一阶微分方程的平衡点及其稳定性
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强度使效益最大 .
假设 ? 鱼销售价格 p ? 单位捕捞强度费用 c
收入 T = ph(x) = pEx
支出 S = cE
单位时间利润 R ? T ? S ? pEx ? cE
稳定平衡点 x0 ? N (1 ? E / r )
R(E ) ? T (E ) ? S (E ) ? pNE (1 ? E ) ? cE r
一阶微分方程的平衡点及其稳定性 x?? F (x) (1) 一阶非线性（自治）方程
F(x)=0的根x0 ~微分方程的 平衡点 x?x?x0 ? 0? x ? x0
设x(t)是方程的解，若从 x0 某邻域的任一初值出发，
都有
lim x(t)
t? ?
?
x 0
,
称x 0是方程 (1)的稳定平衡点
不求x(t), 判断x0稳定性的方法 ——直接法
E ~捕捞强度
r~固有增长率
x0 稳定, 可得到稳定产量 x1 稳定, 渔场干枯
产量模型
在捕捞量稳定的条件下， 图解法
控制捕捞强度使产量最大
F (x) ? f (x) ? h(x)
y
f ( x ) ? rx (1 ? x )
N
hm
h(x) ? Ex
h
F(x) ? 0 f 与h交点P
y=rx y=E*x
F(x) ? 0
平衡点
x0
?
N (1 ?
E ), r
x1 ? 0
稳定性判断
F ?(x0 ) ? E ? r, F?(x1) ? r ? E
E ? r ? F ?(x0 ) ? 0, F ?(x1) ? 0 x0稳定, x1不稳定
E ? r ? F ?(x0 ) ? 0, F ?(x1 ) ? 0 x0不稳定 , x1稳定
求E 使R (E )最大
ER ?
r (1 ? 2
c pN
)?
E* ?
r 2
渔场 鱼量
xR
?
N (1?
ER r
)
?
N? c 2 2p
rN
c2
hR ?
(1 ?
)
4
p2N 2
捕捞 过度
? 封闭式捕捞 追求利润R(E)最大 ? 开放式捕捞 只求利润R(E) > 0
ER
?
r (1 ? 2
c pN
)
R(E) ?
y=h(x)=Ex
P*
?P y=f(x)
E ? r ? x0稳定 0
x
* 0
=N
/2
x0
Nx
P的横坐标 x0~平衡点
P的纵坐标 h~产量
产量最大
P
*
(
x* 0
?
N
/ 2, hm
?
rN
/ 4)
E* ? hm / x0* ? r / 2
控制渔场鱼量为最大鱼量的一半
效益模型 在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞
问题 及分
析
? 在捕捞量稳定 的条件下，如何控 制捕捞使产量最大或效益最佳。
? 如果使捕捞量等于自然增长量， 渔 场鱼量将保持不变 ，则捕捞量稳定。
产量模型
x(t) ~ 渔场鱼量
假设
? 无捕捞时鱼的自然增长服从 Logistic 规律
x?( t ) ? f ( x ) ? rx (1 ? x ) N
(1)的近似线性方程
x?? F?(x0 )(x ? x0 ) (2)
F
?(
x 0
)
?
0
?
x 0
稳定(对(
2),
(1))
F
?(
x 0
)
百度文库
?
0
?
x0不稳定(对(2), (1))
6.1 捕鱼业的持续收获
背景 ? 再生资源（渔业、林业等）与
非再生资源（矿业等）
? 再生资源应适度开发 ——在持续稳 产前提下实现最大产量或最佳效益。
T(E) ?
S(E) ?
pNE(1 ?
E) ? r
cE
令 =0
c
Es
?
r(1?
) pN
R(E)=0时的捕捞强度 (临界强度 ) Es=2ER
临界强度下的渔场鱼量
xs
?
N (1 ?
Es ) ? r
c p
S(E)
p ? ,c ? Es ? , xs ?
捕捞过度
T(E)
0
ER E*
Es r
E
r~固有增长率 , N~最大鱼量
? 单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比
建模
h(x)=Ex, E ~捕捞强度
记 F (x) ? f (x) ? h(x)
捕捞情况下 渔场鱼量满足
x?(t ) ? F ( x ) ? rx (1 ? x ) ? Ex N
? 不需要求解 x(t), 只需知道x(t)稳定的条件
产量模型 x?(t ) ? F ( x ) ? rx (1 ? x ) ? Ex N
假设 ? 鱼销售价格 p ? 单位捕捞强度费用 c
收入 T = ph(x) = pEx
支出 S = cE
单位时间利润 R ? T ? S ? pEx ? cE
稳定平衡点 x0 ? N (1 ? E / r )
R(E ) ? T (E ) ? S (E ) ? pNE (1 ? E ) ? cE r
一阶微分方程的平衡点及其稳定性 x?? F (x) (1) 一阶非线性（自治）方程
F(x)=0的根x0 ~微分方程的 平衡点 x?x?x0 ? 0? x ? x0
设x(t)是方程的解，若从 x0 某邻域的任一初值出发，
都有
lim x(t)
t? ?
?
x 0
,
称x 0是方程 (1)的稳定平衡点
不求x(t), 判断x0稳定性的方法 ——直接法
E ~捕捞强度
r~固有增长率
x0 稳定, 可得到稳定产量 x1 稳定, 渔场干枯
产量模型
在捕捞量稳定的条件下， 图解法
控制捕捞强度使产量最大
F (x) ? f (x) ? h(x)
y
f ( x ) ? rx (1 ? x )
N
hm
h(x) ? Ex
h
F(x) ? 0 f 与h交点P
y=rx y=E*x
F(x) ? 0
平衡点
x0
?
N (1 ?
E ), r
x1 ? 0
稳定性判断
F ?(x0 ) ? E ? r, F?(x1) ? r ? E
E ? r ? F ?(x0 ) ? 0, F ?(x1) ? 0 x0稳定, x1不稳定
E ? r ? F ?(x0 ) ? 0, F ?(x1 ) ? 0 x0不稳定 , x1稳定
求E 使R (E )最大
ER ?
r (1 ? 2
c pN
)?
E* ?
r 2
渔场 鱼量
xR
?
N (1?
ER r
)
?
N? c 2 2p
rN
c2
hR ?
(1 ?
)
4
p2N 2
捕捞 过度
? 封闭式捕捞 追求利润R(E)最大 ? 开放式捕捞 只求利润R(E) > 0
ER
?
r (1 ? 2
c pN
)
R(E) ?
y=h(x)=Ex
P*
?P y=f(x)
E ? r ? x0稳定 0
x
* 0
=N
/2
x0
Nx
P的横坐标 x0~平衡点
P的纵坐标 h~产量
产量最大
P
*
(
x* 0
?
N
/ 2, hm
?
rN
/ 4)
E* ? hm / x0* ? r / 2
控制渔场鱼量为最大鱼量的一半
效益模型 在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞
问题 及分
析
? 在捕捞量稳定 的条件下，如何控 制捕捞使产量最大或效益最佳。
? 如果使捕捞量等于自然增长量， 渔 场鱼量将保持不变 ，则捕捞量稳定。
产量模型
x(t) ~ 渔场鱼量
假设
? 无捕捞时鱼的自然增长服从 Logistic 规律
x?( t ) ? f ( x ) ? rx (1 ? x ) N
(1)的近似线性方程
x?? F?(x0 )(x ? x0 ) (2)
F
?(
x 0
)
?
0
?
x 0
稳定(对(
2),
(1))
F
?(
x 0
)
百度文库
?
0
?
x0不稳定(对(2), (1))
6.1 捕鱼业的持续收获
背景 ? 再生资源（渔业、林业等）与
非再生资源（矿业等）
? 再生资源应适度开发 ——在持续稳 产前提下实现最大产量或最佳效益。
T(E) ?
S(E) ?
pNE(1 ?
E) ? r
cE
令 =0
c
Es
?
r(1?
) pN
R(E)=0时的捕捞强度 (临界强度 ) Es=2ER
临界强度下的渔场鱼量
xs
?
N (1 ?
Es ) ? r
c p
S(E)
p ? ,c ? Es ? , xs ?
捕捞过度
T(E)
0
ER E*
Es r
E
r~固有增长率 , N~最大鱼量
? 单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比
建模
h(x)=Ex, E ~捕捞强度
记 F (x) ? f (x) ? h(x)
捕捞情况下 渔场鱼量满足
x?(t ) ? F ( x ) ? rx (1 ? x ) ? Ex N
? 不需要求解 x(t), 只需知道x(t)稳定的条件
产量模型 x?(t ) ? F ( x ) ? rx (1 ? x ) ? Ex N