传热与流体流动的数值计算课件
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1. 一开始在所有各个网格点上，猜测或估计一个T值。 2. 由这些估计的T值，计算出离散化方程中的系数的试探值。 3. 解名义上的线性化方程组，得到一组新的T值。 4. 以这些T值作为较好的估计值，返回到第二步并重复整个过程，
直到这种进一步的重复计算（迭代）不再引起T值任何有意义的 变化为止。
? 这种最终不变的状态叫做迭代的收敛。与之相反，迭代 永远也不会收敛到一个解的状态称为发散。
的数学方程所控制。 – 本章完成了随后几章所需要的若干预备性的工
作，提出代数方程的求解方法。
2
4-2 一维稳态热传导
– 基本方程
? 稳态一维问题的控制微分方程：
d (k dT ) ? S ? 0 dx dx ? 推导出离散化方程
?e
w
? ??
d dx
? ??
k
dT dx
? ??
?
S
? ??
dx
?
0
a pTp ? aETE ?
aW TW
?
b
(?x)w (?x)e
aE
?
ke
(? x)e
w
e
W
P
EBaidu Nhomakorabea
x
aW
?
kw
(? x)w
aP ? aE ? aW ? Sp? x
?x
b ? Sc? x
S ? Sc ? SpTp
3
-网格间距
? 网格点距离(δx)e与(δx)w没有必要相等。 ? 虽然只有在网格相当细时才可能得到精确的解，但是在因
在最终的实验中所应安装的探头位置和数目。
4
-界面导热系数ke
? 最直截了当的方法是假设k在P点和E值间呈线性变化：
ke ? fekP ? (1 ? fe ?kE
其中插入因子
(? fe ? (?
在某些情况下这种简单化会导
?x e? x ?e
致相当不准确的结果；而且这
(4.5)
(4.6)
(? x)e
样做不可能精确处理组合材料
? 当kP>>kE时，温qe度?Tkp将E ((一T? px直?)e扩?T展E )到界面e，而(4温.14降) Tp-TE将实际上发生
在距离(?x)e+内。
? 两个极限情况讨论表明这个公式可以适用于导热系数突然变化的情 况，而无需在发生突变的邻近区域采用极细的网格。
7
-非线性
? 即便是在热传导问题中我们也经常遇到非线性的情况。 如离散化方程中的系数本身与T有关。我们用迭代的方法 来处理。过程包括：
含着边界网格点上的温度。通过处理这些边界温度，就把已知的边界条 件引入到数值解法中。
? 热传导问题中有三类典型边界条件，对于每一种有：
– 1. 已知边界温度。此时不需要外加
(?x)i
任何方程。
– 2. 已知边界热流密度。得到：
变量随x变化相当慢的区域没有必要采用细的网格；在T~x 变化较陡的区域则需要细的网格。 ? 误区：不均匀网格的准确度比均匀网格差。 ? 设计一个合适的非均匀网格：
– 从解的定性预计得到指导。 – 用初步粗网格的解求得T~x变化形式；然后构成合适的非均匀网格。 – 先进行预备性的实验或探索性试验，然后应用得到的数据资料确定
? 其效能可由两种极限情况看出：
? 令kE 0，则有ke 0（ 4.12 ），即一个绝热层表面上的热流密度为 0。
? 令kP>>kE，那么ke＝kE/fe （4.13） 。表明界面的导热系数ke完全与kP
无关； ke不等于kE ，而是它的1/ fe 。
? 目的是通过（4.7）得到一个正确的qe，应用(4.13)，得：
数kE的材料填满，对于P点和E点之间的组合板，根据稳态
无内热源一维导热的分析，有：
qe
?
kP (TP ? Te ? (? x?e?
qe
?
kE (Te ? TE ? (? ?x e?
qe
?
(TP (? x?e?
? TE ? ? (? ?x e?
(4.8)
? 合并得： 1 ? fe ? (1 ? fe ?
ke kE
kP
kP
kE
(4.9)
? 当界面l位于P和E之间的中点时，有fe=0.5，有：
ke
?
2kPkE kP ? kE
(4.10)
? 上式说明ke是kP和kE的调和平均值，而非给出的平均值。
6
? 应用于系数的定义式，得到aE：
aE
? [ (? x)e?
kp
?
(? x)e? ]?1
kE
(4.11)
在点Tp* ，所 选择的直线与
S~T曲线相切。
S
?
S*
?
( dS dT
)* (T p
?
TP* )
?
4?
5TP*3
?
15TP*2 (TP
?
TP* )
SC ? 4 ? 10TP*3
SP ? ? 15TP*2
9
4. SC =4+20Tp*3，Sp= -25Tp*2。这一线性化比已知的S~T曲线 陡，使收敛速度降低。
四种可能的线性化与实际曲线比较如图：
10
-边界条件
? 讨论图中所示网格点组。
在两个边界上各有一个网格 B
点。其余网格点称为内点。
iI
WP E
围绕每个内点有一个控制容
积。对每一个控制容积可以
写一个像方程（4.2）那样的离散化方程，如果看作是关于Tp的方程，那 么就有了对所有内网格点上未知温度所必要的方程。其中有两个方程包
中可能遇到的导热系数的突然
w
e
x
变化。
P
E
一种替代方法：
得到一个通过下式描述的界面 热流密度qe的良好表达式：
(?x)e- (?x)e+
qe
?
ke (TP ? TE ?? (? x?e
(TP ? TE ? (? x?e / ke
(4.7)
5
? 讨论这样一种情况：围绕着网格点P的控制容积由具有均
匀导热系数kP的材料填满，围绕着E点的控制容积由导热系
传热与流体流动的数值计算
[美] S.V. 帕坦卡 著
同济大学机械工程学院 朱彤
1
第四章 热传导
? 4-1 本章的对象 ? 着手构建一个求解通用微分方程的数值方法
? (?? ) ? div( ? u? ) ? div(? grad? ) ? S
?t – 构成一个求解通用微分方程的数值方法，略去
对流项。 – 其他一些物理过程也由非常类似于热传导方程
8
-源项的线性化
? 当源项S与T有关时，用方程（4.4）给出的线性形式表达。 ? 当S是T的一个非线性函数时，必须把它线性化，即规定SC
和SP的值。有很多方法可以把给定的S表达式分解成SC和SP。 如：
–已知S=4-5T3。某些可能的线性化：
?1. SC =4-5Tp*3，Sp=0。这种做法不能很好利用已知S~T关系的有利条件。 ?2. SC =4， Sp= -Tp*3 。看起来像准确的线性化，但已知的曲线比这一关系 所反映的曲线要陡。 ?3. 推荐的方法：
直到这种进一步的重复计算（迭代）不再引起T值任何有意义的 变化为止。
? 这种最终不变的状态叫做迭代的收敛。与之相反，迭代 永远也不会收敛到一个解的状态称为发散。
的数学方程所控制。 – 本章完成了随后几章所需要的若干预备性的工
作，提出代数方程的求解方法。
2
4-2 一维稳态热传导
– 基本方程
? 稳态一维问题的控制微分方程：
d (k dT ) ? S ? 0 dx dx ? 推导出离散化方程
?e
w
? ??
d dx
? ??
k
dT dx
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?
S
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?
0
a pTp ? aETE ?
aW TW
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b
(?x)w (?x)e
aE
?
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(? x)e
w
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W
P
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x
aW
?
kw
(? x)w
aP ? aE ? aW ? Sp? x
?x
b ? Sc? x
S ? Sc ? SpTp
3
-网格间距
? 网格点距离(δx)e与(δx)w没有必要相等。 ? 虽然只有在网格相当细时才可能得到精确的解，但是在因
在最终的实验中所应安装的探头位置和数目。
4
-界面导热系数ke
? 最直截了当的方法是假设k在P点和E值间呈线性变化：
ke ? fekP ? (1 ? fe ?kE
其中插入因子
(? fe ? (?
在某些情况下这种简单化会导
?x e? x ?e
致相当不准确的结果；而且这
(4.5)
(4.6)
(? x)e
样做不可能精确处理组合材料
? 当kP>>kE时，温qe度?Tkp将E ((一T? px直?)e扩?T展E )到界面e，而(4温.14降) Tp-TE将实际上发生
在距离(?x)e+内。
? 两个极限情况讨论表明这个公式可以适用于导热系数突然变化的情 况，而无需在发生突变的邻近区域采用极细的网格。
7
-非线性
? 即便是在热传导问题中我们也经常遇到非线性的情况。 如离散化方程中的系数本身与T有关。我们用迭代的方法 来处理。过程包括：
含着边界网格点上的温度。通过处理这些边界温度，就把已知的边界条 件引入到数值解法中。
? 热传导问题中有三类典型边界条件，对于每一种有：
– 1. 已知边界温度。此时不需要外加
(?x)i
任何方程。
– 2. 已知边界热流密度。得到：
变量随x变化相当慢的区域没有必要采用细的网格；在T~x 变化较陡的区域则需要细的网格。 ? 误区：不均匀网格的准确度比均匀网格差。 ? 设计一个合适的非均匀网格：
– 从解的定性预计得到指导。 – 用初步粗网格的解求得T~x变化形式；然后构成合适的非均匀网格。 – 先进行预备性的实验或探索性试验，然后应用得到的数据资料确定
? 其效能可由两种极限情况看出：
? 令kE 0，则有ke 0（ 4.12 ），即一个绝热层表面上的热流密度为 0。
? 令kP>>kE，那么ke＝kE/fe （4.13） 。表明界面的导热系数ke完全与kP
无关； ke不等于kE ，而是它的1/ fe 。
? 目的是通过（4.7）得到一个正确的qe，应用(4.13)，得：
数kE的材料填满，对于P点和E点之间的组合板，根据稳态
无内热源一维导热的分析，有：
qe
?
kP (TP ? Te ? (? x?e?
qe
?
kE (Te ? TE ? (? ?x e?
qe
?
(TP (? x?e?
? TE ? ? (? ?x e?
(4.8)
? 合并得： 1 ? fe ? (1 ? fe ?
ke kE
kP
kP
kE
(4.9)
? 当界面l位于P和E之间的中点时，有fe=0.5，有：
ke
?
2kPkE kP ? kE
(4.10)
? 上式说明ke是kP和kE的调和平均值，而非给出的平均值。
6
? 应用于系数的定义式，得到aE：
aE
? [ (? x)e?
kp
?
(? x)e? ]?1
kE
(4.11)
在点Tp* ，所 选择的直线与
S~T曲线相切。
S
?
S*
?
( dS dT
)* (T p
?
TP* )
?
4?
5TP*3
?
15TP*2 (TP
?
TP* )
SC ? 4 ? 10TP*3
SP ? ? 15TP*2
9
4. SC =4+20Tp*3，Sp= -25Tp*2。这一线性化比已知的S~T曲线 陡，使收敛速度降低。
四种可能的线性化与实际曲线比较如图：
10
-边界条件
? 讨论图中所示网格点组。
在两个边界上各有一个网格 B
点。其余网格点称为内点。
iI
WP E
围绕每个内点有一个控制容
积。对每一个控制容积可以
写一个像方程（4.2）那样的离散化方程，如果看作是关于Tp的方程，那 么就有了对所有内网格点上未知温度所必要的方程。其中有两个方程包
中可能遇到的导热系数的突然
w
e
x
变化。
P
E
一种替代方法：
得到一个通过下式描述的界面 热流密度qe的良好表达式：
(?x)e- (?x)e+
qe
?
ke (TP ? TE ?? (? x?e
(TP ? TE ? (? x?e / ke
(4.7)
5
? 讨论这样一种情况：围绕着网格点P的控制容积由具有均
匀导热系数kP的材料填满，围绕着E点的控制容积由导热系
传热与流体流动的数值计算
[美] S.V. 帕坦卡 著
同济大学机械工程学院 朱彤
1
第四章 热传导
? 4-1 本章的对象 ? 着手构建一个求解通用微分方程的数值方法
? (?? ) ? div( ? u? ) ? div(? grad? ) ? S
?t – 构成一个求解通用微分方程的数值方法，略去
对流项。 – 其他一些物理过程也由非常类似于热传导方程
8
-源项的线性化
? 当源项S与T有关时，用方程（4.4）给出的线性形式表达。 ? 当S是T的一个非线性函数时，必须把它线性化，即规定SC
和SP的值。有很多方法可以把给定的S表达式分解成SC和SP。 如：
–已知S=4-5T3。某些可能的线性化：
?1. SC =4-5Tp*3，Sp=0。这种做法不能很好利用已知S~T关系的有利条件。 ?2. SC =4， Sp= -Tp*3 。看起来像准确的线性化，但已知的曲线比这一关系 所反映的曲线要陡。 ?3. 推荐的方法：