控制系统的误差分析和计算

输入引起的稳态误差 误差传递函数与稳态误差
输入引起的误差传递函数为
E(s) 1 = X (s) 1+ G(s)
i
Xi(s) +
E(s) -
G(s)
Xo(s)
则
E(s) =
1 X (s) 1+ G(s)
i
根据终值定理得
sX (s) e = lime(t) = limsE(s) = lim 1+ G(s)
e ssa
1 = Ka
0 0－ 型系统 Ka = 0－Ι型系统 K－ΙΙ型系统
essa
∞ = ∞ 1 K
输入引起的稳态误差
输入引起的稳态误差 总结： 总结： （1）位置误差、速度误差、加速度误差分别指输入 位置误差、速度误差、 是阶跃斜坡、 是阶跃斜坡、加速度输入时所引起的输出位置上的 误差。 误差。 （2 ）
E (s )
K1 T1s + 1
K2 T2 s + 1
Y (s )
1）当x(t)=1(t)时系统的静态误差； x(t)=1(t)时系统的静态误差； 时系统的静态误差 f(t)=t时系统的静态误差 时系统的静态误差； 2）当f(t)=t时系统的静态误差；
例：控制系统结构如图所示，其中扰动信号f(t)=1(t)。 控制系统结构如图所示，其中扰动信号f(t)=1(t)。 f(t)=1(t) 试问：能否选择一个合适的K 试问：能否选择一个合适的K值，使系统在扰动作用下的 稳态误差为e 0.009？ 稳态误差为esf=-0.009？
e3 = ∞ ess = e1 + e2 + e3 = ∞
干扰引起的稳态误差
Xi(s) ε(s) + N(s) Xo(s)
G1(s)
+
G2(s)
Y(s)
H(s)
− G2 (s)H(s) ε (s) = 1 + G2 (s)G1(s)H(s)
根据终值定理， 根据终值定理，干扰引起稳态偏差为
εss = limε (t) = lim sε (s)
i ss t→∞ s→0 s→0
输入引起的稳态误差
输入引起的误差传递函数为
ε (s) =
1 X (s) 1+ G(s)H(s)
i
Xi(s) +
ε(s) - Y(s)
G(s) H(s)
Xo(s)
根据终值定理得
sX (s) ε = limε (t) = limsε (s) = lim 1+ G(s)H(s) sX (s) 1 e = lim H(s) 1+ G(s)H(s)
E(s) 1 = X (s) 1+ G(s)
i
Xi(s) +
E(s) -
G(s)
Xo(s)
E(s) =
1 1 10 s (0.1s +1)(0.5s +1) (0.1s +1)(0.5s +1) • 1 = (0.1s +1)(0.5s +1) +10 s
i 2 2
1 X (s) = 1+ G(s) 1+
Ts + (1 − K 3 K 4 ) 1 = 2 + 2 Ts + s + K1K 2 K 3 Ts + s + K1K 2 K 3 s
essi = lim sE ( s ) =
s →0
Ts + (1 − K 3 K 4 )
1 − K3K 4 =0 K1K 2 K 3
K4 =
1 K3
K4 Xi(s) xi(t)=0时 N(s)
ss s→0
sR(s) ess = lim s→0 1 + G(s)
定义稳态位置误差系数Kp为 定义稳态位置误差系数K
K = limG(s) = G(0)
p s→0
★ 0型系统 型系统
G(s) =
K(τ s +1)(τ s +1)L (Ts +1)(T s +1)L
1 2 1 2
K = limG(s) = K
Ts + s + K1K 2 K 3
Ei ( s ) = X or ( s ) − X o ( s ) = [1 − Φ i ( s )]X i ( s ) = Ts 2 + (1 − K 3 K 4 ) s Ts + s + K1K 2 K 3
2
X i (s)
Ts 2 + (1 − K 3 K 4 ) s 1 1 = 2 + 2 Ts + s + K1K 2 K 3 s s
ess =
ε ss
H(0)
输入引起的稳态误差 例：系统如图所示，求当r(t)=4+6t+3t2 系统如图所示，求当r(t)=4+6t+3t 时的稳态误差。 时的稳态误差。
R(s)
解：r(t)=r1(t)+r2(t)+r3(t) e1 = 0
-
10 s( s + 4 )
C(s)
6 6 3 e2 = = = K 10 5
R(s) N(s)
1+a/s
K
G(s)
C(s)
减小系统误差的途经 （3）当系统既要求稳态误差小，又要求动态性能好 当系统既要求稳态误差小， 采用复合控制方法， 时，采用复合控制方法，或称顺馈的方法来对误差 进行补偿。 进行补偿。 按干扰补偿
Gn(s)
Xi(s) E(s) + + N(s) + + Xo(s)
F (s )
X i (s )
E (s )
K
10 X o (s ) (0.1s + 1)(0.2s + 1)(0.5s + 1)
为常数， 例:系统结构图如下，其中K1，K2，K3，K4，T为常数，试求 系统结构图如下， 以及扰动作用下， 当输入xi(t)=1+t以及扰动作用下，使系统稳态误差为零 的K4值和G0(s)。 K4 Xi(s)
G1(s)
G2(s)
对干扰进行全补偿的条件是
Gn (s) = − 1 G1(s)
减小系统误差的途经 按输入补偿
Gr(s)
Xi(s) E(s) + +
G(s)
Xo(s)
补偿条件
Gr (s) = − 1 G(s)
例：已知控制系统方块图如图所示，试求： 已
X (s )
v s→0
K K = limsG(s) = lim γ s
s→0
e ssv
−1
1 = Kv
0 0－ 型系统 Kv = K－Ι型系统 ∞－ΙΙ型系统
essv
∞ = 1 K 0
输入引起的稳态误差
系统若能完全跟踪速度输入信号， 系统若能完全跟踪速度输入信号，其开环 传递函数必须含有两个以上积分环节。 传递函数必须含有两个以上积分环节。
系统类别 0型系统 I型系统 II型系统 单位阶跃输入
1 1+ K
单位速度输入 ∞
1 K
单位加速度输入 ∞ ∞
1 K
0 0
0
输入引起的稳态误差
(3)静态误差系数Kp、Kv、Ka分别是0 (3)静态误差系数Kp、Kv、Ka分别是0型、I型、II 静态误差系数Kp 分别是 型系统的开环放大倍数。 型系统的开环放大倍数。 (4)对于单位反馈系统，稳态误差等于稳态偏差。 (4)对于单位反馈系统，稳态误差等于稳态偏差。 对于单位反馈系统 (5)对于非单位反馈系统有 (5)对于非单位反馈系统有
p
s→0
输入引起的稳态误差
★ Ⅰ型系统
G(s) = K(τ s +1)(τ s +1)L S(T s +1)(T s +1)L
1 2 1 2
K = limG(s) = ∞
p
s→0
★ Ⅱ型系统
K(τ s +1)(τ s +1)L G(s) = S (T s +1)(T s +1)L
1 2 2 1 2
ss s→0 s→0
γ +1
+
E(s) -
G(s)
Y(s)
可见
输 信 R(s)－ 入 号 e 与 K－ 环 益 有 开 增 关 系 型 γ－ 统 号
ss
输入引起的稳态误差 （1）单位阶跃输入时的稳态误差essp 单位阶跃输入时的稳态误差e
系统对单位阶跃输入的稳态误差是 1 1 1 e = lim = 1+ G(s) s 1+ G(0)
e = lim e(t ) = lim sE ( s ) = ∞
ss t →∞ s →0
输入引起的稳态误差 稳态误差系数
设其开环传递函数为
G(s) = K(τ s+)(τ s +1)L S γ (T s + (T s +1)L
1 2 1 2
R(s)
sR(s) S R(s) e = lim = lim γ 则 1+ G(s) s +K
i ss t→∞ s→0 s→0
i ss s→0
e =
ss
ε
ss
H
输入引起的稳态误差
已知单位反馈系统的开环传递函数为
G( s) = 10 ， ( 0.1 s + 1)( 0.5 s + 1)
试求当输入信号为x(t)=t时系统的稳态误差。 试求当输入信号为x(t)=t时系统的稳态误差。 x(t)=t时系统的稳态误差 解：
_
G0(s) K1
K2 s
N(s)
⊗ _
⊗
+
⊗
+
K Ts + 1
3
Xo(s)
K4 Xi(s) 解：n(t)=0时 K4 Xi(s)
_
G0(s) K1
K2 s
N(s)
⊗ _
⊗
+
⊗
+
K Ts + 1
3
Xo(s)
⊗ _
K1
K2 s
⊗
+
K3 Ts + 1
Xo(s)
系统闭环传递函数： Φ i ( s) = K 32K 4 s + K1K 2 K 3
K = limG(s) = ∞
p
s→0
0 系 K－ 型 统 K = ∞－ 型 统 Ι 系 ∞－ 型 统 ΙΙ 系
p
1 1+ K essp = 0 0
输入引起的稳态误差
消除阶跃输入作用下的稳态误差（静差），则开 消除阶跃输入作用下的稳态误差（静差），则开 ）， 环传递函数中至少应包含一个积分环节， 环传递函数中至少应包含一个积分环节，即系统 必须是Ⅰ型以上系统。 必须是Ⅰ型以上系统。
稳态误差的基本概念 误差信号e(t)与偏差信号ε 的关系 误差信号 与偏差信号ε(t)的关系 与偏差信号
控制系统的误差信号的象函数是
E(s) = µ(s) X (s) − X (s)
i o
控制系统的偏差信号的象函数是
ε (s) = X (s) −Y(s)
i
Y(s) = H(s) X (s)
o
1 µ(s) = H(s) 误差信号与偏差信号之间的关系 1 E(s) = ε (s) 或 ε (s) = H(s)E(s) H(s)
_ _
G0(s) K1
K2 s
N(s)
⊗ _
⊗
+
⊗
+
K Ts + 1
3
Xo(s)
G0(s)
⊗ _
K1 K 2 s
⊗
+
K Ts + 1
3
Xon(s)
N(s)
_
G0(s)
⊗ _
K1 K 2 s
⊗
+
K Ts + 1
3
Xon(s)
t→∞ s→0
则干扰引起稳态误差为
ess =
ε ss
H(0)
减小系统误差的途经 （1）系统的实际输出通过反馈环节与输入比较，因 系统的实际输出通过反馈环节与输入比较， 此反馈通道的精度对于减小系统的误差至关重要的。 此反馈通道的精度对于减小系统的误差至关重要的。 反馈通道元部件的精度要高， 反馈通道元部件的精度要高，避免在反馈通道引入 干扰。 干扰。 （2）在保证系统稳定的前提下，对于输入引起的误 在保证系统稳定的前提下， 差，可通过增大系统开环放大倍数和提高系统型次 来减小；对于干扰引起的误误差， 来减小；对于干扰引起的误误差，可通过增大系统 前向通道干扰点前加积分器和增大放大倍数来减小。 前向通道干扰点前加积分器和增大放大倍数来减小。
输入引起的稳态误差 （3）单位加速度输入时的稳态误差essa 单位加速度输入时的稳态误差e
系统对单位加速度输入的稳态误差是 1 1 1 essa = lims = lim 2 s→0 1 + G(s) s3 s→0 s + s2G(s) 定义稳态加速度误差系数K 定义稳态加速度误差系数Ka为
K 2 Ka = lim s G(s) = lim γ −2 s→ 0 s→ s 0
输入引起的稳态误差 （2）单位斜坡输入时的稳态误差essv 单位斜坡输入时的稳态误差e
系统对单位斜坡输入的稳态误差是
1 1 1 1 essv = lims = lim = lim 2 s→0 1 + G(s) s s→0 s[1 + G(s)] s←0 sG(s)
定义稳态速度误差系数K 定义稳态速度误差系数Kv为
控制系统的误差和计算
稳态误差的基本概念 误差的定义
µ(s)
Xi(s) ε(s) Xoi(s) E(s)
+Y(s)
G1(s)
+ +
N(s)
G2(s)
Xo(s)
H(s)
√控制系统希望的输出量和实际的输出量之差，记做 控制系统希望的输出量和实际的输出量之差， e(t)，误差信号的稳态分量，被称为稳态误差， e(t)，误差信号的稳态分量，被称为稳态误差，或称 静态误差，记做e 静态误差，记做ess。 √输入信号与反馈信号比较后的信号ε(t)也能反映系 输入信号与反馈信号比较后的信号ε t)也能反映系 统误差的大小，称为偏差。 统误差的大小，称为偏差。