r 0.74 晶胞的体积: V=S C V 3 2a324.2r3 n=1212 - 2 - 6 2 3=6个 24 2r3 0.74 (5 )对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3a 4 2r 8r .3 n=8, Vc=a3 所以，面心立方的倒格子是体心立方。 r a a, r 於i r j r k) （2 ）体心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢） r a r r r a2刖j k) r a丿r r a3 2(i j k) 8 3r38 3r3 83 3 ___ r 3,3 0.34 1.2、试证：六方密排堆积结构中C（8）1/21.633 a 3 证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球A、B、0的中心联线形成一个边长a=2r的正三角形，第二层硬球N位于球ABO所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是： NA=NB=N0=a=2R. 即图中NABO构成一个正四面体。… 1.3、证明：面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。 a i 2(j k) 证明：（1 ）面心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）a2 a ' a(i k) 由倒格子基矢的定义: a3) b1 2 同理可得: a3 a ' 2(i j) (a2 a3) b2 a a 0, r r r 2, 2 i , j, k 3 a a a r r a a _ J0, 一—,a2 a3 I0, — 2 2 4 2 2 a a a a J J0 0 2 2 2 2 a2 r r r 7「j k) k) k) 2 1—(i a jr a k） 即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相k) 《固体物理》基础知识训练题及其参考答案 说明：本内容是以黄昆原著、韩汝琦改编的《固体物理学》为蓝本，重点训练读者在固体物理方面的基础知识，具体以19次作业的形式展开训练。 第一章 作业1： 1.固体物理的研究对象有那些？ 答：（1）固体的结构；（2）组成固体的粒子之间的相互作用与运动规律；（3）固体的性能与用途。 2.晶体和非晶体原子排列各有什么特点？ 答：晶体中原子排列是周期性的，即晶体中的原子排列具有长程有序性。非晶体中原子排列没有严格的周期性，即非晶体中的原子排列具有短程有序而长程无序的特性。 3.试说明体心立方晶格，面心立方晶格，六角密排晶格的原子排列各有何特点？试画图说明。有那些单质晶体分别属于以上三类。 答：体心立方晶格：除了在立方体的每个棱角位置上有1个原子以外，在该立方体的体心位置还有一个原子。常见的体心立方晶体有：Li，Na，K，Rb，Cs，Fe等。 面心立方晶格：除了在立方体的每个棱角位置上有1个原子以外，在该立方体每个表面的中心还都有1个原子。常见的面心立方晶体有：Cu, Ag, Au, Al等。 六角密排晶格：以ABAB形式排列，第一层原子单元是在正六边形的每个角上分布1个原子，且在该正六边形的中心还有1个原子；第二层原子单元是由3个原子组成正三边形的角原子，且其中心在第一层原子平面上的投影位置在对应原子集合的最低凹陷处。常见的六角密排晶体有：Be，Mg，Zn，Cd等。 4.试说明, NaCl，金刚石，CsCl, ZnS晶格的粒子排列规律。 答：NaCl：先将两套相同的面心立方晶格，并让它们重合，然后，将一 套晶格沿另一套晶格的棱边滑行1/2个棱长，就组成Nacl晶格； 金刚石：先将碳原子组成两套相同的面心立方体，并让它们重合，然后将一套晶格沿另一套晶格的空角对角线滑行1/4个对角线的长度，就组成金刚石晶格； Cscl:：先将组成两套相同的简单立方，并让它们重合，然后将一套晶 格沿另一套晶格的体对角线滑行1/2个体对角线的长度，就组成Cscl晶格。 ZnS：类似于金刚石。 Q02_02_001 ? Ц ?? ? ?? ? ???? ? ? 喚???? ??? ? ????ρ??喌 ?? ? ? 喌?ν? ?? ?喌??? ?? ?? π???щ?? ? ? ?ρ ? 喌 ? ?? ?喛 Ц ? 喚??? ????? 喌 ?? Ц?喛 ? ? 喚? ? ?? ? ? ? 喌 ? ? ? ? 喌 ε 喈Ц喉? ? ???? ?Ц? ? ??? π??? ?? ?喌? π ?? ???喌??? ? π ?倇喌 ??ρ??? ?? ?喌??? ? ? ???? ? ?? ? 喚 ? ?? ?8?喌 ? ??? ?? ?? ?? ?ν????? ?? ?? ? ? ?喌? щ? ?? ??? ? ???? ??ρ???? ??Q02_03_001?? 喟 ???? ? ?? ? ?? ?? 喌?? 喌 ?? Д? ?喌 Д?? 喌? Д??? Q02_03_002?? ?℃?? ? 喟 ク??テ? ? ?? Д????? ∑ В? ∑喌 ? ?? ?????喌 1??∑ 2?????∑? ?テ? ? ?? ??喚3 4)(1512)/(D D V T R T C 4 4S ā?? ?3? ?℃?? ?喌 ?? 喌? ? ? 喌 ?∑ ∑?? ????Q02_03_003?? ?℃??? ? 喟 ク??テ? ? ?? ν N ? ? ?喌 ?? ? Д? ???Z 0 ??テ? ? ? ?倇 喚āā? ?喍? ??? B V Nk C 3#? ? ? 喚T k B B V B e T k Nk C 0 20)(3Z Z == āā ? ? ??喌? 侻? ?さ?3 AT C V ? ? ?ε ∑??? ? Q02_04_001 ? ??ク?? ? ? ???? ? 喛 第六章 自由电子论和电子的输运性质 思 考 题 1.如何理解电子分布函数)(E f 的物理意义是: 能量为E 的一个量子态被电子所占据的平均几率 [解答] 金属中的价电子遵从费密-狄拉克统计分布, 温度为T 时, 分布在能级E 上的电子数目 1/)(+=-T k E E B F e g n , g 为简并度, 即能级E 包含的量子态数目. 显然, 电子分布函数 11 )(/)(+=-T k E E B F e E f 是温度T 时, 能级E 的一个量子态上平均分布的电子数. 因为一个量子态最多由一个电子所占据, 所以)(E f 的物理意义又可表述为: 能量为E 的一个量子态被电子所占据的平均几率. 2.绝对零度时, 价电子与晶格是否交换能量 [解答] 晶格的振动形成格波，价电子与晶格交换能量，实际是价电子与格波交换能量. 格波的能量子称为声子, 价电子与格波交换能量可视为价电子与声子交换能量. 频率为i ω的格波的声子数 11 /-=T k i B i e n ωη. 从上式可以看出, 绝对零度时, 任何频率的格波的声子全都消失. 因此, 绝对零度时, 价电子与晶格不再交换能量. 3.你是如何理解绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近这一点的 [解答] 自由电子论只考虑电子的动能. 在绝对零度时, 金属中的自由(价)电子, 分布在费密能级及其以下的能级上, 即分布在一个费密球内. 在常温下, 费密球内部离费密面远的状态全被电子占据, 这些电子从格波获取的能量不足以使其跃迁到费密面附近或以外的空状态上, 能够发生能态跃迁的仅是费密面附近的少数电子, 而绝大多数电子的能态不会改变. 也就是说, 常温下电子的平均动能与绝对零度时的平均动能一定十分相近. 4.晶体膨胀时, 费密能级如何变化 [解答] 费密能级 3/2220)3(2πn m E F η=, 其中n 是单位体积内的价电子数目. 晶体膨胀时, 体积变大, 电子数目不变, n 变小, 费密能级降低. 5.为什么温度升高, 费密能反而降低 [解答] 《固体物理学》习题解答 黄昆 原著 韩汝琦改编 （陈志远解答，仅供参考） 第一章 晶体结构 1.1 、 解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点 阵排列堆积起来的。 它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目 n 和小球体积 V 所得到的小球总 体积 nV 与晶体原胞体积 Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， x nV Vc （ 1）对于简立方结构： （见教材 P2图 1-1） a=2r ， V= 4 r 3 ， Vc=a 3，n=1 3 4 r 3 4 r 3 ∴ x 3 3 0.52 a 3 8r 3 6 （ 2）对于体心立方：晶胞的体对角线 BG= 3a 4r a 4 3 x n=2, Vc=a 3 3 2 4 r 3 2 4 r 3 3 ∴ x 3 3 0.68 a 3 ( 4 3 8 r )3 3 （ 3）对于面心立方：晶胞面对角线 BC= 2a 4r , a 2 2r n=4 ，Vc=a 3 4 4 r 3 4 4 r 3 2 x 3 3 0.74 a 3 ( 2 2r) 3 6 （ 4）对于六角密排： a=2r 晶胞面积： S=6 S ABO 6 a a sin 60 3 3 2 2 = a 2 晶胞的体积： V= S C 3 3 a 2 8 a 3 2a 3 24 2r 3 2 3 n=12 12 1 2 1 3=6个 6 2 6 4 r 3 2 x 3 0.74 24 2r 3 6 （ 5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线 BG= 3a 4 2r a 8r n=8, Vc=a 3 3 x 表示钢球所占体积与总体积之比，如果将等体积球分别排列成下列结构，设 x简单立方π / 6 ≈体心立方 3π / 8 证明结构≈面心立方 2π / 6 ≈六方密排 2π / 6 ≈金刚石 3π /16 ≈ r a r 的关系根据不同晶体结构原子球的排列，晶格常数与解：设钢球半径为，a r不同，分别为：简单立方：= 2 金刚石：根据金刚石结构的特点，因为体对角线四分之一处的原子与角上的原子紧贴，因此有 证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是体心立方。 证明：体心立方格子的基矢可以写为 面心立方格子的基矢可以写为 根据定义，体心立方晶格的倒格子基矢为 同理 aπ/ 4的面心立方的基矢，说明体心立方晶与面心立方晶格基矢对比，正是晶格常数为格的倒格子确实是面心立方。注意，倒格子不是真实空间的几何分布，因此该面心立方只是形式上的，或者说是倒格子空间中的布拉菲格子。根据定义，面心立方的倒格子基矢为 同理 aπ4的体心立方晶格的基矢。而把以上结果与体心立方基矢比较，这正是晶格常数为 ABC 交于基矢的密勒指数为的晶面系中距离原点最近的平面证明：根据定义，截距分别为 即为平面的法线 根据定义，倒格子基矢为 则倒格子原胞的体积为 hkld 满足, 对于简单立方晶格，证明密勒指数为(), 的晶面系，面间距 a 为立方边长。其中 解：根据倒格子的特点，倒格子 hkl)(与晶面族,, 的面间距有如下关系 因此只要先求出倒格，求出其大小即可。 因为倒格子基矢互相正交，因此其大小为 则带入前边的关系式，即得晶面族的面间距。 写出体心立方和面心立方晶格结构的金属中，最近邻和次近邻的原子数。若立。，写出最近邻和次近邻的原子间距a 方边长为 答：体心立方晶格的最近邻原子数（配位数）为8，最近邻原子间距等于 a ；，次近邻原子间距为6次近邻原子数为 面心立方晶格的最近邻原子数（配位数）为12，最近邻原子间距等于 a 。，次近邻原子间距为次近邻原子数为6α = 2ln 2 证明两种一价离子组成 的一维晶格的马德隆常数为 证明：设一个由正负两种离子相间等距排列的无限一维长链，取一负离子作参考 如果将等体积球分别排列成下列结构，设x 表示钢球所占体积与总体积之比，证明结构x简单立方π/ 6 ≈体心立方3π/ 8 ≈面心立方2π/ 6 ≈六方密排2π/ 6 ≈金刚石3π/16 ≈ 解：设钢球半径为r ，根据不同晶体结构原子球的排列，晶格常数a 与r 的关系不同，分别为：简单立方：a = 2r 金刚石：根据金刚石结构的特点，因为体对角线四分之一处的原子与角上的原子紧贴，因此有 证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是体心立方。 证明：体心立方格子的基矢可以写为 面心立方格子的基矢可以写为 根据定义，体心立方晶格的倒格子基矢为 同理 与面心立方晶格基矢对比，正是晶格常数为4π/ a的面心立方的基矢，说明体心立方晶格的倒格子确实是面心立方。注意，倒格子不是真实空间的几何分布，因此该面心立方只是形式上的，或者说是倒格子空间中的布拉菲格子。根据定义，面心立方的倒格子基矢为 同理 而把以上结果与体心立方基矢比较，这正是晶格常数为4πa的体心立方晶格的基矢。 证明：根据定义，密勒指数为的晶面系中距离原点最近的平面ABC 交于基矢的截距分别为 即为平面的法线 根据定义，倒格子基矢为 则倒格子原胞的体积为 对于简单立方晶格，证明密勒指数为(h, k,l)的晶面系，面间距d 满足 其中a 为立方边长。 解：根据倒格子的特点，倒格子 与晶面族(h, k,l)的面间距有如下关系 因此只要先求出倒格，求出其大小即可。 因为倒格子基矢互相正交，因此其大小为 则带入前边的关系式，即得晶面族的面间距。 写出体心立方和面心立方晶格结构的金属中，最近邻和次近邻的原子数。若立方边长为a ，写出最近邻和次近邻的原子间距。 答：体心立方晶格的最近邻原子数（配位数）为8，最近邻原子间距等于 次近邻原子数为6，次近邻原子间距为a ； 面心立方晶格的最近邻原子数（配位数）为12，最近邻原子间距等于 次近邻原子数为6，次近邻原子间距为a 。 证明两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数为α= 2ln 2 证明：设一个由正负两种离子相间等距排列的无限一维长链，取一负离子作参考离子，用r表示相邻离子间的距离，于是有 根据假设，马德隆常数求和中的正负号这样选取，即遇正离子取正号，遇负离子取负号。因子2 是因为存在着两个相等距离i r 的离子，一个在参考离子左面，一个在其右面。 则马德隆常数为 当x =1时，有 所以α= 2ln 2黄昆固体物理课后习题答案5
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