第二节 正项级数及其审敛法

(n N )
由比较审敛法的推论, 得证.
例 4 判定下列级数的敛散性:
1 (2) n ; n 1 3 n 1 sin n 1, 原级数发散. 解 (1) lim n sin 1 lim n n n 1 1 n n 3 n lim 1 1, ( 2) lim n 1 n n 1 n n 3 3 1 n收敛 , 故原级数收敛. n 1 3
n1 n1
(3) 当 l 时, 由 bn 发散可推出 an 发散 .
n1 n1


an 证明 (1) 由 lim l n b n
l 对于 0, 2
l an l l l 2 bn 2
N , 当n N时,
l 3l 即 bn an bn 2 2
2 n 1
2
反之不成立.
1 例如： 2 收敛, n 1 n

1 n 发散. n 1

正项级数审敛法小结
1.比较审敛法
2.比值审敛法
3.根值审敛法
4.积分审敛法
小结：判别正项级数敛散性程序： 否，级数发散 按定义 比较法 lim u n是否为零 n ＋ 是，或无法求 比值法 根植法 积分法

1 是发散的. n( n 1)
证明
1 1 , n( n 1) n 1
1 1 而级数 发散 , n 1 n 1 k 2 k
级数
n 1

1 发散. n( n 1)
1 例 3 判别级数 ( n 1 n ) 的敛散性. n 1 n
n
n
n
常用根值审敛法 .
1 例 : 1) 判定级数 n 的敛散性 . n 1 n

n1 2) 判定级数 的敛散性. n 1 3 n
n

3 3) 判定级数 n 的敛散性. n 1 4

n
8、利用级数收敛的必要条件可以求数列极限
例：求数列的极限
证明 (1) 设 bn an bn ,
n 1

且 sn a1 a2 an b1 b2 bn ,
即部分和数列有界

an收敛. n 1

(2) 设 sn (n )
且 an bn ,
不是有界数列
定理证毕.
则 n sn
n
1
dx 1 1 1 (1 p1 ) 1 p 1 x p1 n p1
即sn有界,

则p 级数收敛.
1 当p 1时, 收敛 p 级数 p n 1 n 当p 1时, 发散
重要基本级数 几何级数, p - 级数, 调和级数.
例 2 证明级数
n 1
设 an 为正项级数 ,
n 1
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若极限 lim n an 有确定意义 , 则有
n
(1) 当 0 1 时,
级数收敛 ；
(2) 当 1 时, 级数发散 ；
(3) 当 1 时, 级数敛散性需另行判定.
当一般项中含有 n , a 等 lim n an 易求的 级数
n
3 , 2
un1 lim lim an 不存在. n u n n
例7
判别下列级数的收敛性: 1 n! n! (1) ; (2) n ; (3) n ; n1 n! n1 10 n1 n
解
1 un1 ( n 1)! 1 (1) 0 ( n ), 1 un n1 n! 1 故级数 收敛. n 1 n!
第二节 正项级数及其审敛法
1、定义:若 an 0 , 则称级数
an 为正项级数.
n1

2、正项级数收敛的充要条件:
部分和数列 { sn } 为单调增加数列.
基本定理
正项级数收敛 部分和所成的数列{ sn } 有界.
正项级数发散 部分和所成的数列 {sn } 无界.
3、正项级数比较审敛法1
( 2) 条件是充分不必要的 .
a n 1 即： an 收敛, 未必有 lim 若 1 . n a n 1 n

( 3) 当 an 中含有 n! , n 次幂 , 关于 n 的连乘积 , 或指数出现 n , 常用比值审敛法 .
(4) 凡涉及抽象证明题 , 一般不可用比值审敛法 , 常用比较审敛法或定义 证明 .
1 1 1 1 证明 ( n 1 n ) 3, n n( n 1 n ) 2n n 2n 2

1 1 而级数 3 3 收敛 , 2 k 2 n 2 n 1 2 n 2 1
1 级数 ( n 1 n ) 收敛. n1 n


当级数一般项较复杂时，不容易比较，可用 下列比较判别法的极限形式
n! 1) lim n , n n 1 n2 2) lim(1 ) n n
9、正项级数的柯西积分审敛法

(课本Page 240)
对正项级数 an , 若有定义在 [1,) 上的连续
n 1
单减函数 f ( x ) 使得
n 1
f ( n) an
1
( n 1,2,)
n! 故级数 n 发散. n1 10

例7
判别下列级数的收敛性: 1 n! n! (1) ; (2) n ; (3) n ; n1 n! n1 10 n1 n
n un1 ( n 1)! n 1 ( 3) lim lim lim n n 1 n u n ( n 1) n! n ( n 1) e n
2) 设 p 1 ,
n n 1 1 1 p dx dx p p n 1 n n 1 x n

1 1 p, p n x
1 1 1 sn 1 p p p 2 3 n 1
2 1 n dx dx p n 1 x p x
1

解
例9
解
讨论级数 n x
n 1

n 1
( x 0 ) 的敛散性.
n a n 1 ( n 1) x lim x lim n 1 n a n nx n
当 0 x 1 时, 级数收敛；
当 x 1时, 级数发散； 当 x 1时,
说明:
a n 1 a n 1 (1) 若 lim 1 或 lim 不存在, 比值审敛法失效 . n a n a n n
n
n
n! 故级数 n 收敛. n 1 n

例8
1 判别级数 的敛散性. n1 ( 2n 1) 2n
un1 ( 2n 1) 2n lim lim 1, n u n ( 2n 1) ( 2n 2) n
比值审敛法失效, 改用比较审敛法
1 1 1 2 , 级数 2 收敛, ( 2n 1) 2n n n 1 n 1 故级数 收敛. n1 2n ( 2n 1)
1 (1) sin ; n n 1


5、比较审敛法3 (比阶审敛法)
设 an 和 bn 均为正项级数 ,
n1 n1


通项 an 和 bn 均为 n 时的无穷小 .
(1) 当 an 为 bn 的同阶或高阶无穷小时 , 由 bn 收敛可推出 an 收敛 .
n 1 n 1
4、比较审敛法的极限形式:(比较审敛法2)
设 an 和 bn 均为正项级数 ,
n 1 n 1
an 若极限 lim l 有确定意义 , 则有 n b n
(1) 当 0 l 时, 两个级数有相同的敛散性 ；
(2) 当 l 0 时, 由 bn 收敛可推出 an 收敛 ;
两种判别法可结合应用.
例 10
n n cos 3 的收敛性. 判别级数 2n n 1
2
2
n n cos n 解 3 , 2n 2n n1 n 1 n 1 2 1, 级数 n 收敛, lim n n 2 n1 2 2n
∴ 原级数收敛 .
7.根值审敛法 (柯西判别法)：

6、比值审敛法 (D’Alembert判别法)
设 an 为正项级数 ,
n1

a n 1 若极限 lim 有确定意义 , 则有 n a n
(1) 当 0 1 时, 级数收敛 ； (2) 当 1 时, 级数发散 ； (3) 当 1 时, 级数敛散性需另行判定.
则级数 an 与反常积分
f ( x )dx 同敛散 .
思考题
设正项级数 un 收敛, 能否推得 un
n1 n1


2
收敛?反之是否成立?
解 由正项级数 un 收敛，可以推得 un 收敛,
2 n1 n1


un lim un 0 lim n n u n
由比较审敛法知 un 收敛.

bn发散. n 1

例 1 讨论 p-级数
1 1 1 1 1 p p p p 的收敛性.( p 0) 2 3 4 n
1 1 1 解 1) 设 p 1 , p , 而级数 发散 , n n n 1 n
1 p 级数 p 发散 . n 1 n
比值审敛法的优点: 不必找基本级数.
当 an 中含有 n! , n 次幂 , 关于 n 的连乘积 , 或指数出现 n , 常用比值审敛法 .
两点注意:
1.当 1 时比值审敛法失效;
1 例 级数 发散, n 1 n

级数
n 1

n
( 1) 1 收敛, 2
2. 条件是充分不必要的.
( 2) 当 an 为 bn 的同阶或低阶无穷小时 , 由 bn 发散可推出 an 发散 .
n 1 n 1
(3) 当 an～bn 时 , 两个级数有相同的敛散性 .
例5
k 判别级数 1 cos ( k 0) 的敛散性. n n 1

例6
1 判别级数 ln 1 k 的敛散性. n n 1
2 ( 1)n 3 例 un n vn , n 2 2
2 ( 1)n 级数 un 收敛, n 2 n 1 n 1

un1 2 ( 1)n1 但 an , n un 2( 2 ( 1) )
lim a2 n
n
1 , 6
lim a2 n1
设 an 和 bn 均为正项级数 ,
n 1 n 1
且自某项起有 an bn (n k , k 1,) ,
(1) 若 bn 收敛 , 则 an 也收敛 .
n 1 n 1
( 2) 若 an 发散 , 则 bn 也发散 .
n 1 n 1


例7
判别下列级数的收敛性: 1 n! n! (1) ; (2) n ; (3) n ; n1 n! n1 10 n1 n
un1 ( n 1)! 10n n1 ( 2) lim lim lim , n 1 n u n 10 n 10 n! n