误差分析和数据处理

误差分析和数据处理．

误差和分析数据处理

1 数据的准确度和精度

在任何一项分析工作中，我们都可以看到用

同一个分析方法，测定同一个样品，虽然经过多少次测定，但是测定结果总不会是完全一样。这说明在测定中有误差。为此我们必须了解误差产生的原因及其表示方法，尽可能将误差减到最小，以提高分析结果的准确度。

1.1 真实值、平均值与中位数

（一）真实值

真值是指某物理量客观存在的确定值。通常一个物理量的真值是不知

道的，是我们努力要求测到的。严格来讲，由于测量仪器，测定方法、环境、人的观察力、测量的程序等，都不可能是完善无缺的，故真值是无法测得的，是一个理想值。科学实验中真值的定义是：设在测量中观察的次数为无限多，则根据误差分布定律正负误差出现的机率相等，故将各观察值相加，加以平均，在无系统误差情况下，可能获得极近于真值的数值。故“真值”在现实中是指观察次数无限多时，所求得的平均值（或是写入文献手册中所谓的“公认值”）。．

（二）平均值然而对我们工程实验而言，观察的次数都是有限的，故用有限观察次数求出的平均值，只能

是近似真值，或称为最佳值。一般我们称这一最佳值为平均值。常用的平均值有下列几种： 1）算术平均值（这种平均值最常用。凡测量值的分布服从正

态分布时，用最小二乘法原理可以证明：在一组等精度的测量中，算术平均值为最佳值或最可信赖值。n x?i x?x?x 12n?i1?x?nn

xx x、――观察——各次观测值；式中： n n12的次数。）均方根平均值2 （n2x?222i x?x?x 1i2?n1??x均nn

（3）加权平均值

设对同一物理量用不同方法去测定，或对同一物理量由不同人去测定，计算平均值时，常对比较可靠的数值予以加重平均，称为加权平均。．

n xw?ii xwx?wx??w 11i2?2nn1?w?

n?w?ww? n21w?i1?i x、xx ——各次观测值；式

中；n12

ww、w 各观——各测量值的对应权重。n12测值的权数一般凭

经验确定。）几何平均值（4

5）对数平均值（xxx?x?1212?x?n xx?ln x ln1ln21x2以上介绍的各种平均值，目的是要从一组测定值中找出最接近真值的那个值。平均值的选择主要决定于一组观测值的分布类型，在化工原理实验研究中，数据分布较多属于正态分布，故通常采用算术平均值。

（三）中位数（xM）

一组测量数据按大小顺序排列，中间一个数据即为中位数。当测定次数为偶数时，中位数为中间相邻的两个数据的平均值。它的优点是能简便地说明一组测量数据的结果，不受两端具有过大误差的数据的影响。缺点是不能充分利用数据。．

1.2 准确度与误差

准确度与误差是指测定值与真实值之间相符合程度。准确度的高低常以误差的大小来衡

量。即：误差越小，准确度越高；误差越大，准确度越低。误差有两种表示方法：绝对误差和相对误差。

1、绝对误差（E）

某物理量在一系列测量中，某测量值与其真值之差称绝对误差。实际工作中常以最佳值代替真值，测量值与最佳值之差称残余误差，习惯上也称为绝对误差。

绝对误差（E）＝测定值（x）-真实值（T）

2、相对误差（RE）

为了比较不同测量值的精确度，以绝对误差与真值（或近似地与平均值）之比作为相对误差。

由于测定值可能大于真实值，也可能小于真实值，所以绝对误差和相对误差都有正、负之分。

绝对误差相同，相对误差可能相差很大。相对误差是指误差在真实值中所占的百分比率。相对误差不同说明它们的误差在真实值众所站的．

百分比率，用相对误差来衡量测定的准确度更具有实际意义。但应

注意有时为了说明一些仪器测量的准

确度，用绝对误差更清楚。例如分析天平的称量，常量滴定的读书误差是±误差是±0.0002g 等。这些都是用绝对误差来说明的。0.01mL 精密度与偏差1.3

次重复测定结果精密度是指在相同条件下n彼此相符合的程度。精密度的大小用偏差表示，偏差愈小说明精密度愈高。（一）偏差偏差有绝对偏差和相对偏差。x?x =d绝对偏差（）相对偏差是指单次测定值与平均值的偏差。xx??100%x相对偏差=相对偏差是指绝对偏差

在平均值中所占的百分率。

绝对偏差和相对偏差都有正负之分，单次测定的偏差之和等于零。对多次测定数据的精密度常用算术平均偏差表示。

（二）算术平均偏差

算术平均偏差是指单次测定值与平均值的偏差（取绝对值）之和，除以测定次数。即xx??i?d)(n i?1,2,n）（算数平均偏差

算术平均偏差和相对平均偏差不计正负。计算下面这一组测量值的平均值，算术平均例

偏差和相对平均偏差。 55.51

解： 55.51， 55.50， 55.46， 55.49，值均平

x?5146?55.49?55.5555.51?55.50?.i49?55.5n ==差均偏算数平

x??x02.00?0.03020.?0.01?0.?0i?d()016?0.n5 ==差偏平均相对

016.0d%0280.?100%?%?100?49.55x= （三）标准偏差在数理统计中常用标准偏差来衡量精密度。 1、总体标准偏差总体标准偏差是用来表达测定数据的分散程度，其数学表达式为：2?)x??(i?)?(n总体标准偏差值不μ一般测定次数有限，、样本标准偏差2．

知道，只能用样本标准偏差来表示精密度，其数学表达式为：

样本标准偏差

2)x?(x?i()?S1n?

）在统计学中成为自由度，意n-1上式中（）个独立可变的n-1思是在n次测定中，只有（个绝对偏差之和等于零，所以只要n偏差，因为个的nn-1）个绝对偏差，就可以确定第知道（偏差。 3、相对标准偏差标准偏差在平均值中所占的百分率叫做相），对标准偏差，也叫变异系数或变动系数（cv 其计算式为：S 100%x cv=用标准偏差表示精密度比用算术平均偏差表示要好。因为单次测定值的偏差经平方后，较大的偏差就能显著地反应出来。所以产生和科研的分析报告