第二章导数与微分教案
高等数学-导数的概念-教案(完整资料).doc
t∆很小时，其平均速度就可以近似地看作时刻的瞬时速度．且
x
x x x x ∆-∆+=→∆sin )sin(lim
0x
x x x x ∆∆⎪
⎭⎫ ⎝⎛
∆+=→∆2sin 2cos 2lim 0 x x x x x x cos 2
2sin 2cos lim 0=∆∆⎪⎭⎫ ⎝
⎛∆+=→∆， 即： x.cos (sin x)'=
类似可得：sin x. - x)'(cos = 定义 如果x x f x x f x ∆∆∆)
()(lim 000-+-
→存在，则称此极限值为f (x ) 在点 x 0 处的左导数，记作 f’(x 0)；同样，如果x x f x x f x ∆∆∆)()(lim 000-++
→存在，则称此极限值为 f (x ) 在点 x 0 处的右导数，记作 f’
+(x 0) .
显然，f (x ) 在 x 0 处可导的充要条件是 f’ -(x 0) 及 f ‘ +(x 0) 存在且相等 . 定义 如果函数 f (x ) 在区间 I 上每一点可导，则称 f (x ) 在区间 I 上可导. 如果 I 是闭区间[a , b ]，则端点处可导是指 f’+(a )、 f’-(b ) 存在 .
六、可导与连续的关系
定理 如果函数 y = f (x ) 在点 x 0 处可导, 则 f (x ) 在点 x 0 处连续，其逆不真.。
D.课堂小结
一、导数的定义
二、导数的几何意义 三、可导与连续的关系。
导数和微分-教案
高等数学教学教案第2章导数和微分授课序号01授课序号02授课序号03授课序号04授课序号05授课序号06教 学 基 本 指 标教学课题 第2章 第6节 微分及其应用 课的类型 新知识课教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合 教学重点微分的定义、微分的计算教学难点微分的定义参考教材 作业布置 课后习题大纲要求1.理解微分的概念，理解导数与微分的关系.2.掌握微分的四则运算法则，会求函数的一阶微分.教 学 基 本 内 容2.6.1微分的定义 1.引例引例1设有一正方形金属薄片，受温度变化的影响，其边长从0x 变化到0x x +∆，问该金属薄片的面积改变了多少？202()S x x x ∆=∆+∆.S ∆包括两部分：第一部分02x x ∆是x ∆的线性函数(图2.4中斜线部分的面积)，称其为函数改变量的线性主要部分（简称为线性主部）；第二部分2()x ∆(图2.4中有交叉斜线的小正方形的面积)，当0x ∆→时，它是比x ∆高阶的无穷小量，即2()()x x ο∆=∆．因此，当x ∆很小时，面积的改变量S ∆可用第一部分02x x ∆来近似地代替，而且x ∆越小，近似程度越好，即02S x x ∆≈∆.引例2 物体在进行自由落体运动时，由时刻0t 到0t t +∆所经过的路程的近似值.222000111()()222h g t t gt gt t g t ∆=+∆-=∆+∆. 其中0gt t ∆是t ∆的线性函数，21()2g t ∆是一个比t ∆高阶的无穷小（当0t ∆→时）.因此，当t ∆很小时，路程的改变量h ∆可以用第一部分0gt t ∆来代替，第二部分21()2g t ∆可以忽略不计，即0h gt t ∆≈∆.2.定义2.6 设函数()y f x =在点0x 的某邻域0()U x 内有定义，00()x x U x +∈，如果相应的函数的增量00()()y f x x f x ∆=+∆-可以表示成()y A x x ο∆=∆+∆，其中A 是不依赖于x ∆的常数，。
高中数学人教版《导数与微分》教案2023版
高中数学人教版《导数与微分》教案2023版第一章：引言在高中数学学科中，微积分是一个非常重要的分支，而导数与微分又是微积分的基础。
导数与微分的理论与应用可以帮助学生更好地理解数学，提高解决实际问题的能力。
本教案旨在系统地介绍《导数与微分》这一教材的教学内容和教学方法，帮助学生全面掌握导数与微分的概念、性质以及应用。
第二章：导数的概念与性质2.1 导数的概念2.1.1 函数的变化率在讲解导数之前，我们首先需要引入函数的变化率的概念。
函数的变化率描述了函数在某一点的斜率，可以用来衡量函数的增减趋势。
2.1.2 导数的定义导数是描述函数变化率的重要概念，它表示函数在某一点的瞬时变化率。
导数的定义使用极限的概念，通过求取函数在某一点的极限来得出导数。
2.1.3 导数的几何意义导数的几何意义可以用来解释函数在某一点的切线斜率，即函数在该点附近的局部变化情况。
2.2 导数的性质2.2.1 基本性质导数具有加法、减法、乘法和除法的基本运算性质，可以通过这些性质简化对导数的计算。
2.2.2 导数与函数的关系函数的导数可以用来判断函数在某一点的增减性，并推断函数在整个定义域上的增减情况。
第三章：微分的概念与性质3.1 微分的定义微分是导数的一个重要应用，它描述了函数在某一点的变化近似量。
微分的定义使用导数和自变量的增量表示，可以用来计算函数在某一点的微小变化。
3.2 微分的性质3.2.1 微分与函数的关系微分可以用来描述函数在某一点上的线性近似，通过微分可以推断函数在附近的取值情况。
3.2.2 微分中值定理微分中值定理是微积分中的重要定理，它揭示了函数在某一区间内的平均变化率与瞬时变化率之间的关系。
第四章：导数的计算方法4.1 基本函数的导数常见的基本函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等，我们可以通过求导法则来计算这些函数的导数。
4.2 导数的四则运算导数具有加法、减法、乘法和除法的运算法则，我们可以根据这些法则简化复杂函数的导数求解过程。
高等数学教案ch2导数与微分
第二章导数与微分教学目的：1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系。
2、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。
3、了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n 阶导数。
4、会求分段函数的导数。
5、会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。
教学重点：1、导数和微分的概念与微分的关系；2、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则；3、基本初等函数的导数公式；4、高阶导数；6、隐函数和由参数方程确定的函数的导数。
教学难点：1、复合函数的求导法则；2、分段函数的导数；3、反函数的导数4、隐函数和由参数方程确定的导数。
§2. 1 导数概念一、引例1．直线运动的速度设一质点在坐标轴上作非匀速运动时刻t 质点的坐标为s s 是t 的函数s f (t)求动点在时刻t 0的速度考虑比值000)()(t t t f t f t t s s 这个比值可认为是动点在时间间隔t t 0内的平均速度如果时间间隔选较短这个比值在实践中也可用来说明动点在时刻t 0的速度但这样做是不精确的更确地应当这样令t t 00取比值0)()(t tt f t f 的极限如果这个极限存在设为v 即0)()(l i mt tt f t f vt t这时就把这个极限值v 称为动点在时刻t 0的速度2．切线问题设有曲线C 及C 上的一点M 在点M 外另取C 上一点N 作割线MN 当点N 沿曲线C 趋于点M 时如果割线ＭＮ绕点Ｍ旋转而趋于极限位置MT 直线ＭＴ就称为曲线Ｃ有点Ｍ处的切线设曲线C 就是函数y f (x)的图形现在要确定曲线在点M(x 0, y 0)(y 0f(x 0))处的切线只要定出切线的斜率就行了为此在点M 外另取C 上一点N(x, y)于是割线MN 的斜率为000)()(t a nx xx f x f x xy y 其中为割线MN 的倾角当点N 沿曲线C 趋于点M 时x x 0如果当x0时上式的极限存在设为k即0)()(limx xx f x f kx x存在则此极限k 是割线斜率的极限也就是切线的斜率这里k tan 其中是切线MT 的倾角于是通过点M(x 0, f(x 0))且以k 为斜率的直线MT 便是曲线C 在点M 处的切线二、导数的定义1函数在一点处的导数与导函数从上面所讨论的两个问题看出非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极限0)()(limx xx f x f x x令x x x 0则y f (x 0x)f (x 0) f(x)f(x 0)xx 0相当于x 0于是00)()(limx xx f x f x x成为xy xl i m或xx f x x f x)()(lim00定义设函数y f(x)在点x 0的某个邻域内有定义当自变量x 在x 0处取得增量x(点x 0x仍在该邻域内)时相应地函数y 取得增量y f(x 0x)f (x 0)如果y 与x 之比当x0时的极限存在则称函数y f (x)在点x 0处可导并称这个极限为函数y f(x)在点x 0处的导数记为0|x xy 即xx f x x f xyx f xx)()(limlim)(00也可记为0|x xy 0x xdxdy或)(x xdxx df 函数f(x)在点x 0处可导有时也说成f (x)在点x 0具有导数或导数存在导数的定义式也可取不同的形式常见的有hx f h x f x f h)()(lim)(000000)()(lim)(0x xx f x f x f x x在实际中需要讨论各种具有不同意义的变量的变化“快慢”问题在数学上就是所谓函数的变化率问题导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述如果极限xx f x x f x)()(lim00不存在就说函数y f(x )在点x 0处不可导如果不可导的原因是由于xx f x x f x)()(lim00也往往说函数y f (x)在点x 0处的导数为无穷大如果函数y f (x)在开区间I 内的每点处都可导就称函数f(x)在开区间I 内可导这时对于任一x I都对应着f(x)的一个确定的导数值这样就构成了一个新的函数这个函数叫做原来函数y f (x)的导函数记作y)(x f dxdy 或dxx df )(导函数的定义式xx f x xf yx)()(limhx f h x f h)()(limf (x 0)与f (x)之间的关系函数f(x)在点x 0处的导数f (x)就是导函数 f (x)在点x x 0处的函数值即)()(0x xx f x f 导函数 f (x)简称导数而f (x 0)是f (x)在x 0处的导数或导数f (x)在x 0处的值左右导数所列极限存在则定义f (x)在0x 的左导数hx f h x f x f h)()(lim)(0000f (x)在0x 的右导数hx f h x f x f h)()(lim)(000如果极限hx f h x f h)()(lim000存在则称此极限值为函数在x 0的左导数如果极限hx f h x f h)()(lim00存在则称此极限值为函数在x 0的右导数导数与左右导数的关系Ax f )(0Ax f x f )()(002．求导数举例例1．求函数f (x)C （C 为常数）的导数解hx f h xf x f h)()(lim)(0limhC Ch即(C ) 0例2求xx f 1)(的导数解hxh xhx f h x f x f hh11lim )()(lim)(021)(1lim)(limx xh xxh xh h hh例3求x x f )(的导数解hxh xhx f h xf x f hhlim)()(lim)(xxhxx h x h hhh211lim)(lim例2．求函数f (x)x n(n 为正整数)在x a 处的导数解f (a)axa f x f ax)()(limax axnnaxlimaxlim (xn 1ax n 2an 1)nan 1把以上结果中的a 换成x 得f (x)nxn 1即(x n )nxn 1(C)021)1(x x xx 21)(1)(xx 更一般地有(x )x 1其中为常数例3．求函数f (x)sin x 的导数解f (x)hx f h x f h)()(limhxh x hsin )sin(lim2sin)2cos(21limh h xhhxh h h xhcos 22sin )2cos(lim 0即(sin x)cos x用类似的方法可求得(cos x )sin x例4．求函数f (x) a x(a>0a 1) 的导数解f (x)hx f h xf h )()(limha a xhxhlimh a a h h x1lim 0ta h 1令)1(log limt ta a tx aa ea x axln log1特别地有(e x)ex例5．求函数f (x)log a x (a>0a 1) 的导数解hxh xhx f h xf x f aa hhlog)(log lim)()(lim)(0hxa ha ha hxh x xh hxxxhx h)1(log lim 1)1(log lim1)(log 1lima x e x a ln 1log 1解h xh xx f a a hlog )(log lim)(0)1(log 1limxh ha hhx a h xh x )1(log lim 10ax e xa ln 1log 1即a x x a ln 1)(log 特殊地xx 1)(l n ax x aln 1)(logxx 1)(ln 3．单侧导数极限h x f h xf h)()(lim存在的充分必要条件是hx f h x f h)()(lim及hx f h xf h)()(lim都存在且相等f (x)在0x 处的左导数hx f h x f x f h)()(lim)(00f (x)在0x 处的右导数hx f h x f x f h)()(lim)(00导数与左右导数的关系函数f(x)在点x 0处可导的充分必要条件是左导数左导数f(x 0) 和右导数f (x 0)都存在且相等如果函数f(x)在开区间(a, b)内可导且右导数f (a) 和左导数f (b)都存在就说f(x)有闭区间[a, b]上可导例6．求函数f (x)x|在x 0处的导数解1||lim)0()0(lim)0(0h h hf h f f hh 1||lim)0()0(lim)0(0hh hf h f f hh因为f (0) f (0)所以函数f(x)|x|在x 0处不可导四、导数的几何意义函数y f (x)在点x 0处的导数f (x 0)在几何上表示曲线y f (x)在点M(x 0, f(x 0))处的切线的斜率即f (x 0)tan其中是切线的倾角如果y f (x)在点x 0处的导数为无穷大这时曲线y f (x)的割线以垂直于x 轴的直线x x 0为极限位置即曲线y f (x)在点M(x 0, f (x 0))处具有垂直于x 轴的切线x x 0由直线的点斜式方程可知曲线y f(x)在点M(x 0, y 0)处的切线方程为y y 0f (x 0)(x x 0)过切点M (x 0, y 0)且与切线垂直的直线叫做曲线y f(x)在点M 处的法线如果f (x 0)0法线的斜率为)(10x f 从而法线方程为)()(1000x xx f y y 例8求等边双曲线xy1在点)2,21(处的切线的斜率并写出在该点处的切线方程和法线方程解21xy所求切线及法线的斜率分别为4)1(2121xx k 41112k k 所求切线方程为)21(42xy 即4x y 40所求法线方程为)21(412xy 即2x 8y 150例9 求曲线x x y 的通过点(04)的切线方程解设切点的横坐标为x 0则切线的斜率为212302323)()(0x x x x f x x于是所求切线的方程可设为)(23000x xx x x y根据题目要求点(04)在切线上因此)(234000x x x x 解之得x 04于是所求切线的方程为)4(42344xy即3x y 40四、函数的可导性与连续性的关系设函数y f (x)在点x 0处可导即)(lim00x f x yx存在则0)(limlimlimlim00x f xxyx xyy xxxx这就是说函数y f(x)在点x 0处是连续的所以如果函数y f(x)在点x 处可导则函数在该点必连续另一方面一个函数在某点连续却不一定在该点处可导例7．函数3)(x x f 在区间(, )内连续但在点x 0处不可导这是因为函数在点x 0处导数为无穷大hf h f h)0()0(limhh hlim3x§2 2函数的求导法则一、函数的和、差、积、商的求导法则定理1如果函数u u(x)及v v(x)在点x 具有导数那么它们的和、差、积、商(除分母为零的点外)都在点x 具有导数并且[u(x)v(x)]u (x)v (x)[u(x)v(x)]u (x)v(x)u (x)v (x))()()()()()()(2x v x v x u x v x u x v x u 证明(1)hx v x u h x v h x u x v x u h)]()([)]()([lim])()([0hx v h x v hx u h xu h)()()()(limu (x)v (x)法则(1)可简单地表示为(u v)u v (2)hx v x u h x v h x u x v x u h)()()()(lim])()([0)]()()()()()()()([1limx v x u h x v x u h x v x u h x v h x u h hhx v h xv x u h x v hx u h xu h)()()()()()(limhx v h xv x u h xv hx u h x u hhh)()(lim)()(lim )()(limu (x)v(x)u(x)v (x)其中0lim hv(x h)v(x)是由于v (x)存在故v(x)在点x 连续法则(2)可简单地表示为(uv)uv uv(3)hx v h x v h x v x u x v h xu h x v x u h xv h xu x v x u hh)()()()()()(lim)()()()(lim)()(0h x v h xv x v h x v x u x v x u h x u h)()()]()()[()()]()([lim)()()()()()()()(limx v h xv hx v h xv x u x v hx u h x u h)()()()()(2x v x v x u x v x u 法则(3)可简单地表示为2)(v v u v u vu (u v)u v (uv)u v uv2)(v v u v u vu 定理1中的法则(1)、(2)可推广到任意有限个可导函数的情形例如设u u(x)、v v(x)、w w(x)均可导则有(u v w)u v w(uvw)[(uv)w](uv)w (uv)w(u v uv )w uvw u vw uv w uvw 即(uvw)uvw uv w uvw在法则(2)中如果v C(C 为常数)则有(Cu)Cu 例1．y 2x 35x23x 7求y解y (2x35x23x 7) (2x 3)5x 2)3x)7) 2 (x 3) 5 x 2) 3 x)23x252x 36x210x 3例22sincos 4)(3xx x f 求f (x)及)2(f 解xx x x x f sin 43)2(sin)cos 4()()(23443)2(2f 例3．y e x(sin x cos x)求y 解ye x )(sin x cos x) e x(sin x cos x) e x (sin x cos x) e x(cos x sin x) 2e xcos x例4．y tan x 求y解xx x x x xxx y2cos )(cos sin cos )(sin )cos sin ()(tan xxxxx 22222sec cos 1cos sincos 即(tan x)sec 2x例5．y sec x 求y解xx x xx y 2cos )(cos 1cos )1()cos 1()(sec xx 2cos sin sec x tan x即(sec x)sec x tan x用类似方法还可求得余切函数及余割函数的导数公式(cot x)csc 2x (csc x)csc x cot x二、反函数的求导法则定理 2 如果函数x f (y )在某区间I y 内单调、可导且f (y)0那么它的反函数y f 1(x)在对应区间I x {x|x f(y)y I y }内也可导并且)(1])([1y f x f或dydx dxdy 1简要证明由于x f (y)在I y 内单调、可导(从而连续)所以x f (y)的反函数y f 1(x)存在且f1(x)在I x 内也单调、连续任取x I x 给x 以增量x(x 0xx I x )由y f1(x)的单调性可知y f 1(x x)f1(x)0于是yx xy 1因为y f1(x)连续故l i m 0yx从而)(11limlim])([01y f yx xyx fyx上述结论可简单地说成反函数的导数等于直接函数导数的倒数例6．设x sin y ]2,2[y 为直接函数则y arcsin x 是它的反函数函数x sin y 在开区间)2,2(内单调、可导且(sin y)cos y 0因此由反函数的求导法则在对应区间I x (1 1)内有2211s i n 11c o s 1)(s i n 1)(a r c s i n xyy y x 类似地有211)(arccos x x 例7．设x tan y)2,2(y为直接函数则y arctan x 是它的反函数函数x tan y 在区间)2,2(内单调、可导且(tan y)sec 2y 0因此由反函数的求导法则在对应区间I x ()内有22211t a n 11s e c 1)(t a n 1)(a r c t a n x yyy x 类似地有211)cot arc (x x 例8设x a y(a 0a 1)为直接函数则y log a x 是它的反函数函数x a y在区间Iy()内单调、可导且(a y)a yln a 0因此由反函数的求导法则在对应区间I x (0)内有ax aa a x y y aln 1ln 1)(1)(log到目前为止所基本初等函数的导数我们都求出来了那么由基本初等函数构成的较复杂的初等函数的导数如可求呢？如函数lntan x 、3x e 、的导数怎样求？三、复合函数的求导法则定理3如果u g(x)在点x 可导函数y f(u)在点u g(x)可导则复合函数y f[g(x)]在点x 可导且其导数为)()(x g u f dxdy 或dxdu du dy dxdy 证明当u g(x)在x 的某邻域内为常数时y=f [(x)]也是常数此时导数为零结论自然成立当u g(x)在x 的某邻域内不等于常数时u 0此时有xx g x x g x g x xg x g f x x g f xx g f x x g f xy )()()()()]([)]([)]([)]([xx g x x g uu f u uf )()()()(xx g x x g uu f u u f xy dxdy xux)()(lim)()(limlim= f (u)g (x )简要证明xu uyxydxdy xxlimlim)()(limlimx g u f xu uyxu例9 3x ey 求dxdy 解函数3x ey 可看作是由y euu x 3复合而成的因此32233x uex xedx du dudy dxdy 例10 212sin xx y 求dxdy 解函数212sin xx y 是由y sin u 212x x u复合而成的因此2222222212cos)1()1(2)1()2()1(2cos x x x x x x x udxdu dudy dxdy 对复合函数的导数比较熟练后就不必再写出中间变量例11．lnsin x 求dx dy 解)(sin sin 1)sin (ln x xx dxdy xx xcot cos sin 1例12．3221xy 求dxdy 解)21()21(31])21[(2322312x x x dxdy 322)21(34x x 复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形例如设y f (u)u (v)v (x)则dxdvdv du du dydxdu dudy dxdy 例13．y lncos(e x)求dxdy 解])[cos()cos(1])cos([ln xxxe e e dxdy )t a n ()()]sin([)cos(1xx xxx e e e e e 例14．xe y 1sin求dxdy 解)1(1cos)1(sin)(1sin1sin1sinxx exeedxdy xxxxe xx1cos11sin2例15设x 0证明幂函数的导数公式(x )x 1解因为x(eln x)eln x 所以(x )(e ln x) e ln x( ln x) eln xx1x1四、基本求导法则与导数公式1．基本初等函数的导数(1)(C)0(2)(x )x1(3)(sin x)cos x(4)(cos x)sin x(5)(tan x)sec 2x(6)(cot x)csc 2x (7)(sec x)sec x tan x (8)(csc x)csc x cot x (9)(a x)a xln a (10)(e x)ex(11) ax x aln 1)(log(12) xx 1)(ln (13) 211)(arcsin x x (14) 211)(arccos x x (15) 211)(arctan xx (16) 211)cot arc (x x 2．函数的和、差、积、商的求导法则设u u(x)v v(x)都可导则(1)(u v)u v (2)(C u)C u (3)(u v)u v u v(4)2)(v v u v u vu 3．反函数的求导法则设x f (y)在区间I y 内单调、可导且f (y)0则它的反函数y f 1(x)在I x f (I y )内也可导并且)(1])([1y f x f或dydx dxdy 14．复合函数的求导法则设y f (x)而u g(x)且f (u)及g(x)都可导则复合函数y f[g(x)]的导数为dxdu du dydxdy 或y (x)f (u)g (x)例16求双曲正弦sh x 的导数. 解因为)(21sh xxe ex所以xe e ee x xx xx c h )(21)(21)s h (即(sh x)ch x 类似地有(ch x)sh x例17求双曲正切th x 的导数解因为xx xch sh th 所以xxxx 222ch sh ch )(th x2ch 1例18求反双曲正弦arsh x 的导数解因为)1ln(arsh 2x xx 所以22211)11(11)a r s h (x x x x xx 由)1ln(arch 2x x x 可得11)arch (2x x 由xxx 11ln 21arth 可得211)arth (x x 类似地可得11)arch (2x x 211)arth (x x 例19．y sin nx sin nx (n 为常数)求y解y (sin nx) sin n x + sin nx (sin nx)ncos nx sin nx+sin nx n sin n 1x (sin x )ncos nx sin nx+n sinn 1x cos x n sinn 1x sin(n+1)x§2. 3 高阶导数一般地函数y f(x)的导数y f (x)仍然是x 的函数我们把y f (x)的导数叫做函数y f (x)的二阶导数记作y 、f (x)或22dx y d 即y(y )f (x)[f (x)])(22dxdy dx d dx y d 相应地把y f (x)的导数f (x)叫做函数y f(x)的一阶导数类似地二阶导数的导数叫做三阶导数三阶导数的导数叫做四阶导数一般地 (n 1)阶导数的导数叫做n 阶导数分别记作yy(4)y(n)或33dx y d 44dx y d nn dx y d 函数f (x )具有n 阶导数也常说成函数f(x)为n 阶可导如果函数f (x)在点x 处具有n 阶导数那么函数f (x )在点x 的某一邻域内必定具有一切低于n 阶的导数二阶及二阶以上的导数统称高阶导数y 称为一阶导数yyy(4)y (n)都称为高阶导数例1．y ax b 求y解y a y 0例2．s sint 求s解s cos t s 2sin t例3．证明函数22x xy满足关系式y 3y10证明因为22212222x xx x x x y22222222)1(2x xxxx x xxy)2()2()1(22222x x x xx xx 32321)2(1y x x所以y 3y10例4．求函数y e x的n 阶导数解y e xy exy exy( 4)ex一般地可得y( n)ex即(e x )(n)ex例5．求正弦函数与余弦函数的n 阶导数解y sin x)2s i n (c o s x xy)22s i n ()22s i n ()2c o s (x x x y )23s i n ()222s i n ()22c o s (x x x y )24s i n ()23c o s ()4(x x y 一般地可得)2s i n ()(nx y n 即)2sin()(sin )(nx x n 用类似方法可得)2cos()(cos )(nxx n 例6．求对函数ln(1x)的n 阶导数解y ln(1x)y (1x)1y(1x)2y (1)(2)(1x)3y (4)(1)(2)(3)(1x)4一般地可得y(n)(1)(2)(n 1)(1x)nnnx n )1()!1()1(1即nn n x n x )1()!1()1()]1[ln(1)(例6．求幂函数y x (是任意常数)的n 阶导数公式解yx 1y (1)x 2y (1)(2)x 3y( 4)(1)(2)(3)x 4一般地可得y(n)(1)(2) (n 1)x n即(x )(n)(1)(2) (n 1)xn当n 时得到(x n )(n) (1)(2) 3 2 1n!而(x n )( n 1)如果函数u u(x)及v v(x)都在点x 处具有n 阶导数那么显然函数u(x)v(x)也在点x 处具有n 阶导数且(u v)(n)u(n)v(n)(uv)uv uv (uv)u v 2u v uv (uv)u v 3u v 3u vuv用数学归纳法可以证明nkk k n k n n v uC uv 0)()()()(这一公式称为莱布尼茨公式例8．y x 2e 2x 求y (20)解设u e2x v x2则(u)(k)2ke 2x(k 1, 2,, 20)v 2x v2 (v)(k)0 (k 3, 4, , 20)代入莱布尼茨公式得y(20)(u v)(20)u (20)v C 201u(19)v C 202u(18)v 220e2xx220 219e 2x2x !21920218e2x2220e 2x (x220x 95)§2. 4隐函数的导数由参数方程所确定的函数的导数相关变化率一、隐函数的导数显函数形如y f(x)的函数称为显函数例如y sin x y ln x+e x隐函数由方程F(x y)0所确定的函数称为隐函数例如方程x y3 10确定的隐函数为y31xy如果在方程F(x y)0中当x取某区间内的任一值时相应地总有满足这方程的唯一的y值存在那么就说方程F(x y)0在该区间内确定了一个隐函数把一个隐函数化成显函数叫做隐函数的显化隐函数的显化有时是有困难的甚至是不可能的但在实际问题中有时需要计算隐函数的导数因此我们希望有一种方法不管隐函数能否显化都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来例1．求由方程e yxy e 0 所确定的隐函数y 的导数解把方程两边的每一项对x 求导数得(e y)(xy)(e)(0)即e y y y xy 0从而yex y y(x ey0)例2．求由方程y 52y x 3x 70 所确定的隐函数y f (x)在x 0处的导数y |x解把方程两边分别对x 求导数得5y y 2y 121x6由此得2521146y x y因为当x 0时从原方程得y 0所以21|25211|046xxyx y 例3求椭圆191622y x 在)323,2(处的切线方程解把椭圆方程的两边分别对x 求导得928y y x 从而y x y169当x 2时323y代入上式得所求切线的斜率43|2xy k 所求的切线方程为)2(43323x y即03843y x 解把椭圆方程的两边分别对x 求导得928yyx 将x 2323y代入上式得3141y于是k y |x243所求的切线方程为)2(43323xy即3843y x 例4．求由方程0sin 21y yx 所确定的隐函数y的二阶导数解方程两边对x 求导得cos 211dxdy y dxdy 于是ydxdy cos 22上式两边再对x 求导得3222)cos 2(sin 4)cos 2(sin 2y y y dxdyydx y d 对数求导法这种方法是先在y f(x)的两边取对数然后再求出y 的导数设y f (x)两边取对数得ln y ln f(x)两边对x 求导得])([ln 1x f yy yf (x)[ln f(x)]对数求导法适用于求幂指函数y [u(x)]v(x)的导数及多因子之积和商的导数例5．求y x sin x(x>0)的导数解法一两边取对数得ln y sin x ln x上式两边对x 求导得xxx x y y1sin ln cos 1于是)1sin ln (cos xxx x y y )sin ln (cos sin xx xx x x 解法二这种幂指函数的导数也可按下面的方法求y xsin xesin x ·ln x)sin ln (cos )ln (sin sin ln sin xx xx xx x eyxxx 例6求函数)4)(3()2)(1(xx x x y 的导数解先在两边取对数(假定x>4)得ln y21[ln(x 1)ln(x 2)ln(x 3)ln(x 4)]上式两边对x 求导得)41312111(211x x x x y y于是)41312111(2x x x x y y当x<1时)4)(3()2)(1(x x x x y当2<x<3时)4)(3()2)(1(x x x x y用同样方法可得与上面相同的结果注严格来说本题应分x 4x 1 2x 3三种情况讨论但结果都是一样的二、由参数方程所确定的函数的导数设y 与x 的函数关系是由参数方程)()(t yt x 确定的则称此函数关系所表达的函数为由参数方程所确定的函数在实际问题中需要计算由参数方程所确定的函数的导数但从参数方程中消去参数t 有时会有困难因此我们希望有一种方法能直接由参数方程算出它所确定的函数的导数设x (t)具有单调连续反函数t(x)且此反函数能与函数y(t )构成复合函数y[(x) ]若x(t)和y(t)都可导则)()(1t t dt dx dtdy dxdt dtdy dxdy 即)()(t t dxdy 或dtdx dt dydxdy若x (t)和y (t)都可导则)()(t t dxdy例7求椭圆tb yt a x sin cos 在相应于4t点处的切线方程解t a bt a t b t a t b dxdy cot sin cos )cos ()sin (所求切线的斜率为a b dx dy t 4切点的坐标为224cos 0aa x 224sin0bb y 切线方程为)22(22ax ab b y 即bx ay2ab例8．抛射体运动轨迹的参数方程为22121gt tv yt v x求抛射体在时刻t 的运动速度的大小和方向y v 2t g t2解先求速度的大小速度的水平分量与铅直分量分别为x (t)v 1y (t)v 2gt所以抛射体在时刻t 的运动速度的大小为22)]([)]([t y t x v2221)(gt v v 再求速度的方向设是切线的倾角则轨道的切线方向为12)()(tanv gtv t x t y dxdy 已知x (t), y(t)如何求二阶导数y ?由x(t))()(t t dxdy dx dt t t dtd dx dy dx d dx y d ))()(()(22)(1)()()()()(2t t t t t t )()()()()(3t t t t t例9．计算由摆线的参数方程)cos 1()sin (t a yt t a x 所确定的函数y f (x)的二阶导数解)()(t x t y dxdy )cos 1(sin ])sin ([])cos 1([t a t a t t a t a 2cot cos 1sin t t t (t 2nn 为整数)dxdtt dt d dxdy dx d dx y d )2(cot )(2222)cos 1(1)cos 1(12sin21t a t a t (t 2n n 为整数)三、相关变化率设x x(t)及y y(t)都是可导函数而变量x 与y 间存在某种关系从而变化率dtdx 与dtdy 间也存在一定关系这两个相互依赖的变化率称为相关变化率相关变化率问题就是研究这两个变化率之间的关系以便从其中一个变化率求出另一个变化率例10一气球从离开观察员500f 处离地面铅直上升其速度为140m/min(分)当气球高度为500m 时观察员视线的仰角增加率是多少？解设气球上升t (秒)后其高度为h 观察员视线的仰角为则500tanh 其中及h 都是时间t 的函数上式两边对t 求导得dtdh dtd 5001sec 2已知140dtdh (米/秒)又当h 500(米)时 tan1 sec 22代入上式得14050012dtd 所以14.050070dtd (弧度/秒)即观察员视线的仰角增加率是每秒0 14弧度§2. 5 函数的微分一、微分的定义引例函数增量的计算及增量的构成一块正方形金属薄片受温度变化的影响其边长由x 0变到x 0x 问此薄片的面积改变了多少？设此正方形的边长为x 面积为A 则A 是x 的函数A x2金属薄片的面积改变量为A (x 0x)2(x 0)22x 0x (x)2几何意义2x 0x 表示两个长为x 0宽为x 的长方形面积 (x)2表示边长为x 的正方形的面积数学意义当x 0时(x)2是比x 高阶的无穷小即(x)2o(x)2x 0x 是x 的线性函数是A 的主要部分可以近似地代替A定义设函数y f(x)在某区间内有定义x 0及x 0x 在这区间内如果函数的增量y f (x 0x)f (x 0)可表示为y A x o(x)其中A 是不依赖于x 的常数那么称函数y f (x)在点x 0是可微的而A x 叫做函数y f(x)在点x 0相应于自变量增量x 的微分记作dy 即dy Ax函数可微的条件函数f (x)在点x 0可微的充分必要条件是函数f (x)在点x 0可导且当函数f (x)在点x 0可微时其微分一定是dy f (x 0)x证明设函数f (x)在点x 0可微则按定义有y A x o(x)上式两边除以x 得xx o Axy )(于是当x0时由上式就得到)(lim00x f xy Ax因此如果函数f (x)在点x 0可微则f (x)在点x 0也一定可导且A f (x 0)反之如果f (x)在点x 0可导即)(lim00x f xyx存在根据极限与无穷小的关系上式可写成)(0x f xy 其中0(当x 0)且A f (x 0)是常数x o(x)由此又有y f (x 0)xx因且f (x 0)不依赖于x 故上式相当于y A x o(x)所以f(x)在点x 0也是可导的简要证明一方面Ax f xy xx o Axy x o xA yx)(lim)()(00别一方面xx x f y x f xy x f xy x)()()(lim0000以微分dy 近似代替函数增量y 的合理性当f (x 0)0时有1lim )(1)(limlim0000dxy x f xx f ydyyx xxy dy o(d y)结论在f (x 0)0的条件下以微分dy f (x 0)x 近似代替增量y f (x 0x)f (x 0)时其误差为o(dy)因此在|x|很小时有近似等式y dy函数y f (x)在任意点x 的微分称为函数的微分记作dy 或d f(x)即dy f (x)x例如d cos x (cos x)x sin xxde x(e x)x e xx例1 求函数y x 2在x 1和x 3处的微分解函数y x 2在x 1处的微分为dy (x 2)|x 1x 2x 函数y x 2在x 3处的微分为dy (x 2)|x3x 6x 例2．求函数y x 3当x 2x 0. 02时的微分解先求函数在任意点x 的微分dy (x 3)x 3x2x再求函数当x 2x 0. 02时的微分dy|x2x 0.023x 2| x2, x 0.023220.020.24自变量的微分因为当y x 时dy dx (x)xx 所以通常把自变量x 的增量x 称为自变量的微分记作dx即dxx 于是函数y f (x)的微分又可记作dy f (x)dx从而有)(x f dxdy 这就是说函数的微分dy 与自变量的微分dx 之商等于该函数的导数因此导数也叫做“微商”二、微分的几何意义当y 是曲线y f(x)上的点的纵坐标的增量时dy 就是曲线的切线上点纵坐标的相应增量当|x|很小时 |y dy|比|x|小得多因此在点M 的邻近我们可以用切线段来近似代替曲线段三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则从函数的微分的表达式dy f (x)dx可以看出要计算函数的微分只要计算函数的导数再乘以自变量的微分因此可得如果下的微分公式和微分运算法则1基本初等函数的微分公式导数公式微分公式(x )x 1d (x )x1d x(sin x)cos xd (sin x)cos x d x(cos x)sin xd (cos x)sin x d x(tan x)sec 2xd (tan x)sec 2x d x(cot x)csc 2x d (cot x)csc 2x d x (sec x)sec x tan x d (sec x)sec x tan x d x (csc x)csc x cot xd (csc x)csc x cot x d x(a x)a xln a d (a x)a x ln a d x (e x)exd (e x)e xd xax x aln 1)(logdxa x x d aln 1)(logxx 1)(ln dxxx d 1)(ln 211)(arcsin xx dxx x d 211)(arcsin 211)(arccos xx dxx x d 211)(arccos 211)(arctan xx dxxx d 211)(arctan 211)cot arc (xx dxxx d 211)cot arc (2函数和、差、积、商的微分法则求导法则微分法则(u v)u vd(u v)du dv (Cu)Cud(Cu)Cdu (u v)uv uvd(u v)vdu udv)0()(2vvv u v u vu )0()(2v dx vudvvduvu d 证明乘积的微分法则根据函数微分的表达式有d(uv)(uv)dx 再根据乘积的求导法则有(uv)u v uv 于是d(uv)(u v uv )dx u vdx uv dx由于u dx du v dx dv 所以d(uv)vdu udv3复合函数的微分法则设y f(u)及u (x)都可导则复合函数y f [(x)]的微分为dy y x dx f (u)(x)dx 于由(x)dx du所以复合函数y f[(x)]的微分公式也可以写成dy f (u)du 或dy y u du 由此可见无论u 是自变量还是另一个变量的可微函数微分形式dy f (u)du 保持不变这一性质称为微分形式不变性这性质表示当变换自变量时微分形式dy f (u)du 并不改变例3．y sin(2x 1)求dy 解把2x 1看成中间变量u 则dy d(sin u)cos udu cos(2x 1)d (2x 1) cos(2x 1)2dx 2cos(2x 1)dx在求复合函数的导数时可以不写出中间变量例4)1ln(2x e y 求dy解)1(11)1ln(222x x x e d ee d dyxdxe ex d e exx x x 211)(1122222dxexe x x 2212例5．y e 13xcos x 求dy解应用积的微分法则得dy d(e13xcos x)cos xd(e 13x)e13xd(cos x)(cos x)e13x(3dx)e13x(sin xdx)e13x(3cos x sin x)dx例6．在括号中填入适当的函数使等式成立(1) d( )xdx (2) d()cost dt解 (1)因为d(x 2)2xdx 所以)21()(2122x d x d xdx即xdxx d )21(2一般地有xdx C x d )21(2(C 为任意常数)(2)因为d(sint)cos tdt 所以)sin1()(sin1cos t d t d tdt因此tdt C t d cos)sin 1((C 为任意常数)四、微分在近似计算中的应用1．函数的近似计算在工程问题中经常会遇到一些复杂的计算公式如果直接用这些公式进行计算那是很费力的利用微分往往可以把一些复杂的计算公式改用简单的近似公式来代替如果函数y f (x)在点x 0处的导数f (x)0且x|很小时我们有y dy f (x 0)x y f(x 0x)f(x 0)dy f (x 0)x f(x 0x)f (x 0)f (x 0)x若令x x 0x 即x x x 0那么又有f(x) f(x 0)f (x 0)(x x 0)特别当x 00时有f(x)f(0)f (0)x这些都是近似计算公式例1．有一批半径为1cm 的球为了提高球面的光洁度要镀上一层铜厚度定为0 01cm 估计一了每只球需用铜多少g(铜的密度是8. 9g/cm 3)?解已知球体体积为334R V R 01cmR 0. 01cm镀层的体积为V V(R 0R)V(R 0)V (R 0)R 4R 02R 43. 14120. 010. 13(cm 3)于是镀每只球需用的铜约为0. 13 8. 9 1. 16(g)例2．利用微分计算sin 3030的近似值解已知303036066x 360xsin 3030sin(x 0x)sin x 0x cos x 03606c o s6s i n5076.03602321即sin 30300. 5076常用的近似公式（假定|x|是较小的数值）(1)xnx n111(2)sin x x ( x 用弧度作单位来表达)(3)tan x x ( x 用弧度作单位来表达)(4)ex1x(5)ln(1x)x 证明(1)取nxx f 1)(那么f (0)1nx nf x n1)1(1)0(011代入f(x)f(0)f (0) x 便得xnx n111证明(2)取f(x)sin x 那么f(0)0f (0)cos x|x1代入f (x)f(0)f (0) x 便得sin x x例3．计算05.1的近似值解已知x n xn111故025.105.021105.0105.1直接开方的结果是02470.105.12．误差估计在生产实践中经常要测量各种数据但是有的数据不易直接测量这时我们就通过测量其它有关数据后根据某种公式算出所要的数据由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法等各种因素的影响测得的数据往往带有误差而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误差我们把它叫做间接测量误差下面就讨论怎样用微分来估计间接测量误差绝对误差与相对误差如果某个量的精确值为A 它的近似值为a 那么|A a|叫做a 的绝对误差而绝对误差|A a|与|a|的比值||||a a A 叫做a 的相对误差在实际工作中某个量的精确值往往是无法知道的于是绝对误差和相对误差也就无法求得但是根据测量仪器的精度等因素有时能够确定误差在某一个范围内如果某个量的精确值是A 测得它的近似值是a 又知道它的误差不超过A :|A a|A则A 叫做测量A 的绝对误差限||a A叫做测量A 的相对误差限(简称绝对误差)例4．设测得圆钢截面的直径D 60. 03mm 测量D 的绝对误差限D005利用公式24D A计算圆钢的截面积时试估计面积的误差解DDDAdAA2A||dA|DDD D 2||2已知D 60.03D0. 05所以715.405.003.6022DAD(mm 2)%17.003.6005.022422DD D ADDA若已知A 由函数y=f(x)确定A=y 测量x 的绝对误差是x那么测量y 的y =?由y dy y x 有y||dy||y ||x||y |x 所以测量y 的绝对误差y =|y |x测量y 的相对误差为xyyy y ||。
第二章导数与微分教案
又设切线 的倾斜角为 ，那么当 时，割线 的斜率的极限就是切线的斜率，即
（ ）
二、导数的定义
定义1设函数 在点 的某个邻域内有定义，当自变量 在 处取得增量 （点 仍在该邻域内）时，相应函数 取得增量
备注：
；如果当 时 及 之比的极限存在，则称函数 在点 处可导，并称这个极限为函数 在点 处的导数，记为 ，即
例1 ，求 .
解:
=
例2 ，求 .
解:
=
例3设 ，求 .
解:
备注：
常见基本求导公式表如下：
1、 ，2、 ，3、
4、 ，5、 ，6、
7、 ，8、 ，9、
10、 ，11、 ，12、 ，
13、 ，14、 ，
15、 ，16、 。
二、复合函数求导
定理4 如果函数 在点 可导，而 在点 可导，则复合函数 在点 可导，且其导数为
1基本初等函数的微分公式
由基本初等函数的导数公式，可以直接写出基本初等函数的微分公式．为了便于对照，上表所示。
2． 函数和、差、积、商的微分法则
由于函数和、差、积、商的求导法则，可推得相应的微分法则．为了便于对照，列成下表（表中 都可导）．
3. 复合函数的微分法则（一阶微分形式的不变性）
一阶微分形式不变性：设 是可微函数， ，则无论 是自变量，或是另一个变量 的可微函数，都同样有 ．
函数积的求导法则：两个可导函数乘积的导数等于第一个因子的导数及第二个因子的乘积，加上第一个因子及第二个因子的导数的乘积．这个法则也可以推广到任意有限个函数之积的情形.
特别地，若 （ 为常数），那么 ．这就是说常数因子及函数乘积时，常数因子可以提到求导记号的外面.
高中数学《导数与微分》教案
高中数学《导数与微分》教案第一章引言1.1 课程背景与目标在高中数学课程中，学习导数与微分是非常重要的内容之一。
通过本章的学习，学生将掌握导数的定义、求导规则以及应用导数解决实际问题的方法，为以后学习更深入的微积分内容打下坚实基础。
1.2 教学目标- 理解导数的几何与物理意义；- 掌握一元函数的导数定义；- 掌握常见函数的导数公式；- 理解导数的运算法则；- 能够利用导数求解实际问题。
第二章导数的引入2.1 导数的几何意义导数描述的是一个函数在某一点上的变化率。
引导学生通过直观的图像理解导数的几何意义，并通过练习题巩固理解。
2.2 导数的物理意义导数在物理中的应用非常广泛，例如速度、加速度等概念，都与导数有着紧密的关联。
通过一些生动的物理例子，帮助学生理解导数的物理意义。
第三章导数的定义3.1 函数的变化率介绍函数的变化率的概念，并引入导数的定义。
通过一些实例，帮助学生掌握导数的定义及其计算方法。
3.2 导数的基本性质探讨导数的基本性质，如导数恒为常数的函数、求导法则等内容，帮助学生建立导数的基本概念与技巧。
第四章常见函数的导数公式4.1 常数函数的导数介绍常数函数的导数及其求导方法，并通过练习巩固学生对此的掌握。
4.2 幂函数的导数探讨幂函数的导数计算方法，并引导学生通过求导计算出各种幂函数的导数。
4.3 指数函数的导数引入指数函数的导数定义，并通过练习题帮助学生掌握指数函数的导数规律。
4.4 对数函数的导数介绍对数函数的导数计算方法，并通过实例演示对数函数的导数求解过程。
第五章导数的运算法则5.1 导数的四则运算法则介绍导数的四则运算法则，即导数的和、差、积、商的计算方法，并通过练习题加深学生对运算法则的理解。
5.2 复合函数的导数探讨复合函数的导数计算方法，即复合函数的链式法则，并通过实例演示链式法则的应用过程。
第六章应用导数解实际问题6.1 极值问题介绍如何通过导数求解函数的极大值和极小值，并引导学生通过例题巩固应用能力。
高职高专高等数学教案
高职高专高等数学教案第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质教学目标：理解函数的概念，掌握函数的性质，如单调性、奇偶性、周期性等。
教学内容：介绍函数的定义，讨论函数的性质，举例说明。
教学方法：通过讲解和示例，让学生掌握函数的基本概念和性质。
1.2 极限的概念与性质教学目标：理解极限的概念，掌握极限的性质，如保号性、夹逼性等。
教学内容：介绍极限的定义，讨论极限的性质，举例说明。
教学方法：通过讲解和示例，让学生理解极限的概念和性质。
第二章：导数与微分2.1 导数的定义与计算教学目标：理解导数的定义，掌握基本函数的导数计算。
教学内容：介绍导数的定义，讲解基本函数的导数计算法则。
教学方法：通过讲解和练习，让学生掌握导数的定义和计算方法。
2.2 微分的概念与计算教学目标：理解微分的概念，掌握微分的计算方法。
教学内容：介绍微分的定义，讲解微分的计算法则。
教学方法：通过讲解和练习，让学生理解微分的概念和计算方法。
第三章：积分与微分方程3.1 定积分的定义与计算教学目标：理解定积分的概念，掌握定积分的计算方法。
教学内容：介绍定积分的定义，讲解定积分的计算法则。
教学方法：通过讲解和练习，让学生掌握定积分的概念和计算方法。
3.2 微分方程的基本概念与解法教学目标：理解微分方程的概念，掌握基本的微分方程解法。
教学内容：介绍微分方程的定义，讲解常见的微分方程解法。
教学方法：通过讲解和练习，让学生理解微分方程的概念和解法。
第四章：级数与常微分方程4.1 数项级数的概念与收敛性教学目标：理解数项级数的概念，掌握级数的收敛性判断。
教学内容：介绍数项级数的定义，讲解级数的收敛性判断方法。
教学方法：通过讲解和练习，让学生掌握数项级数的概念和收敛性判断。
4.2 常微分方程的解法与应用教学目标：理解常微分方程的概念，掌握常见的解法及其应用。
教学内容：介绍常微分方程的定义，讲解常见的解法及其应用。
教学方法：通过讲解和练习，让学生理解常微分方程的概念和解法及其应用。
高等数学2导数与微分3.
《高等数学》上册教案第二章导数与微分第二章导数与微分§3、高阶导数教学目的：熟练初等函数的求导方法，了解高阶导数的概念，会求简单的n阶导数教学重点：高阶导数的求法教学难点：高阶导数的归纳方法变速直线运动的质点的路程函数为s=s(t)，则速度为v(t)=s′(t)=lim加速度a(t)=lims(t+Δt)−s(t) Δt→0ΔtΔvv(t+Δt)−v(t)，即a(t)=v′(t)=[s′(t)]′。
=limΔt→0ΔtΔt→0Δt定义、设函数y=f(x)在点x的邻域内一阶导数f′(x)存在，如果极限Δx→0limf′(x+Δx)−f′(x) Δx存在，称函数y=f(x)在点x二阶可导，并称极限值为y=f(x)在点x的二阶导数，记d2yd⎛dy⎞d2f作：2=⎜⎟，2，f′′(x)或y′′ 。
dxdx⎝dx⎠dx同理，如果将二阶导数f′′(x)作为函数，可以定义出三阶导数：d3yf′′(x+Δx)−f′′(x)=lim 3Δx→0dxΔxd3yd⎛d2y⎞d3fdn−1y⎟，3，y′′′或f′′′(x)；一般利用函数y=f(x)的n−1阶导数n−1，记作：3=⎜2⎟⎜dxdxdx⎝dx⎠dxdnydnyf(n−1)(x+Δx)−f(n−1)(x)(n)可以定义出n阶导数：n=lim；并记为：y，n 等；称函数的Δx→0dxΔxdx二阶及其以上阶的导数为高阶导数。
通常记作：y′，y′′，y′′′，y(4)，y(5)，L,y(n),L。
d2s由此定义，质点的加速度可以写作：a(t)=s′′(t)=2。
dt例1．设函数y=sinx2，求y′′。
解：y′=2xcosx2，y′′=2xcosx2()′=2(cosx2+x−2xsinx2=2cosx2−4x2sinx2 ())《高等数学》上册教案第二章导数与微分例2．求函数y=ln(x++x2)的二阶导数。
解：y′=1x++x2⋅(1+12x2+x2=1+x32 −x122 y′′=(y′)′=( ′=−(1+x)⋅2x=−222+x(1+x)注：求二阶导数之前，应该将一阶导数作适当的化简、整理。
数学分析教案(华东师大版)导数和微分
数学分析教案（华东师大版）导数和微分一、教学目标1. 理解导数的定义和几何意义；2. 掌握导数的计算法则；3. 学会应用导数解决实际问题，如求函数的极值、单调区间等；4. 理解微分的概念及其应用。
二、教学内容1. 导数的定义与几何意义引入极限的概念，说明导数是函数在某一点的切线斜率；解释导数表示函数在某一点的瞬时变化率；借助几何图形，展示导数表示切线的斜率。
2. 导数的计算法则幂函数、指数函数、对数函数的导数；三角函数的导数；复合函数的导数（链式法则）；反函数的导数；高阶导数。
3. 应用导数解决实际问题求函数的极值；判断函数的单调性；求解曲线的切线方程；应用导数解决物理、经济等领域的实际问题。
4. 微分的概念与计算引入微分的概念，说明微分表示函数在某一点的增量；掌握微分的计算法则，如乘法法则、幂函数的微分等；应用微分求解函数的增量。
三、教学方法1. 采用讲授法，系统地介绍导数和微分的概念、计算法则及应用；2. 借助图形和实例，直观地展示导数和微分的几何意义；3. 引导学生通过练习，巩固所学知识，提高解题能力；4. 鼓励学生提问、讨论，提高课堂互动性。
四、教学准备1. 教案、教材、课件等教学资源；2. 投影仪、黑板、粉笔等教学工具；3. 练习题及答案。
五、教学评价1. 课堂提问：检查学生对导数和微分概念、计算法则的理解；2. 课后作业：评估学生对课堂所学知识的掌握程度；3. 章节测试：检测学生对导数和微分知识的综合运用能力。
六、教学内容5. 利用导数研究函数的极值与单调性定义极值的概念，介绍第一类和第二类极值；利用导数判断函数的单调区间；求解函数的极值点和单调区间。
6. 洛必达法则与极限的计算引入洛必达法则，解释其在极限计算中的应用；演示洛必达法则的具体操作步骤；练习使用洛必达法则计算极限。
七、教学内容7. 高阶导数与隐函数求导定义高阶导数，介绍高阶导数的计算法则；引入隐函数的概念，讲解隐函数求导的方法；举例说明隐函数求导的应用。
同济大学高等数学（电子教案WORD版）第二章导数与微分
①②第二章 导数与微分（12课时）微分学是微积分的重要组成部分，它的基本概念是导数与微分。
本章主要学习导数与微分的概念及计算方法。
[通过本章的学习，要使学生理解导数的概念及其几何、物理意义，了解可导性与连续性之间的关系，会用定义求函数在一点处的导数，会求函数曲线上一点处的切线与法线方程，熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则，及复合函数的求导法则，会求反函数的导数，掌握隐函数的求导法、对数函数的求导法及参数方程所确定的函数的求导法，会求分段函数的导数，理解高阶导数的概念，会求简单函数的n 阶导数，理解微分概念，掌握微分法则，了解可微与可导的关系，会求函数的一阶微分，了解一阶微分形式的不变性，了解微分在近似计算中的应用。
计划用12学时。
]§2.1：导数概念教学目的：理解导数的概念及几何意义会求平面曲线的切线和法线,了解导数的物理意义,理解函数连续性与可导性之间的关系。
教学重点：建立导数概念,理解导数的几何意义，理解连续与可导的关系。
教学难点：导数定义的理解。
教学内容：1. 函数在一点的导数为了给出导数的概念，我们先看下面两个问题。
（1）直线运动的速度设某点沿直线运动。
在直线上引入原点和单位点（即表示实数1的点），使直线成为数轴。
此外，再取定一个时刻作为测量时间的零点。
设动点于时刻t 在直线上的位置的坐标为s （简称位置s ）。
这样，运动完全由某个函数()s f t =所确定。
这函数对运动过程中所出现的t 值有定义，称为位置函数。
在最简单的情形，该动点所经过的路程与所花的时间成正比。
就是说，无论取哪一段时间间隔，比值经过的路程 所花的时间总是相同的。
这个比值就称为该动点的速度，并说该点作匀速运动。
如果运动不是匀速的，那么在运动的不同时间间隔内，比值①会有不同的值。
这样，把比值①笼统地称为该动点的速度就不合适了，而需要按不同时刻来考虑。
那么，这种非匀速运动的动点在某一时刻（设为0t ）的速度应如何理解而又如何求得呢？首先取从时刻0t 到t 这样一个时间间隔， 在这段时间内，动点从位置()00s f t =移动到()t s f t =。
09-10(下)第二章教案导数与微分(4.25)
教案
编号：QDJW—0709—10（1）版本号：C/2流水号：1011—01—13095---1共3页第1页
课程名称
高等数学
课程代码
章节（课题）
第二章、2.2导数公式、求导法则，2.3高阶导数。
授课日期
授课班级
预计学时
任课教师
数控10秋电大4基本来自息教学目标专业能力
一、可导函数和、差、积、商的求导法则
三、复合函数的导数
四、高阶导数
教学后记
检查与评审情况
教学主管签字
审核日期
年月日
督导审核纪要
签字：年月日
共3页第2页
教学过程
教师活动和教学内容
学生活动
备注
一、复习引入：
导数的定义：
定义3.1：设函数 的邻域有定义，若
存在，则称其极限值为函数 处的导数，记为 或 或 或 。
。
二、新课：
一、可导函数和、差、积、商的求导法则
高阶导数：连续两次或两次以上对函数求导。
三、课堂练习：
课后习题
四、小结：
一、可导函数和、差、积、商的求导法则
二、反函数的导数
三、复合函数的导数
四、高阶导数。
五、作业：补充习题册
教师
引导启发
学生
回答
认真听记笔记
精讲细练，讲练结合
做练习，不懂就问。
精讲细练，讲练结合
精讲细练，讲练结合
二、初等函数的导数
三、复合函数的导数
四、高阶导数
方法能力
社会能力
课前准备
项目
准备和分析
控制点
教学方法
□职业活动导向教学法（□大脑风暴法□卡片展示法□案例教学法□角色扮演法□项目教学法□引导课文法□模拟教学法）□讲授法□启发式教学□演示法□练习法□讨论法
大学微积分第二章讲解教案
课程名称：微积分授课对象：大学本科生授课时间：2课时教学目标：1. 理解导数的概念，掌握导数的定义和计算方法。
2. 熟悉导数的几何意义和物理意义，能够解释导数在函数变化中的应用。
3. 掌握基本导数公式和导数的四则运算法则，能够计算简单函数的导数。
4. 理解微分的基本概念，掌握微分与导数的关系，能够计算函数的微分。
教学重点：1. 导数的定义和计算方法。
2. 导数的几何意义和物理意义。
3. 基本导数公式和导数的四则运算法则。
教学难点：1. 导数的定义的理解和应用。
2. 导数在几何和物理中的应用。
3. 复杂函数的导数计算。
教学准备：1. 多媒体课件。
2. 导数相关的实例和习题。
教学过程：第一课时一、导入1. 复习第一章内容，强调函数变化率的重要性。
2. 提出导数的概念，引导学生思考导数在函数变化中的作用。
二、新课讲解1. 导数的定义- 引入导数的定义，通过实例说明导数的概念。
- 讲解导数的定义公式，强调自变量的变化量和函数的变化量。
- 讲解导数的几何意义，即切线的斜率。
- 讲解导数的物理意义，即速度。
2. 导数的计算方法- 介绍导数的定义法，通过极限的方法计算导数。
- 讲解导数的四则运算法则，包括导数的乘法、除法、加法和减法。
- 举例说明导数的计算方法，引导学生掌握计算技巧。
三、实例分析1. 通过几何图形和物理实例，展示导数的应用。
2. 讲解如何利用导数分析函数的增减性和凹凸性。
四、课堂练习1. 给出几个简单函数，让学生计算它们的导数。
2. 让学生分析给定函数的增减性和凹凸性。
第二课时一、复习上节课内容1. 回顾导数的定义、计算方法和应用。
2. 回答学生提出的问题。
二、新课讲解1. 微分的基本概念- 介绍微分的定义，强调微分与导数的关系。
- 讲解微分在几何和物理中的应用。
2. 微分的计算方法- 介绍微分的近似计算方法，如微分近似公式。
- 讲解如何计算函数的微分。
三、实例分析1. 通过实例展示微分在几何和物理中的应用。
经济数学复习第二章导数与微分市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
x2 1
1
1 x2
，dy
1
dx x2
．
x2
（3） y2 f (e2x)e2x dy2 f (e2x)e2xdx
练习
若
y
tan
x 2
则
dy ?
ESC
六. 基本初等函数旳微分公式
(1) d(C) 0
(10) d(cot x) csc2 xdx
(2) d(x) x 1dx (11) d(sec x) sec x tan xdx
d u v du dv d uv vdu udv
d cu cdu，（c为常数）
d
(u v
)
vdu udv， v2
(v 0)
ESC
六. 基本初等函数旳微分公式
例7求 d(cos2x)
例8 求函数 yexcos4x 旳微分 解：dycos4xd(ex)exd(cos4x) cos4xexd(x)ex(sin4x)d(4x) excos4xdx4exsin4xdx ex(cos4x4sin4x)dx
f (x0),
y x ,x0
dy dx
, x x0
或
df dx
. x x0
ESC
一、导数旳概念
即
f (x0)
lim
x0
f
(x0 x) x
f
(x0) .
或
f (x0)
lim
x x0
f
(x) x
f (x0) x0
.
定义2.2 若函数 y f (x) 在区间 (a,b)内
任意一点处都可导，则称函数 f ( x)在区间 (a,b)
第二章 导数与微分
第二章 导数与微分
导数与微分教案
（首先复习一下初等函数的求导公式）
一、高阶导数
二阶导数；记法。
n阶导数；记法。
二、举例
例① ，求
例② ，求
例③证明函数 满足关系式
例④求指数函数 的n阶导数
例⑤求 的n阶导数（ ）
例⑥求 的n阶导数
例⑦ 的n阶导数
三、莱布尼茨公式
（只做作业中的一道题）
…………………………………………………………………………………42分钟
求 的导数。
二、由参数方程所确定的函数的导数
1．参数方程：
如抛射体的运动轨迹 ，其中v1为水平方向初速度，v2为垂直方向初速度。
2．由参数方程所确定的函数的导数
分析：由 可得
3．二阶导数导数（注意：二阶导数导数是把译介导函数看成是新函数，在求一次导）
例7已等函数的微分公式与微分运算法则
（书上P115）
六、举例
例1求函数 在x=1和x=3处的微分。
例2求函数 当 的微分。
例3已知函数 ，求 。
例4已知函数 ，求 。
例5在下列等式左端的括号中填入适当的函数，使等式成立。
（1）d( )=xdx
（1）d( )=coswxdx
七、微分在近似计算中的应用
第四节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数,相关变化率
一、隐函数的导数
1．显函数：如
2．隐函数：如
3．隐函数的显化：如
4．隐函数的导数：举例
例7求由 所确定的隐函数的导数。
例8求由 所确定的隐函数在 处的导数。
例9求椭圆 在点（2， ）处的切线方程。
例10求由 所确定的隐函数的二阶导数导数。
例11求 的导数。
函数增量。
数学分析教案(华东师大版)导数和微分
数学分析教案（华东师大版）：导数和微分第一章：导数概念1.1 引入导数的概念解释导数的定义：函数在某一点的导数是其在该点的切线斜率。
强调导数的重要性：导数可以描述函数在某一点的局部性质，如增减性、凹凸性等。
1.2 导数的计算讲解导数的计算方法：常数函数的导数为0；幂函数的导数为其指数乘以底数的指数减1；指数函数的导数为底数；对数函数的导数为1除以函数的底数；三角函数的导数分别为各自的导数公式。
1.3 导数的应用解释导数的应用：求函数的极值：导数为0的点可能是极值点，通过二阶导数判断；求函数的单调区间：导数大于0表示函数递增，导数小于0表示函数递减；求曲线的切线方程：利用导数求出切点坐标和切线斜率，写出切线方程。
第二章：微分2.1 微分的概念解释微分的定义：微分是导数的一个局部线性逼近，表示函数在某一点的增量与自变量的增量之比。
强调微分的重要性：微分可以用来近似计算函数在某一点的增量，简化计算。
2.2 微分的计算讲解微分的计算方法：利用导数计算微分：微分等于函数在该点的导数乘以自变量的增量；微分的性质：微分是无穷小量，具有线性、齐次性和对称性。
2.3 微分的应用解释微分的应用：近似计算函数在某一点的增量：利用微分公式，将自变量的增量代入计算；求曲线的切线：利用微分求出切点坐标和切线斜率，写出切线方程；微分方程的求解：通过微分方程描述物理、化学等现象的规律，求解未知函数。
第三章：导数和微分的进一步应用3.1 洛必达法则介绍洛必达法则：当函数在某一点的导数为0时，可以通过求导数的极限来判断该点是否为极值点。
3.2 罗尔定理介绍罗尔定理：如果函数在某一区间内有两个不同的点处的导数相等，则在这两点之间存在一个点，使得函数在该点处的导数为0。
3.3 泰勒公式介绍泰勒公式：将函数在某一点附近展开为多项式，可以用来近似计算函数在该点附近的值。
第四章：高阶导数4.1 高阶导数的定义解释高阶导数的定义：函数的n阶导数是其导数的导数，即导数的导数直到第n 次。
高等数学第二章导数与微分教案
第二章 导数与微分教学目的与要求 22学时1、 理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系。
2、 熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。
3、 了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n 阶导数。
4、 会求分段函数的导数。
5、 会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。
第一节 导数一、导数概念（00） 1、定义xy lim)(x f 0x 0/∆∆=→∆00x x 000x x x )f (x f (x)limx)f(x )x f(x lim 0--=∆-∆+=→→∆ x f(x))x f(x lim (x)f 0x /∆-∆+=→∆左导数00x x 000x /-x -x )f(x f(x)limx )f(x )x f(x lim(x)f 0--=∆-∆+=-→→∆ 右导数00x x 000x /x -x )f(x f(x)limx )f(x )x f(x lim(x)f 0-=∆-∆+=++→→∆+∴ A)(x f )(x f A )(x f 0/0/-0/==↔=+ 可以证明：可导→连续。
即可导是连续的充分条件。
连续是可导的必要条件。
左右导数(注：与左右极限关系) 2、导数的几何意义 曲线()x fy =在点()00y ,x 处切线：()()00/0x x x f y y -=-例1：讨论⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0x 00x x1xsin )x (f 在x=0处可导性 解：∵ f(0)0x1xsinlim f(x)lim 0x 0x ===→→f(x)在x = 0连续x1sin lim 0-x f(0)-f(x)lim 0x 0x →→=不存在 ∴f(x)在x = 0不可导例2：已知)(x f 0/存在则 =+→h)f(x -2h)f(x lim 000h )(x 2f 0/=-→h)f(x -h)5f(x lim 000h )(x f 50/- hh x f h x f h )()3(lim000--+→=h)f(x -h)f(x h )f(x -h)3f(x lim 00000--+→h)(x f 40/=例3：设函数f(x)可微，则=∆∆+→∆x(x)f -)x (x f lim 220x (x )2f(x )f /例4：设⎪⎩⎪⎨⎧>+≤=0x b ax x x x )x (f 02为使f(x)在x = x 0 处可导，应如何选取常数a 、b 解：首先f(x)必须在x 0连续202x x x x x x l i m f (x)l i m -0-0==→→b ax b ax lim f(x)lim 0x x x x 00+=+=++→→∴20x b ax =+①202x x 00x x /-x -x x x lim x -x )f(x f(x)lim (x)f 00-=-=--→→00x x 2x x x lim 0=+=-→ax -x ax -ax limx -x x -b ax limx -x )f(x f(x)lim (x)f 0x x 02x x 00x x /000==+=-=+++→→→+ ∵ )(x f 0/存在∴ 0x 2a = 从而 20x b -=例5：f(x) = x (x-1)(x-2)……(x-9) , 则()=0f /!9-∵ 0-x f(0)-f(x)lim(0)f 0x /→= !99)(x 2)1)(x (x lim 0x -=---=→例6：设f(x )在x = 0 领域内连续，21x 1f(x)lim 0x =-+→，则=(0)f /1∵ 0f(x)lim f(0)0x ==→（分母→0）∴ xf (x)lim-x f(0)-f(x)lim (0)f 0x 0x /→→== 1212x 1x 11-x 1f(x)limx =⋅=-+⋅+=→例7：设函数 f (1+x) = a f ( x ) ， 且 b (0)f /=(a , b ≠0)，问 (1)f /存在否?解：cx af(0)-x)af(lim x f(1)-)x f(1lim(1)f 0x 0x /∆∆=∆∆+=→∆→∆ ab (0)af x f(0)-x)f(a lim /0x ==∆∆⋅=→∆第二节 函数的求导法则1、显函数导数（由①得）求一个显函数的导数需解决： ①基本初等函数导数(P 64); ②导数四则运算法则(P 65);③复合函数与反函数求导法则(P 66)。
大学导数与微分的教案
一、教学目标1. 理解导数和微分的概念，掌握导数和微分的计算方法。
2. 掌握导数的几何意义和物理意义，能够运用导数解决实际问题。
3. 熟悉导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式。
4. 了解高阶导数、隐函数导数、参数方程导数等概念，并能求解相关问题。
二、教学内容1. 导数的定义及性质2. 导数的计算方法3. 导数的几何意义和物理意义4. 导数的四则运算法则和复合函数的求导法则5. 基本初等函数的导数公式6. 高阶导数、隐函数导数、参数方程导数三、教学重点与难点1. 教学重点：导数的定义及性质、导数的计算方法、导数的几何意义和物理意义、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则、基本初等函数的导数公式。
2. 教学难点：导数的计算方法、复合函数的求导法则、隐函数导数、参数方程导数。
四、教学方法1. 讲授法：讲解导数与微分的概念、性质、计算方法等理论知识。
2. 案例分析法：通过实例分析，帮助学生理解和掌握导数与微分的应用。
3. 练习法：布置课后习题，巩固所学知识，提高学生的计算能力。
五、教学过程（一）导入1. 引入实际问题，例如：物体的运动速度、物体的位移等，引导学生思考如何描述这些物理量的变化。
2. 提出导数的概念，解释导数在物理学中的应用。
（二）讲解与演示1. 讲解导数的定义及性质，展示导数的计算方法。
2. 演示导数的几何意义和物理意义，通过实例说明导数在描述物体运动中的应用。
3. 讲解导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，展示基本初等函数的导数公式。
4. 讲解高阶导数、隐函数导数、参数方程导数的概念，并通过实例进行演示。
（三）案例分析1. 选择实际问题，如物体的运动速度、物体的位移等，引导学生运用导数与微分的知识进行求解。
2. 分析案例，讲解解题思路和方法。
（四）练习1. 布置课后习题，巩固所学知识。
2. 对习题进行讲解，帮助学生掌握解题技巧。
（五）总结与反思1. 总结本节课所学内容，强调重点和难点。
二导数及微分教学设计
讲授法、启发式、发现式、课堂演练、课堂讨论
教学组织
形式
班级教学为主，分组教学与个别教学为辅
教学场所
（用2标记）
1.普通教室（）2.多媒体教室（2）3.实验室（）
评价方式
过程性考核+学生作业
作业
习题2.3
课程名称
高等数学
课程学时
90
教学单元名称
2.4反函数和隐函数的导数
单元学时
2
学习内容
1
1.反三角函数的导数f'（x）—；
学习内容
d2y
1.高阶导数的概念y“ =dy；
dx
d2s
2.二阶导数的力学意义a —v'（t）—dS;
dt2
3.由参数方程所确定函数的导数•
学习目标
1.熟练掌握显函数的高阶导数的求法；
2.理解二阶导数的力学意义；
3.会求由参数方程所确定函数的导数.
重点难点
重点：1.高阶导数的概念；
2.二阶导数的力学意义.
作业
习题2.5
课程名称
高等数学
课程学时
90
教学单元名称
2.6微分及其应用
单元学时
4
学习内容
1.微分的概念dy=f'(x )dx= f'(x)Ax；
2•微分的运算；
3.微分在近似计算中的应用
f\xQ)^x, f(xof(X。)十r(x^ylx.
学习目标
1.理解微分的概念及其几何意义；
2.会求函数的微分，尤其是复合函数的微分；
4.掌握对数求导法；
5.能够熟练求函数的微分，会做近似计算.
重点难点
重点：1.导数与微分的概念及其几何意义；
第二章-导数与微分教案
第二章 导数与微分知识点：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧法则微分的基本公式与运算义微分的概念及其几何意微分高阶导数取对数法求导隐函数的导数复合函数的导数导数的四则运算法则导数的基本公式导数的运算函数可导与连续的关系导数的几何意义导数的定义导数的概念 教学目的要求：（1）理解导数的概念；熟记导数符号；理解导数的几何意义；了解函数可导与连续的关系。
（2）熟记导数的基本公式；掌握导数的四则运算求导法则；掌握复合函数的求导法则；掌握隐函数与对数法的求导方法；了解高阶导数的概念；掌握高阶导数的求导方法。
（3）理解微分的概念及其几何意义；熟记微分的基本公式与运算法则。
教学重点：1．导数的概念 2．导数的几何意义 3．导数的基本公式 4．四则运算求导法则 5．复合函数求导法则 6．隐函数的求导法则 7．一阶微分的形式不变性 教学难点：1．导数的概念2．复合函数的求导法则 3．隐函数的求导法则 4．微分的形式不变性第一节 导数的概念【教学内容】两个引例；导数的定义；导数的几何意义；函数可导与连续的关系。
【教学目的】使学生理解导数的定义，掌握导数的几何意义，会求曲线的切线方程与法线方程，了解函数可导与连续的关系。
【教学重点】1．导数的定义；2．用导数的定义求函数在某点的导数；3．导数的几何意义。
【教学难点】1．导数的定义；2．函数可导与连续的关系。
【教学时数】2学时 【教学进程】一、两个引例引例1 自由落体运动的瞬时速度。
提问：1．自由落体运动的位移公式；2．自由落体运动的瞬时速度公式；3．自由落体运动的瞬时速度公式的推导过程（适当讨论）。
由学生回答可知自由落体运动的位移公式为2gt 21)t (s s ==，由于物体的位移s 是随时间t 连续变化的，因此在很短的时间间隔t ∆内（从0t 到t t ∆+0）内，速度变化不大，可以用平均速度t)t (s )t t (s t s v 00∆-∆+=∆∆=作为0t 时的瞬时速度)t (v 0的近似值，即 )t (v 0≈t )t (s )t t (s t s v 00∆-∆+=∆∆==tgt 21)t t (g 212020∆-∆+=20t g 21gt ∆+ 显然，t ∆越小，v 与)(0t v 越接近，当t ∆无限变小时，平均速度就无限接近0t 时的瞬时速度．由此，令0→∆t ，如果平均速度ts∆∆的极限存在，就把它定义为物体在时刻0t 的瞬时速度)(0t v ，即)t (v 0=)t g 21gt (lim 200t ∆+→∆=0gt总结规律：对于一般的变速直线运动的瞬时速度可由以下式子求得：t t s t t s t st v t t ∆-∆+=∆∆=→∆→∆)()(lim lim)(00000引例2 平面曲线的切线斜率提问：1．什么叫做圆的切线？2．一般的平面曲线的切线怎么定义？（适当讨论） 定义 设点P 是曲线C 上的一个定点，在曲线C 上另取一点Q ，作割线PQ ，当动点Q 沿曲线C 向点P 移动时，割线PQ 绕点P 旋转，设其极限位置为PT ，则直线PT 称为曲线C 在点P 的切线．如右图所示．设曲线C 的方程是)x (f y =，记点P 的横坐标为0x ，点Q 的横坐标为x x 0∆+（x ∆可正可负），PR 平行x 轴，设PQ 的倾角为φ，则PQ 的斜率为PRRQtan =φ显然x)x (f )x x (f PR RQ tan 00∆-∆+==φ 当点Q 沿曲线C 无限趋近于点P 时（这时)0x →∆，φ也趋近于PT 的倾角α，这时切线PT 的斜率x)x (f )x x (f lim x ylimtan 000x 0x ∆-∆+=∆∆=α→∆→∆综上两个引例的结论可知，虽然这两个问题所涉及到的背景知识不同，但是它们可以用相同的方法求得所需结果，由此引出导数的定义。
导数及微积分教案
导数及微积分教案第一章：导数的基本概念1.1 引言引入导数的概念，解释导数在数学和物理中的重要性。
举例说明导数在实际问题中的应用。
1.2 函数的极限复习函数的极限概念，包括左极限和右极限。
解释极限的概念，并强调极限与导数的关系。
1.3 导数的定义引入导数的定义，解释导数的几何意义。
介绍导数的计算方法，包括导数的四则运算。
1.4 导数的应用讲解导数在实际问题中的应用，如速度、加速度、斜率等。
举例说明导数在函数图像上的应用，如切线方程的求解。
第二章：导数的计算规则2.1 引言引入导数的计算规则，强调规则在导数计算中的重要性。
2.2 基本导数规则介绍基本导数规则，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数的导数。
举例说明基本导数规则的应用。
2.3 和差函数的导数讲解和差函数的导数规则，包括两个函数的和、差、积、商的导数。
举例说明和差函数导数规则的应用。
2.4 链式法则引入链式法则，解释链式法则的概念和应用。
讲解链式法则的推导过程，并举例说明其应用。
第三章：高阶导数3.1 引言引入高阶导数的概念，强调高阶导数在微积分中的重要性。
3.2 一阶导数的复习复习一阶导数的定义和计算方法。
3.3 二阶导数讲解二阶导数的定义和计算方法。
举例说明二阶导数在实际问题中的应用。
3.4 高阶导数的应用讲解高阶导数在实际问题中的应用，如加速度、曲率等。
举例说明高阶导数的应用。
第四章：微分4.1 引言引入微分的概念，解释微分在微积分中的重要性。
4.2 微分的定义讲解微分的定义，解释微分的意义。
介绍微分的计算方法，包括微分的四则运算。
4.3 微分的应用讲解微分在实际问题中的应用，如近似计算、切线方程的求解等。
举例说明微分的应用。
第五章：微分中值定理及应用5.1 引言引入微分中值定理的概念，强调微分中值定理在微积分中的重要性。
5.2 罗尔定理讲解罗尔定理的定义和证明。
举例说明罗尔定理的应用。
5.3 拉格朗日中值定理讲解拉格朗日中值定理的定义和证明。
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第二章-导数与微分教案《数学基础》教案第二章-导数与微分教案教学内容(教学时数：)一、导数概念的引例在实际问题中，经常需要讨论自变量X的增量x与相应的函数y f(x)的增量y之间的关系，例如，它们的比y以及x °时y的极限.下面讨论曲线的X X切线问题•这个问题在历史上都与导数概念的形成有密切的关系.曲线的切线的斜率首先介绍曲线y f(x)在一点M(x°,y°)处的切线，如图2-1所示在曲线上取与M (x°,y°)邻近的一点N(x°x,y°y),作割线MN，当N沿着曲线逐渐向点M接近时，割线MN将绕着点M转动，当点N沿着曲线无限接近M时, 割线MN的极限位置MT就叫做曲线yf(x)在点M处的切线下面求曲线y f (x)在点M处切线的斜率，设割线MN的倾斜角为，则割线MN的斜率为tany f (x°x) f (x°)x x又设切线MN的倾斜角为，那么当x °时，割线MN的斜率的极限就是切线的斜率，即k tan lim tan lim yX °xlimf(x°x) f (x°)(2)limx °(x、导数的定义定义1 设函数y f(x)在点x°的某个邻域内有定义，当自变量x在x°处取得增量x (点x。
x 仍在该邻域内)时，相应函数 f (x)取得增量备注:第二章-导数与微分教案y f (x ox) f (x o )；如果当 Xo时y 与x 之比的极限存在，则称函数y f (x)在点x o 处可导，并称这个极限为函数 y f (x)在点x o 处的导数,记为f (X o )，即 f (X o ) lim y x o x lim f(x ° x) f(xo) x o x 也可记作 y x x o， dy x “ 或 dr x xo ・ 如果y f (x)在区间(a,b )中的每一个确定的值 x ，对应着一个确定的导数值f (x)，这样就确定了一个新的函数，此函数成为函数y f (x)的导函数。
即 f(x)= lim 心x)心)，也可记作y ， x o淆的情况下，导函数也简称导数 三、求导数 (1)(2) 求函数的增量： 求比值： y = x (3) 求极限： f (x)例1求函数 f(x) 解：f (x) lim -x o由导数的定义，可以求得函数 y (x limx o limx o =nx n 1 即 (x )d y 吋辿.在不致发生混 或 dx dx y f (x)的导数的一般步骤: f(x x) f(x) f(x x) f(x)xx n(n 为正整数)在的导数•f(x x) f(x) x)n (x)nn 1nxlimC1xn 1 x淤x o2x 2Cn第二章-导数与微分教案例2求函数f(x) sinx 的导数.f (x x) f (x )sin(x x) sin(x )------------------------- =limx 02cos(x ——)sin —— 2 2 =lim2 2x 0xsin 一 x 、 2 ) cosx 2 x 2即，(sin x) cosx四、左、右导数x) f(x 0)，lim y lim f(x 0 x) f(x 0)x x 0 x x 0分别叫做函数 y f (x)在点x 0处的左导数和右导数，且分别记为 f (X °). 根据左、右极限的性质，我们有下面定理：定理1函数f (x)在点X 。
处可导的充分必要条件是左导数 f (X 。
)都存在且相等. 例3求函数f(x) x 在x 0处的导数.解：函数f(x) X 在X 0处的左导数f (x 0)=-1及右导数f (x 0)=1虽然都存在，但不相等，故 解：f (x) = lim=lim cos(x x 0类似地，可求得(cosx) sin x 用导数的定义还可求得(log a x)1 xln a当a e 时，有(lnx)既然导数是比值X的极限，那么，下面两个极限ylim 一 lim x 0 xxf (x of (X 。
)和右导数f (X o )和五、导数的几何意义 由本节中切线问题的讨论及导数的定义可知：导数f (X 。
)在几何上表示曲线y f(x)在点M(x o ,f(x 。
))处的切线的斜率，即 f (x °)=tan(其中是切线的倾角)根据导数的几何意义，并且应用直线的点斜式方程，曲线y f (x)在点M(X o ,f(x 。
))处的切线方程为 y f(X 0) f (X 0)(x x °)如果f (x 0) 0，那么曲线y f (x)在点M(x o ,f(x 。
))处的法线方程为y f(x 。
)f (X 。
)(x X 。
) 例4求曲线y3x 2的通过点(1 , 4)的切线方程. 解：因为y 3 (x 2) 31 3-(x)2,由导数的几何意义知， 曲线y x 2在点(1, 4)2 处切线斜率为y |3 (x 2) X 1 3(x )22 3 11x23 y 4—(x 1)即 2函数的可导性与连续性的关系 所求的切线方程为:六、 定理 2 如果函数y f(x)在点x 处可导，则函数讨论f (x) 3x 在x 0处的连续性与可导性。
解：根据导数的定义有 f (x) lim 二X lim x 0 x x I 以函数在x 0处不可导。
f (x)在该点必连续. I 1 '03x 2，其极限值不存在，所由以上讨论可知，函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件，但不是充分 条件.《基础数学》教案___ 数学基础____ 教案函数求导法则定理1如果函数u u(x)和v v(x)在x 处都可导，则函数f (x) u(x) v(x)在点 x 处可导，且 f (x) u (x) v (x)。
定理2 如果函数u u(xv(x)在点x 处都可导，则函数f (x) u(x) v(x)在点 x 处可导，且 f (x) u (x)v(x) u(x)v (x)函数积的求导法则：两个可导函数乘积的导数等于第一个因子的导数与第二个 因子的乘积，加上第一个因子与第二个因子的导数的乘积.这个法则也可以推广到任意有限个函数之积的情形•特别地，若v c ( c 为常数)，那么(cv) cv •这就是说常数因子与函数乘积 时，常数因子可以提到求导记号的外面 • 定理3如果函数u u(x)和v v(x)在点X 处都可导且v(x) 0,则函数f(x) u(x) 在点 x 处可导，且 f(x)u(x)v(x)2u(x)v(x)v(x)v 2(x)例 1 y 2x 3 5x 2 3x 7，求 y .解：y (2x 3 5x 2 3x 7)(2x 3)(5x 2) (3x) (7)例 2 y 4 sinx 2 cos —，求 y6解:y (4sin x 2cos —)(4sin x)(2-5x ) ln x (ln x) (2-5x )ln 2x=2(x 3) 5(x 2) 3(x)(7)6x 2 10x 3备注:(2 cos —)4(sin x)(2 cos =4cosx2-5xIn x，求y15X ln5lnx (2-5X) _________ xln2x 5x xln5lnx (2-5x)xln常见基本求导公式表如下:1、0，2、x3、si nx COSX4、cosx sinx，5、tanx 2sec 6、cot x 2csc7、secx secxtanx，8、cscx cscxcot x，9、xa Ina10、11、lOg a x1■ ?xln a12、Inx 1，x13、arcs inx..11X2，14arccosx 11 x2，15、arcta nx —,16、xarc cot x11 X2 0、复合函数求导定理4如果函数(x)在点X。
可导，而f(U)在点U o (X。
)可导,则复合函数y f[ (x)]在点X。
可导，且其导数为dydx x x0f (U o) (X。
).例4求y sin x的导数•解：函数y sin KX可以看作由函数sin u,u ,x复合而成的，由复合函数求导法则得y (sin u) ( •-x) = cosu cos X 2、x解:xy ln tan —的导数•2(ln tan )2京(tan 2)22secx tan—2(2)1 cscx sinx.2 sinx y 的导数•1 cosx解: 先化简，再求导:第二章-导数与微分教案21 cos x ’ 1 cosx 1 cosxy (1 cosx) sin x它的反函数y f （x ）在对应区间I x 内也可导，且(2) y2slnx ln2(sin x) y 2slnx ln2cosx(arcta nx)=1例9求下列函数的导数.4x 5 6x 2 2x 4、反函数求导法则若函数x（y ）在某区间I y 内可导、单调且 （y ） 0，则.2sin x 1 cosxf （x ）例7求下列函数的导数•（1） y 2x 4x 5 ； （2） 解：（1） y（2x ） （4x 5） 1 或dy dx 1 dx dy(y)y 2slnx ；（3） yx xe a2x ln 2 20x 4(3)[(ea)x ] (ea)x (1 Ina)例8 解: 求函数 因为yy arctanx 的导数•arcta nx 是x tan y 的反函数，所以1(arcta nx)X y (tan y)1 ~2~ sec y1 tan11 x 2类似地，可推得 (arc cot x)=11 x 2(1) yarccos 2x ； ( 2)arccot(3 2x 2)。
解：（1） y (arccos2x)1 (2x)2 (2x)(2) y [arccot(3 2x 2)]1 (3 2x 2)2(3 2x 2)相应地，把y f (x)的导数f'(x)叫做y f (x)的一阶导数。
类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数。
般地，n 1阶导数的导数叫做n阶导数，分别记作:二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数。
2.注：由高阶导数定义可见，求高阶导数就是多次接连求导，用前面学过的求导方法来计算高阶导数即可。
例2:求下列函数的(e x)(n)例3 :求y ln(1 x)的n阶导数。
解：y' —1 2 y'''(1 x)(n)y 1)n (n 1)!(1 x)n2(1 x)31 2 3(1 x)4四、高阶导数备注:1.定义：函数y f (x)的导数y' f '(X)仍为x的函数，我们把y f'(x)的导数叫做y f (x)的二阶导数，记作d2y y"或f(x)或d ydx即y'' (y')' f''(x) (f'(x))' d2y d (dy) dx2 dx(dx)y',y'',y''',y(4)(n) (n),y(n)或f'(x), f''(x), f'''(x), f (4)(x),……,f (n)(x)或dy d2y d3y d4y一dx，dx2，dx3，dx4，d n y dx n(1) y axe (2)解：(1)y axae ax (n),y n axa ey' a In a y'' (Ina) ,y (n) (In a)n阶导数忠信笃行自强不息南昌工学院教学档案《基础数学》教案数学基础教案第二章-导数与微分教案'、隐函数的导数我们在前面所遇到的函数，都可以表示为y arccos2x等，这样的函数叫做显函数个含x和y的方程F(x, y)0所确定，例如x y310中，如果当变量x在某一范围内取值时，总有相应的变量与之对应以满足方程，则称区域内确定y是x的隐函数.称y f(x))是方程F(x, y) 0确定的隐函数的显式.例如方程3x y 0确定的隐函数的显式是y 3x •将方程确定的隐函数表达为初等函数形式的显式称为隐函数的显化•但有时显化是困难的，有时是不可能的(如隐函数y f (x)不是初等函数).如xy e x y[F(x,y)] 0，从中解出y，即是隐函数y f(x)的导数y = f (x).例2求由方程5y 2y x 3x70确定的隐函数在点x = 0处的导数.解：将x ==0代入方程，得y =0. 方程两端对x求导，得5y4dy 2dy 1 d x d x21x60将x=0，y = 0代入上式，解之得dy I dx x12 '有时，我们会遇到用另外一种形式表示的函数，就是y与x的函数关系是由一备注:y f (x)的形式，如y sin x，F(x, y) 0方程在该在实际问题中，求隐函数的导数并不需要先将隐函数显化，而是可以利用复合函数的求导法则，将方程两边同时对x求导，并注意到其中变量y是x的函数，就可以直接求出隐函数的导数• 例1求方程e y xy e x 0确定的隐函数解：等式两端对x求导数，得，e'y y xyx求导过程中，视f (x)e fy f (x)的导数.e x(在等式的左端对e f (x) x f (x) e x0即有解得F(x,y)则方程0，f (x)为复合函数的中间变量，因为x(x) f (x) x f (x) e 0)y(x)e xxye y.0确定了隐函数y f(x)，并设这隐函数y f (x)F(x, y) 0是恒等式(即F(x,y) 0 )，在恒等式两y为复合函数的中间变量)，得f (x)一般地，设方程已代入F(x, y) 0，端对x求导(左端的求导过程中，视注：对于求导函数利用三角公式、代数恒等式等先进行整理再求导，可简化 运算• 求多个因式连乘除或乘方的函数的导数时，如用“商的求导法则”求导，必然 带来冗长的运算. 等式两端取对数，定的函数•很多实际问题所确定的函数关系是由参数方程给出的 •设其中xy t)有反函数t 1(x)，视t 是中间变量，由复合函数概念就建立了x 与y 的函数关(1(x )).根据复合函数求导法则，有y x (t)[ 1(x)] y t t x ,或y xxr ，或將墙 这就是参数方程所确定的函数的求导法则 求椭圆在t 4的相应点M(x o ,y 。