无穷级数与无穷积分收敛的判别法

无穷级数与无穷积分收敛的判别法

数学学院 09 级 （三）班 张柏忱 09041100434

摘要：本文给出了不具有奇点的无穷积分收敛的判别法和具有列奇点的无穷积分收敛的条件，以及无穷级数收敛性的判别法，并进一步讨论无穷级数与无穷积分的关系。

关键词：无穷级数 无穷积分 敛散性 奇点 有界

1.不具有奇点的无穷积分的收敛判别法 无穷积分是定积分在积分区间或被积函数上的推广，其中有积分区间有界但被积函数具有奇点（或对称点）的瑕积分和被积函数没有奇点但积分区间无界的无穷积分。对于没有奇点非负函数的无穷积分

⎰

∞

a

dx x f )(的收敛性，有一些便于应用的判别法。

定理 1 （有界判别法）若f 是[ a , +∞）,上的非负函数，则积分⎰

+∞

a

dx x f )(收敛充要条

件是任意A ∈[ a , +∞）,

⎰

A

a

dx x f )(有界。

证明 ：由于飞f(x) ≥ 0 (a +∞≤≤x )，故积分

⎰

≥A

a

a A dx x f )()(是上限A 增函数，

因而，还有一种广义积分，它不但被积分函数具有有限或无限的个奇点而且它的积分区间无限，是一种具有奇点的无穷积分，它的敛散性与个别奇点有关，也与无穷区间上这些无穷积分有关，因此，判断收敛性较困难，本文针对一类具有可列奇点的无穷积分进行探讨，给出了判别它收敛的一个简便方法。

定义 设A 为无穷集合，au ∈A(u=1,2,…)若存在常数d>0，使| ai-aj|≥d(i=1,2,…,i ≠j ),则称{ai}是A 上的疏散序列，若{au}还是单调的，则称{au}在A 上是单调函数。

显然，对于单调疏散序列{an}，有∞

→x lim an=+∞或∞

→x lim an=-∞，因此,[ a , +∞）上的单调疏

散序

-∞,b]上的单调疏散序列必是严格减少的。

引理 1 若函数f(x)在[ a , +∞）上单调非负，且无穷积分⎰

∞

a

dx x f )(收敛，

则对于[ a ,+∞）上的任一单调疏散序列（-∞, b] 级数

∑=n

i an f 1

)(都收敛。

证明 ：因为{an}在[ a ,+∞）上单调疏散，所以，{an}严格增加，且存在d>0,使又

a n+1-n a ≥d(u=1,2…)，又f(x)单调，所以

∑⎰

∑⎰

∑+===+≥-≥=++1

2

1

1

11

1

)()()(u k i a a n

k a a n k k k u d a a f dx x f dx x f n n

k k

由于+∞=+∞→n n a lim ，积分

⎰

∞

a

dx x f )(收敛，因此令∞→n ，得

⎰∑∞

∞

=∙≤1

)(/1)(2

a k i dx x f d a f

因为f(a i )≥0,所以级数

∑∞

=1

)(k i

a f 收敛。

引理 2 若在区间&上，函数f(x)单调有界，以a,b 为奇点，瑕积分&收敛，则存在m M u ≤≤,使

⎰

⎰=b

a

b

a

dx x g u dx x g x f )()()( （其中，m=inf b

x a x f ≤≤)(, M=sup b

x a x f ≤≤)(）

证明：由于函数f(x)在[a,b]上单调有界，瑕积分

⎰

b

a

dx x g )(发散。故由ABC 判别法知，积分

⎰

b

a

dx x g x f )()(收敛。因为在[a,b]上，M x f m ≤≤)(不变号。不妨设g(x 0≥)所以对任意

],[),(b a x ⊂∈βα得

Mg(x))()()(x Mg x g x f ≤≤ ⎰⎰⎰≤≤β

αβαβαdx x g M dx x g x f dx x g m

)()()()( 令a ,,βα→→b 得 ⎰⎰⎰

≤≤b

a

b a

b

a

dx x g M dx x g x f dx x g m

)()()()(

因此，存在M u m ≤≤，使

⎰⎰

=b

a

b

a

dx x g u dx x g x f )()()(

定理 1 若函数f(x)与g(x)在(a,∞+)上满足下列条件： （1）f(x)单调非负，积分

⎰

∞

a

dx x f )(收敛。

（2）f(x)有可列个奇点{n a }它们在(+∞,a )上单调疏散。对任意的自然数n ，

⎰

-=n

n a a a a x g 1

))((0收敛且关于n 一致有界，则积分

⎰

+∞

a

dx x g x f )()(收敛。

证明：已知瑕积分

⎰

=n

n a a n dx x g 1

_),2,1()( 收敛且关于n 一致有界，因此存在M>0，使对于

任意的自然数u ，有M dx x g n

n a a ≤⎰

-|)(|

1

。又因为f(x)单调非负，由引理 2 存在

)()(1-≤≤n n n a f u a f ，使

)(|)(||)()(|

11

1

-≤=⎰

⎰

--n a a n a a a Mf dx x g u dx x g x f n

n n

n