固体物理 课后习题解答(黄昆版)第四章

4.1，根据 k

黄昆 固体物理 习题解答

第四章 能带理论

= ± π 状态简并微扰结果，求出与 E − 及 E +相应的波函数ψ − 及ψ+?，并说明它 a

们的特性．说明它们都代表驻波，并比较两个电子云分布 ψ2

说明能隙的来源(假设V n =V n *)。

＜解＞令 k

= + π ， k ′ = − π ，简并微扰波函数为ψ

=

A ψk

( ) + B ψk

( )

a

*

a

⎡E k ( ) − E A V B n

= 0

( )

V A n

+ ⎡E k − E B =

取 E E +

带入上式，其中 E +

= E k

0( )

+ V n

V(x)<0,V n < 0 ,从上式得到 于是

A ⎡ n π

− n π ⎤

π

ψ = A ⎡ψ 0( )−ψk

0′( )⎤ =

i

x

e a − e i x a =2A sin n x

+

⎣

k

⎢ L ⎣

⎥ ⎦

L a 取 E E − ， E −=E k

0( )− V n

V A n

= −V B n

,得到A B

A ⎡ i n

πx

−i n πx

⎤

π

ψ = A ⎡ψ 0( )−ψk

0′( )

⎤ =

e a − e

a

=2

A cos n x

−

⎣ k

⎦⎢ ⎣

L a

由教材可知，Ψ+及 Ψ − ν ( ) 为零．产生

驻波因为电子波矢

n k

π

=

时，电子波的波长

a

λ =2

π=2a ，恰好满足布拉格发射条件，这

k

n

时电子波发生全反射，并与反射波形成驻波由于两驻波的电子分布不同，所以对应不同代入 能量。

4.2,写出一维近自由电子近似，第 n 个能带(n=1，2，3)中，简约波数 k π

= 的 0 级波函数。

2a

1

1

r

2π

1

π 2π

1

i

2π

1

x

i mx i x i mx(m+ )

ψ

* ＜解＞( ) = ikx=

e

ikx a

e e

= e2a⋅

e

a= e a 4

k L

⋅π=L

*

L

π

1 i2x

L

第一能带：m0, m = 0,ψ( ) = e a

2a

b b′则b′ →,

k

2π

⋅= −

L

2π

, m= −1,i

2πx i π

∴ψ *( )= 1

3π

i x

e

第二能带：a a即（e a=e ）2a k L2a

2π2π 1 π2π 1 5π

第三能带：c′ →, ⋅=

a

a即m =

,

*

1,ψk( ) = L

i x i x

e2a⋅e

a

= L i x

e2a

解答（初稿）作者季正华- 1 -

4.3 电子在周期场中的势能．

黄昆 固体物理 习题解答

1 2 2 2 2 m ω ⎡b − −( x na ⎤

) ,

当na b x na b + V x ( ) =

0 ，

当(n-1)a+b ≤ ≤x na b −

其中 d ＝4b ， ω 是常数．试画出此势能曲线，求其平均值及此晶体的第一个和第二个禁带 度．

＜解＞(I)题设势能曲线如下图所示．

(2)势能的平均值：由图可见， V x ( ) 是个以 a 为周期的周期函数，所以

V x ( )

= 1

∫ V x L

( )

=

1

∫

a

( )

=

1

a b

( )

L a b

a ∫−b

题设 a = 4b ，故积分上限应为 a b − = 3b ，但由于在 [b b ,3 ] 区间内

[− , ] 区间内积分．这时， n = 0 ，于是

V x ( ) 0=

，故只需在

= 1

∫

b

= m ω

2

∫

b

2

2

=

m ω2 ⎡ 2

b

− 1

x 3

b ⎤ = 1

m ωb 2

V

( )

b − x dx )

( b x ⎢ −b −b

⎥ 。

a

−b

2a

−b

2a ⎣ 3

⎦ 6

（3），势能在[-2b,2b]区间是个偶函数，可以展开成傅立叶级数

V x ( ) = V +

∞

∑

′

V

m π = 2

∫

2b

V x

m π

xdx = 1

b

∫ V x

m π

xdx

=−∞ m

m

cos 2b ,m

2b

( ) cos 2b

b

( ) cos 2b

第一个禁带宽度 E

= V

以 m

= 1代入上式, E =

m ω 2

∫

b

2

2

(b

− x ) cos

π x

dx

g 2 ,

g

1

1

u

(

1

b

)