数学分析论文

数学分析论文

课题：定积分及其简单应用漫笔学生姓名：欧习昌

学号：************

系部：数学与计算机科学学院专业：数学与应用数学

年级：2011数本1班

指导教师：

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关键字1

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第一部分定积分的基础知识

1 定积分的概念

1.1定积分的定义

1.2定积分的几何意义

2 定积分存在的条件

2.1定积分存在的必要条件

2.2定积分存在的充要条件

2.3可积函数类

3定积分的性质

3.1 基本性质

3.2 积分中值定理

4 定积分的计算方法

4.1 定积分计算的基本公式

4.2定积分的换元公式

4.3 定积分的部分积分公式

4.4 杂例积分

第二部分定积分的简单应用

1 定积分在平面几何的应用·

1.1微元法·

1.2用定积分求平面图形的面积·

1.3极坐标下平面图形的面积·

2 应用定积分求旋转体的体积·

2.1平行截面积已知的立体体积.·

2.1.1旋转体体积·

3 定积分在物理上的应用·3.1质心·

3.2变力做功·

3.3电学上的应用·

4.定积分在经济中的应用·总结·

参考文献·

定积分及其简单应用漫笔

摘要：该篇论文着重讨论积分学的另一个重要的基本问题——定积分。先从定积分

的基础知识：积分的概念，积分的充要条件，积分性质，积分计算方法讨论；再来讨论定积分的简单应用。

关键词：定积分 积分中值 积分换元 几何物理应用

引言 定积分是人们在解决实际问题过程中产生，逐渐发展完善起来的，不论在理论

还是在实际应用上，都起到十分重要的意义，并且揭示定积分与不定积分之间的关系。同时，定积分在自然科学和实际问题中有着广泛的应用。

第一部分 定积分的基础知识

1 定积分的概念

1.1定积分的定义

定义 设函数)(x f 在区间],[b a 上有定义，任取分点b x x x x x a n n =<<⋅⋅⋅<<<=-1210 把区间],[b a 任意分割成n 个小区间],[1i i x x -，第i 个小区间的长度为),,1(1n i x x x i i i ⋅⋅⋅=-=∆-，记

{}i n

i x ∆=≤≤1max λ.在每个小区间],[1i i x x -上任取一点),,2,1(n i i ⋅⋅⋅=ξ作和式

i

n

i i

x f ∆∑=)(1

ξ，当0→λ时，若极限i

n

i i

x f ∆∑=→)(lim 1

ξλ

存在，则称函数)(x f 在],[b a 上可积，并称这个极限为函数)(x f 在区间],[b a 上的定积分，记作

⎰

b a

dx x f )(，即

⎰

b a

dx x f )(i n

i i x f ∆=∑=→)(lim 1

ξλ .

其中，“)(x f ”称为被积函数，“dx x f )(”称为被积表达式，x 称为积分变量，a 称为积分下限，b 称为积分上限，],[b a 称为积分区间.

1、2定积分的几何意义

1

设)(x f 是[]b a ,上的连续函数，由曲线)(x f y =及直线0,,===y b x a x 所围成的 曲边梯形的面积记为A .由定积分的定义，知

（1）当0)(≥x f 时，A dx x f b a =⎰)( （2）当0)(≤x f 时，

A dx x f b a

-=⎰

)(

（3）如果)(x f 在[]b a ,上有时取正值，有时取负值时，那么以[]b a ,为底边，以曲线

)(x f y =为曲边的曲边梯形可分成几个部分，使得每一部分都位于x 轴的上方或下方.这

时

定积分在几何上表示上述这些部分曲边梯形面积的代数和，如图5.3所示，有

321)(A A A dx x f b a

+-=⎰

其中321,,A A A 分别是图5.3中三部分曲边梯形的面积，它们都是正数.

2 定积分存在的条件

2、1 定积分的必要条件

定理1 若函数()f x 在区间[],a b 上可积，则()f x 在[],a b 上有界。

2、2 定积分充要条件

设函数()f x 在[],a b 有界，在[],a b 插入分点

2

b x x x x x a n n =<<<<<=-1210

把[],a b 分成n 个小区间[]1,i i x x -()1,2,...,i n =，记

()[]

{

}()[]{}

11

1

sup ,inf ,i i i i

i i

i i i M f x x x x m f x x x

x x x x ---=∈=∈∆=-

作和式

1

n i i i S M x -

==∆∑ 1

n

i i i S m x -

==∆∑

分别成为对于分割的达布上和与达布下和，它们具有以下性质。

性质1 如果在原有的分点上加入新的分点，则上和不增，下和不减。

性质2 对于一切分法，上和集合{S}有下界m(b-a), 下和集合{S}有上界M(b-a).

性质3 任一个下和S 总不超过任一个上和S,即使是对应于不同分法的上和与下和。 定理2（定积分存在的第一充要条件）

函数)(x f 在],[b a 上可积的充分必要条件是00lim lim S S λλ-

→→-=或0lim 0S S λ-→-⎛⎫-= ⎪⎝⎭

定义 记i i i m M -=ω，称之为)(x f 在i x ∆上的幅度，则有

1

n

i i i S S x ω-

-

=-=∆∑

定理3 （定积分存在的第二充要条件）

函数)(x f 在],[b a 上可积的充分必要条件是对任意的两个正数ε及0σ>，可找到

0δ>，使当任一分法满足{}max i x λδ=∆<时，对应于幅度'i ωε≥的那些区间的长度

'i x ε∆≥之和''

i i x σ∆<∑。

2、3 定积分函数类

3