4-混凝土结构规范受弯与变形计算

桥梁工程系－杨 剑
➢双筋截面的分解
As’
As
As
As1
As2
M
fy' As’ afcbx
M1
fcdbx M2
fy’ As’
fy As
fsdAs1
fy As2
双筋截面
单筋截面
纯钢筋截面
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➢ 相应公式
fcb h 0 fyA s1
● 反之，b、h(h0)越小，所需的As就越大， 增大。
造价
总造价
混凝土
钢
经济配筋率
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经济配筋率 梁：
➢ 矩形截面梁： =（0.6~1.6）% ➢ T形截面梁： =（0.9~1.8）% 板： =（0.4~0.8）%
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➢选定材料强度 fsd、fcd，截面尺寸b、h后，未知数就只有x，As， 则基本方程可解。 ➢h0的近似确定： 梁 ✓ 一层配筋时，取as＝40mm， h0＝h－40mm ✓ 两层配筋时，取as＝65mm， h0＝h－65mm 板 取as＝25mm， h0＝h－25mm
ecu
as’
A
’ s
e
s
Mu
x
h0
Cs=s’As’ C＝ af cbx
As
as
>ey
T=fyAs
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➢ 保证受压钢筋强度充分利用的构造措施
受压钢筋
s≤15d，400mm
A s'
d
≥1 d
封闭箍筋
4
As
配置受压钢筋后，为防止受压钢筋压曲而导致受压区混凝 土保护层过早崩落影响承载力，必须配置封闭箍筋。
M Mu fy Ash0(10.5) (4a)
令：s (1 0.5 ) ； s 1 0.5
这里：s－截面的抵抗矩系数；
－
s
截面的内力偶臂系数。
M Mu fc.sbh02
(5)
M Mu f y As. sh0 (5a)
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三. 适用条件
1. b 或
x bh0
max
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fcbxfyAs
(1)
MMu fcbx(h0x/2) (2)
MMu fyAs(h0x/2) (2a)
fcbh0fyAs
(3)
MMu fcbh02(10.5) (4) MMu fyAsh0(10.5) (4a)
令：s (10.5)； s 10.5 MMu s.fcbh02 (5) MMu s.fyAsh0 (5a)
未知数：受压区高度x、 b，h(h0)、 fy、fc 、As
基本公式：2个
没有唯一解
设计人员应根据受力性能、材料供应、施工条件、使用要求等因素 综合分析，确定较为经济合理的设计。
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◆通过合理的材料选用确定fc和fy：
● 适筋梁的Mu主要取决于fyAs， 因此RC受弯构件的混凝土强
度等级不宜过高。 现浇梁板：常用C20～C35级混凝土 预制梁板：常用C25～C40级混凝土
Ts＝σsAs＝fyAs
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一. 基本假定
1. 截面应变保持平面；
2. 钢筋的应力-应变关系为理想的弹塑性关系，受拉钢筋
的极限拉应变取0.01。
3. 混凝土的受压应力-应变关系给定；
4. 忽略受拉区混凝土的抗拉作用。 Mu
xn
C
xt Tc
Ts
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对于适筋梁，受拉钢筋应力 s=fy,则有：
N0, MAs=0, MC=0,
fcbxfyAs
Mu
fcbx(h0
x) 2
x
Mu
fyAs(h0
) 2
（1） （2）；或 （2a）
上述公式中的受压区高度 x 并非实际的压区高度，而是等效矩
形应力图块的高度，其与实际压区高度xn之间的关系是：x＝βxn。
➢界限相对受压区高度ξb
ecu
x>xb’ Xb’
ρ>ρmax
x<xb’
ey
h0
ρ<ρmax ρ=ρmax
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有明显屈服点钢筋：
x'b
ecu ecu ey
h0
bxhb 0' hx0b'
ecuecu ey
1ecu fE ys
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无明显屈服点钢筋：
σ
σ0.2
0
0.2%
4-混凝土结构规范受弯与变形计算
本章主要内容
4-1 受弯构件的应力阶段及破坏状态 4-2 受弯构件正截面承载力计算 4-3 单筋矩形截面受弯构件正截面承载力计算 4-4 双筋矩形截面受弯构件正截面承载力计算 4-5 T形截面受弯构件正截面承载力计算 4-6 受弯构件斜截面的受力性能 4-7 受弯构件斜截面承载能力设计计算 4-8 裂缝宽度验算 4-9 变形验算
钢丝、钢绞线 精轧螺纹钢
≤C50 0.62 0.56 0.53 0.40 0.40
C55、C60 C65、C70 C75、C80
0.60
0.58
－
0.54
0.52
－
0.51
0.49
－
0.38
0.36
0.35
0.38
0.36
－
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➢ 最大配筋率ρmax
由 （ 3） 知 ：
b
fy As fc b h0
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四. 界限相对受压区高度 ξb及最大配筋率ρmax
➢ ξ与配筋率 ρ的关系
由方程（1）可得：
ffyc
As bh0
ffyc
(3)
相对受压区高度ξ不仅反映了钢筋与混凝土的面积比（配筋率 ρ），也反映了钢筋与混凝土的材料强度比，是反映构件中两种材
料配比本质的参数。
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一.计算简图
αfc
C＝αfc bx
M
x
h0
h
As
as
b
Ts=fyAs
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二. 基本公式
fcbx fy As
(1)
M
Mu
fcbx(h0
x) 2
(2)
M
Mu
f y As (h0
x) 2
(2a)
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因为：x h0；则有：
fcbh0 fy As
(3)
M Mu fcbh02(10.5) (4)
当受压钢筋多于3根时，应设复合箍筋。
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二. 基本公式
as’ h0
as
ecu
A
’ s
es
Mu x
As
>ey
Cs=fy’ As’
Cc= fcbx
T=fy A s
fc b h 0 fy A s fyA s
(1 )
M M ufc b h 0 2(1 0 .5) fy A s (h 0 a s ') (2 )
求解x和Mu
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问题？
1. b 时 ，M u＝ ？
此 时 取 ： M uM u,m axfcbh0 2（ b1－ 0.5b) 即 当b时 ， 取 ＝ b带 入 公 式 计 算 M u。
这种情况在施工质量出现问题，混凝土没有达到设计强度 或设计时钢筋配置过多时会产生。
2. Asm inbh?
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计算框图如下：
➢直接由方程（1）、（2）或（3）、（4） 联立求解x和As，特别应注意适用条件的验算。
或：
s
M fcdbh02
1 1 2s b？
As bh0
f cd f sd
m in？
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问题？
b ？
增加截面尺寸、提高混凝土强度等级或 采用双筋截面
m ax
fy fc
则：
m
＝
ax
b
fc fy
（ 4）
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➢ 界限破坏时的受弯承载力为适筋梁Mu的上限
M u ,m a xfc b h 0 2b (1 0 .5 b )
sm axb(10.5b)
M um axsm axfcbh0 2
max
b
b
fc
fy
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➢ 适筋梁的判别条件
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h
➢基本方程
As
b
h0
as
x＝βxn
Mu
α fc
C＝ αfcbx
Ts=σsAs
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N0, M=0,
fcbxsAs Mu fcbx(h02x)
x / h0 —— 相对受压区高度
N0 , M 0 ,
fcbh 0 sA s M ufcbh 0 2 (10.5 )
max ； b ； M M u,max s,max fcbh02 ； s M / fcbh02 s,max
这几个判别条件是等价的；本质均是：
b
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五. 最小配筋率ρmin
➢ 确定的原则： Mu ≥Mcr
这里： Mu－配筋率为ρmin的钢筋混凝土梁截面抗弯承载能力； Mcr－相应的素混凝土梁的抗弯承载能力。
此 时 ， 按 素 混 凝 土 梁 计 算 M u
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3.4.2 双筋矩形截面受弯构件
一.概述
➢ 双筋截面是指在截面的受拉 区和受压区同时配有纵向受 力钢筋的截面。
受压钢筋
As'
As
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➢一般来说采用双筋是不经济的，工程中通常仅在以 下情况下采用： 1. 采用单筋截面不满足适筋截面条件，而截面尺寸 和材料强度又不能增加，此时可采用双筋截面。在 受压区配置纵向受力钢筋以补充混凝土抗压能力的 不足。 ◆ 由于荷载有多种组合情况，在某一组合情况下截 面承受正弯矩，另一种组合情况下承受负弯矩，这 时也出现双筋截面。 ◆ 此外，由于受压钢筋可以提高截面的延性，因此， 在抗震结构中要求配置一定比例的受压钢筋。
b
fc f sd
M
M
u ,max
s,max
f
c
b
h
2 0
s s ,m ax b (1 0 .5 b )
防止所设计的梁为超筋梁
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2. min
防止所设计的梁为少筋梁
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四. 公式应用 1. 截面设计
已知：弯矩设计值M 求：截面尺寸b、h(h0)，材料强度 fy、fc ，截面配筋As
εy
ε
es0.002ey0.002E fy s
bx hb 0'
xb'
ຫໍສະໝຸດ Baiduh0
ecuecu es
b
1
0.002
ecu
fy
Esecu
εs
相对界限受压区高度仅与材料性能有关，
而与截面尺寸无关。
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《桥梁规范》规定的相对界限受压区高度b
混凝土强度等级 R235 钢筋
HRB335 钢筋 HRB400、KL400 钢筋
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2. 截面复核
已知：截面尺寸b，h(h0)、截面配筋As以及材料强度fsd、fcd
复核： 截面的抗弯承载力 Mu≥M？
未知数：受压区高度x和受弯承载力Mu 可直接由基本方程：
fcbh0 fyAs
(3)
MMu fcbh02(10.5) (4) MMu fyAsh0(10.5) (4a)
b=(1/2~1/3)h －矩形截面； b =(1/3~1/4)h －现浇T形截面，绑扎骨架；
b =(1/3~1/4)h － T形截面，焊接骨架； ✓ 简支板可取h = (1/30 ~ 1/35)L
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给定M时
● 截面尺寸b、h(h0)越大，所需的As就越少， 越小，但
混凝土用量和模板费用增加，并影响使用净空高度；
● RC受弯构件是带裂缝工作的，由于裂缝宽度和挠度变形的 限制，使得高强钢筋的强度也不能得到充分利用。 梁常用Ⅱ～Ⅲ级钢筋，板常用Ⅰ～Ⅱ级钢筋。
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◆根据构造和受力要求确定截面尺寸
● 截面应具有一定刚度，满足正常使用阶段的验算能满足挠度变形的要求。 ● 根据工程经验，一般常按高跨比h/L来估计截面高度 ✓ 简支梁可取h=(1/10 ~ 1/18)L，
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➢ 双筋截面梁的受力特征：
◆ 双筋截面在满足构造要求的条件下，截面达到Mu的标志仍然是
受压边缘混凝土达到ecu。
◆ 在受压边缘混凝土应变达到ecu前，如受拉钢筋先屈服，则其破坏
形态与适筋梁类似，具有较大延性。
◆在受压边缘混凝土达到其极限压应变时，受压钢筋位置处的应变 值约为0.002，相应钢筋的应力达到400MPa左右。
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min
As 0.37 bh
ftk fyk
ftk /fyk=1.45ftd/1.2fsd=1.21ftd/fsd
min
As bh
0.45
ft fy
◆ 同时不应小于0.2%
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3.4 受弯构件正截面 承载能力的设计计算
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3.4.1 单筋矩形截面受弯构件
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➢ Mcr的确定
ec
Mcr
c =Ecec
h/3 h/4
etu
ftk
M crftk bh 2h 4h 32 74 ftk b2h
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➢ Mu的确定
x= xn
Mu
fc C = fcbx
T＝fyk As
Mu fykAs(h0 0.5x)
＝fykbh02(10.5)
近似取：1-0.5=0.96； h=1.1h0
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4-1 受弯构件的应力阶段及破坏状态
➢阶段Ⅲa时截面的应力、应变分布--承载能力极 限状态计算的基础
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4.2 受弯构件正截面承载力计算一般原理
➢ 达到极限弯矩Mu时，受压区边缘混凝土达到其极限压应变
ecu
➢达到极限弯矩时，受拉区混凝土已开裂很大，截面受拉区很 小，且混凝土的抗拉强度很低，因此一般可忽略受拉区混凝 土的拉力合力Tc。 ➢对于适筋梁，破坏时受拉钢筋已经屈服，即有：