二重积分中值定理的推广

二

王旭光 01211134

徐州师范大学 数学系 徐州 221116

摘要 一重积分有许多重要的性质和定理，这篇文章对二重积分中值定理作了推广，使结论更加广泛，并给出了商与积的中值定理.

关键词 二重积分；中值定理；可积；连续；最小值；最大值

一、引言

积分中值定理在微积分学中有非常广泛的应用，已有对此定理的推广形式作了研究.自 然联想到二重积分中值定理是否也可作进一步推广?另外,我们知道还有积分第二中值定理:

若在区间[]b a ,上f 为非负的单调递减函数,而g 是可积函数,则存在[]b a ,∈ξ,使得

()⎰⎰

=ξ

a

b

a

g a f fg

是否也可推广到二重积分上?本文对以上两个问题作了进一步探讨,并给出了简单的应用.

二、二重积分中值定理的推广

二重积分中值定理[]

1 若()y x f ,在可求面积的有界闭区域D 上连续，()y x g ,在D 上

可积且不变号，则存在一点()D ∈ηξ,，使得

()()()()dydx y x g f dydx y x g y x f D

D

⎰⎰⎰⎰=,,,,ηξ

推论 若()y x f ,，()y x g ,在可求面积的有界闭区域D 上连续，，则存在一点()D ∈ηξ,，使得

()()()()D g f dydx y x g y x f D

∆=⎰⎰ηξηξ,,,,

D ∆——表示D 的面积.

证明 令()()()y x g y x f y x F ,,,=， ()1,=y x G .则F ，G 满足二重积分中值定理的条件，故存在一点()D ∈ηξ,，使得

()()()()()()()()D

g f dydx y x G F dydx y x G y x F dydx y x g y x f D

D

D

∆===⎰⎰⎰⎰⎰⎰ηξηξηξ,,,,,,,, .

引理1

[]

2 若（1）()x f ，()x g 在[]b a ,上连续；

（2）()0≠x g ，[],x a b ∀∈.

则存在一点[]b a ,∈ξ,使得

()()()()

ξξg f x g x f b a

b

a =⎰⎰ . 证 见《上海海运学院学报》，V ol 16 No.1 Mar.1995.

另证[]

3 利用Cauchy 中值定理.

令

()()du u f x F x a

⎰=，()()du u g x G x

a

⎰=

则存在[]b a ,∈ξ 使得

()()()()()()()()()()ξξξξg f G F a G b G a F b F dx x g dx x f b a

b

a

=''=--=⎰

⎰ .

定理1 假设 （1）()y x f ,，()y x g ,在平面区域D 上连续，

D =(){

()()}b x a x y x y x ≤≤≤≤,,ψϕ

（2）()()D y x y x g ∉∀≠,,0,.

则存在一点()D ∈ηξ,, 使得

()()()()

ηξηξ,,,,g f dydx y x g dydx y x f D

D =⎰⎰⎰⎰ .

证明 因为()y x g ,在D 上连续且恒不为0，则

()0,≠⎰⎰dydx y x g D

令

()()()

()

dy y x f x F x x ⎰

=ψϕ,，()()()

()

dy y x g x G x x ⎰

=ψϕ, 则

()()()

()

dy y f F ⎰

=ξψξϕξξ, ，()()()

()

dy y g G ⎰

=ξψξϕξξ,

由引理1，存在()b a ,∈ξ，使得

()()()()()

()()()

,,,,D D

f y dy f x y dydx

g x y dydx g y dy

ψξϕξψξϕξξξ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰

再次运用引理1，存在()(())ξψξϕη,∈ 使得

()()()

()()()

()()

ηξηξξξξψξϕξψξϕ,,,,g f dy y g dy y f =⎰⎰ 故有

()()()()

ηξηξ,,,,g f dydx y x g dydx y x f D

D =⎰⎰⎰⎰ 证毕.

推论 在上述条件下，假设区域为形[][]d c b a D ,,⨯= ，其中 d c b a ,,,为常数且在同一象限.则存在点()D ∈ηξ, 使得

()()()()ξηηξ,4

1

,f d c b a D y x f D

++∆=

⎰⎰

其中 D ∆表示D 的面积.

证明 令 ()xy y x g =, 则

()()()ξηd c b a D y x g D

++∆=

⎰⎰

4

1

, 代入定理1中结论化简即可.

定理2 若（1）()y x f ,在闭区域D 上连续且非负，[]b a x ,∈∀，f 关于y 单调递减

D =(){

()()}b x a x y x y x ≤≤≤≤,,ψϕ

（2）()y x g ,在D 上连续. 则存在可积曲线()[]b a D x y s ,,∈∈ξ使得

()()())(()()

()

dy y g dx x x f dydx y x g y x f s y b

a

D

⎰

⎰⎰⎰

*=ξξϕξϕ,,,, （*）.

证明 （I ）根据条件g 必有界，设L g ≤.f 连续必可积，从而

01

0lim =∑=→∆t n

t f t σω

这里∆是将D 分割成小区域t σσσ,...,,21，0→∆表示分割越来越细，f t ω是()y x f ,在