三种经典网格细分算法的研究与分析
典型三角网格细分算法
典型三角网格细分算法
江焯林;黎绍发;贾西平;祝红丽
【期刊名称】《计算机工程》
【年(卷),期】2009(35)6
【摘要】介绍7种典型的三角网格细分算法,对各种细分算法在连续性、具备优点及应用状况等几个方面进行比较和归类.为提高三角网格细分效果的可视化程度,将基于功能类机制的状态机模型作为软件运行模式,利用MFC和OpenGL实现交互式显示控制,并在此基础上对最具典型意义的Loop算法进行原型实现,给出优化方法.
【总页数】4页(P7-10)
【作者】江焯林;黎绍发;贾西平;祝红丽
【作者单位】华南理工大学计算机科学与工程学院,广州,510640;华南理工大学计算机科学与工程学院,广州,510640;华南理工大学计算机科学与工程学院,广
州,510640;华南理工大学资源科学与造纸工程学院,广州,510640
【正文语种】中文
【中图分类】TP301.6
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1.基于型面曲率的三角网格快速自适应细分算法 [J], 孙殿柱;朱昌志;李延瑞
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网格细化方案
网格细化方案概述网格细化是指在数值计算中将初始网格进行进一步细分，以提高数值模拟的准确性和精度的一种方法。
通过合理地细化网格，可以更好地捕捉复杂的几何形状和物理过程。
本文将介绍几种常见的网格细化方案，并探讨它们的优缺点和适用场景。
1. 均匀网格细化均匀网格细化是最简单的网格细化策略之一。
它按照固定的步长将初始网格划分为更小的网格单元。
这种方法的优点是简单易实现，且计算效率较高。
然而，它存在的问题是无法适应复杂的几何形状和物理过程，对于一些细节变化较大的区域，无法提供足够的分辨率。
因此，均匀网格细化主要适用于处理简单的几何形状和物理过程。
2. 自适应网格细化自适应网格细化是一种根据问题需要动态调整网格的方法。
它根据初始网格上的解的特点，通过一定的误差估计准则来判断是否需要进行网格细化。
这种方法的优点是可以根据问题的要求精确地捕捉局部细节，提高计算的准确性。
然而，自适应网格细化也存在一些问题，如在复杂的区域和物理过程中，调整网格的复杂度较高，计算时间较长。
因此，自适应网格细化主要适用于需要高精度解或处理复杂几何形状和物理过程的问题。
3. 多重网格细化多重网格细化是一种层次结构的网格细化方法。
它将问题划分为多个层次的网格，通过在不同层次的网格上进行迭代计算来逐渐提高解的精度。
多重网格细化的优点是可以在保持计算效率的同时提高解的精度。
然而，多重网格细化的实现较为复杂，需要进行网格层次间的数据交换和差值操作。
因此，多重网格细化主要适用于需要高精度解且计算时间要求较高的问题。
4. 网格细化方案的选择选择合适的网格细化方案取决于具体问题的特点和要求。
在实际应用中，需要根据问题的复杂程度、几何形状的复杂度、精度要求和计算效率等因素综合考虑。
对于简单的几何形状和物理过程，均匀网格细化是一种简单而有效的选择。
对于需要高精度解或处理复杂几何形状和物理过程的问题，自适应网格细化和多重网格细化是更合适的选择。
结论网格细化是提高数值模拟准确性和精度的重要方法之一。
表面细分算法
表面细分算法
表面细分算法是一种用于生成高精度、高质量几何模型的方法。
它可
以将简单的三角形网络逐步细分为更复杂的几何形状，提高模型的准确性
和细节。
常见的表面细分算法包括：
1. Catmull-Clark细分算法：该算法是一种基于网格的方法，通过
对三角面片进行逐层细分，生成平滑的模型表面。
该算法适用于几何体、
动画和游戏等领域。
2. Loop细分算法：该算法是一种适用于细分高精度模型表面的方法，能够生成更细腻、更真实的表面细节。
该算法通过连接顶点和面片，生成
具有更高阶曲率的曲面。
3. Doo-Sabin细分算法：该算法可以将四边形及其子孙面细分为另
外四个四边形，从而生成更复杂的几何形状。
该算法可以产生类似于细胞、泡沫等复杂几何形状。
网格划分的方法
网格划分的方法1.矩形网格差分网格的划分方法划分网格的原则：1）水域边界的补偿。
舍去面积与扩增面积相互抵消。
2）边界上的变步长处理。
3）水、岸边界的处理。
4）根据地形条件的自动划分。
5）根据轮廓自动划分。
2.有限元三角网格的划分方法1）最近点和稳定结构原则。
2）均布结点的网格自动划分。
3）逐渐加密方法。
353025201510505101520253035距离(m)距离(m)3. 有限体积网格的划分方法1） 突变原则。
2） 主要通道边界。
3） 区域逐步加密。
距离(100m)离距(100m)距离(100m)离距(100m )4. 边界拟合网格的划分方法1） 变换函数：在区域内渐变，满足拉普拉斯方程的边值问题。
),(ηξξξP yy xx =+),(ηξηηQ yy xx =+2） 导数变化原则。
⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-ηξ1J y x ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ηηξξy x y x J 为雅可比矩阵，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-ηηξξy x y x J J 11， ξηηξy x y x J -=)22(1222233ηηξηξηηξηξξηηηηηξξηηξξξηξy y x y y y x y y x x y y x y y x y J xx +-+-+-= 同理可得yy ξ，xx η，yy η。
变换方程为020222=+++-=+++-）（）（ηξηηξηξξηξηηξηξξγβαγβαQy Py J y y y Qx Px J x x x 其中2222,,ξξηξξηηηγβαy x y y x x y x +=+=+=。
几种经典网格细分算法的比较
几种经典网格细分算法的比较
王金生;韩臻;施寅;尹直诺
【期刊名称】《计算机应用研究》
【年(卷),期】2004(21)6
【摘要】曲面造型方法由于其局部性好、计算量小、算法简单、响应速度高等优点,已经广泛应用于计算机图形学、CAGD、计算机动画以及虚拟现实等领域.网格细分是一种离散造型方法,可以从数字化仪等设备直接获得数据.介绍了近年来提出的一些细分算法,对其中几种比较经典的算法进行了简单的分类和比较,并论述了各自的适用范围.
【总页数】3页(P139-141)
【作者】王金生;韩臻;施寅;尹直诺
【作者单位】北京交通大学,计算机与信息技术学院,北京,100044;北京交通大学,计算机与信息技术学院,北京,100044;北京交通大学,计算机与信息技术学院,北
京,100044;青岛市城阳区国家税务局,山东,青岛,266109
【正文语种】中文
【中图分类】TP391
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基于三角网格的任意尺度细分方法模板解读
基于三角网格的任意尺度细分方法模板细分方法是现代最重要的曲线曲面生成技术之一,现已被广泛应用于曲线曲面设计、造型等工程领域.细分方法按一定的细分规则多尺度地逼近一个光滑曲面,在进行局部特征调控的同时,能够保证曲面整体的光滑性,能够处理任意拓扑的控制网格,是联系连续模型和离散表示的桥梁.与其它造型方法相比,细分方法具有明显的优势,其算法简单,容易实现,具有广泛的应用前景和很强的生命力.目前,大多细分方法都是二尺度细分或三尺度细分,对于任意尺度细分研究还不是十分深入和完善.本文给出了基于三角形网格空间S42(△)的任意尺度细分掩模的一般表达式.在此基础上,得出了求规则点的任意尺度细分模板的具体方法,对于细分方法的理论研究和实际应用具有重要意义.同主题文章[1].李燕琴. 一种生态旅游者的识别与细分方法——以北京市百花山自然保护区为例' [J]. 北京大学学报(自然科学版). 2005.(06)[2].冯兵,罗新星,周永生. 非契约型客户关系演变模型及其运用研究' [J]. 预测. 2006.(06)[3].张智丰,张亚荣. 细分曲线参数化与累加弦长参数化的数值比较' [J]. 湘潭师范学院学报(自然科学版). 2009.(04)[4].蒋玉明. 均匀B样条曲线(段)曲面(片)的非均匀细分算法' [J]. 四川大学学报(工程科学版). 1991.(05)[5].王建卫,张泽银,黄达人. 四边形网格的削角细分' [J]. 浙江大学学报(理学版). 2004.(02)[6].崔柳,张书练. 双频氦氖激光回馈位移测量系统的实验与应用研究' [J]. 应用光学. 2007.(03)[7].楚兴春,吕海宝,杜列波,周卫红. 任意相位差条纹信号细分方法的研究' [J]. 光学学报. 2005.(04)[8].郭俊鹏,刘西林. 基于ID3算法的进一步客户细分方法' [J]. 工业工程. 2006.(02)[9].Said ,M.Easa,余又生. 地块细分的直接计算法' [J]. 测绘科学. 1990.(Z1)[10].刘晓芬,潘日晶. 基于Loop细分方法的曲线插值' [J]. 福建师范大学学报(自然科学版). 2006.(01)【关键词相关文档搜索】：计算数学; Box样条; 细分模板; Loop细分; 细分曲面【作者相关信息搜索】：吉林大学;计算数学;李强;战扬;。
三维网格细分算法（Catmull-ClarksubdivisionLoopsubdivis。。。
三维⽹格细分算法（Catmull-ClarksubdivisionLoopsubdivis。
转载：下图描述了细分的基本思想，每次细分都是在每条边上插⼊⼀个新的顶点，可以看到随着细分次数的增加，折线逐渐变成⼀条光滑的曲线。
曲⾯细分需要有⼏何规则和拓扑规则，⼏何规则⽤于计算新顶点的位置，拓扑规则⽤于确定新顶点的连接关系。
下⾯介绍两种⽹格细分⽅法：Catmull-Clark细分和Loop细分。
Catmull-Clark subdivision： Catmull-Clark细分是⼀种四边形⽹格的细分法则，每个⾯计算⽣成⼀个新的顶点，每条边计算⽣成⼀个新的顶点，同时每个原始顶点更新位置。
下图为Catmull-Clark细分格式的细分掩膜，对于新增加的顶点位置以及原始顶点位置更新规则如下：1.⽹格内部F-顶点位置： 设四边形的四个顶点为v0、v1、v2、v3，则新增加的顶点位置为v = 1/4*(v0 + v1 + v2 + v3)。
2.⽹格内部V-顶点位置： 设内部顶点v0的相邻点为v1、v2，…，v2n，则该顶点更新后位置为，其中α、β、γ分别为α = 1 - β -γ。
3.⽹格边界V-顶点位置： 设边界顶点v0的两个相邻点为v1、v2，则该顶点更新后位置为v = 3/4*v0 + 1/8*(v1 + v2)。
4.⽹格内部E-顶点位置： 设内部边的两个端点为v0、v1，与该边相邻的两个四边形顶点分别为v0、v1、v2、v3和v0、v1、v4、v5，则新增加的顶点位置为v = 1/4* (v0 + v1 + v f1 + v f2) = 3/8*(v0 + v1) + 1/16*(v2 + v3 + v4 + v5)。
5.⽹格边界E-顶点位置： 设边界边的两个端点为v0、v1，则新增加的顶点位置为v = 1/2*(v0 + v1)。
效果：function [VV, FF, S] = CC_subdivision(V, F, iter)% Catmull_Clark subdivisionif ~exist('iter','var')iter = 1;endVV = V;FF = F;for i = 1:iternv = size(VV,1);nf = size(FF,1);O = outline(FF);original = 1:nv;boundary = O(:,1)';interior = original(~ismember(original, boundary));no = length(original);nb = length(boundary);ni = length(interior);%% SvEtmp = sort([FF(:,1) FF(:,2);FF(:,2) FF(:,3);FF(:,3) FF(:,4);FF(:,4) FF(:,1)],2);[E, ~, idx] = unique(Etmp, 'rows');Aeven = sparse([E(:,1) E(:,2)], [E(:,2) E(:,1)], 1, no, no);Aodd = sparse([FF(:,1) FF(:,2)], [FF(:,3) FF(:,4)], 1, no, no);Aodd = Aodd + Aodd';val_even = sum(Aeven,2);beta = 3./(2*val_even);val_odd = sum(Aodd,2);gamma = 1./(4*val_odd);alpha = 1 - beta - gamma;Sv = sparse(no,no);Sv(interior,:) = ...sparse(1:ni, interior, alpha(interior), ni, no) + ...bsxfun(@times, Aeven(interior,:), beta(interior)./val_even(interior)) + ...bsxfun(@times, Aodd(interior,:), gamma(interior)./val_odd(interior));Sboundary = ...sparse([O(:,1);O(:,2)],[O(:,2);O(:,1)],1/8,no,no) + ...sparse([O(:,1);O(:,2)],[O(:,1);O(:,2)],3/8,no,no);Sv(boundary,:) = Sboundary(boundary,:);%% SfSf = 1/4 .* sparse(repmat((1:nf)',1 ,4), FF, 1);i0 = no + (1:nf)';%% Seflaps = sparse([idx;idx], ...[FF(:,3) FF(:,4);FF(:,4) FF(:,1);FF(:,1) FF(:,2);FF(:,2) FF(:,3)], ...1);onboundary = (sum(flaps,2) == 2);flaps(onboundary,:) = 0;ne = size(E,1);Se = sparse( ...[1:ne 1:ne]', ...[E(:,1); E(:,2)], ...[onboundary;onboundary].*1/2 + ~[onboundary;onboundary].*3/8, ...ne, ...no) + ...flaps*1/16;%% new faces & new verticesi1 = no + nf + (1:nf)';i2 = no + 2*nf + (1:nf)';i3 = no + 3*nf + (1:nf)';i4 = no + 4*nf + (1:nf)';FFtmp = [i0 i4 FF(:,1) i1; ...i0 i1 FF(:,2) i2; ...i0 i2 FF(:,3) i3; ...i0 i3 FF(:,4) i4];reidx = [(1:no)'; no+(1:nf)'; no+nf+idx];FF = reidx(FFtmp);S = [Sv; Sf; Se];VV = S*VV;endendLoop subdivision： Loop细分是⼀种三⾓形⽹格的细分法则，它按照1-4三⾓形分裂，每条边计算⽣成⼀个新的顶点，同时每个原始顶点更新位置。
网格划分的技巧和策略
在中国CAE论坛上看到这个，挺不错的壳体单元网格划分时，如果能了解一些网格划分的技巧和策略，将会事半功倍。
壳体网格划分可以从3个方面入手：几何模型、划分方法和解决策略。
1 几何模型可以从以下几个方面了解和处理几何模型问题（1）了解部件的形状，主要集中在尺寸小的部分。
（2）什么样的特征可以被忽略，例如小的倒角和圆孔。
（3）何种特征对分析是关键的特征，这些特征对确保好的单元质量是需要的。
2 划分方法(自动＋手工）可以采用如下方法（1）将部件分割为不同的区域。
（2）每个区域必须有可能只使用一种三维网格模式。
（3）寻找下述特点区域：大量生成区域、对称性区域、产生困难的区域。
（4）寻找大量不同区域和方法。
（5）注意什么样的二维网格模式被要求。
（6）观察周围区域：什么功能可以在那里使用。
（7）二维网格模式是否可以延伸到相邻区域中。
（8）寻找对网格模式不能处理位置进行网格划分的方法：如果这样做了，寻找网格可以触及的曲面；注意周围网格将与此模式相融合。
（9）小特征融入大特征中；大特征划分网格时必须考虑到小特征。
（10）注意网格模式。
3 解决策略壳体网格划分的主要策略如下（1）内部特征衔接外部特征：l 不能变成被限制的。
l 网格模式需要一个面流入以便它们可以停止l 从内到外划分网格可以避免此问题。
（2）小特征融入到大特征中：注意模式、大特征划分网格时必须考虑到小特征。
（3）硬特征应当先处理，否则它们会变得难于处理。
（4）通常情况下首先进行大量的生成，后面的编辑是比较容易的。
某些区域比较重要的网格划分的质量要求高些，如力的作用区域，边界条件所在的区域。
一些设计区域和离设计区域比较远的地方可以适当放宽要求，但是最好是一些网格性能指标要满足。
三角形网格生成算法的研究与应用
三角形网格生成算法的研究与应用一、引言三角网格是计算机图形学领域中最常见的图形表示方式之一。
三角形网格生成算法的出现为图形学在各个领域的应用提供了强有力的支持，如计算机辅助设计、数字娱乐、医学图像处理等等。
然而目前三角形网格的生成算法依然存在许多难点，本文将针对这些难点进行研究和分析，探讨三角形网格生成算法的研究与应用。
二、先进的三角形网格生成算法三角形网格生成算法主要分为离散型和连续型两种。
离散型算法主要是针对离散数据点进行分析和处理，是传统算法的核心。
而连续型算法则主要考虑通过合理的数值方法对连续函数进行求解得到三角形网格。
2.1 离散型算法离散型算法主要方法包括 Delaunay 三角剖分、Voronoi 图、alpha 参数、最小生成树等等。
Delaunay 三角剖分是三角形网格分割中最常见的算法之一。
该算法的核心思想是保持尽量少的单纯形边长相交。
Voronoi 图是一种基于点的分割方法，可以将平面分割成一系列多边形。
Alpha 参数是控制 Delaunay 三角剖分质量的措施之一，通过调整 alpha 参数，可以在不同场景下获得合适的 Delaunay 三角剖分。
最小生成树算法则是对点集进行聚类的一种方法，通常用于优化 Delaunay三角剖分的质量。
2.2 连续型算法连续型算法主要包括渐近线、等值线、样条曲面拟合、卷积核方法等等。
渐近线的求解方法主要是对三角形网格表面进行采样后，通过函数空间中的拟合逼近来求解渐近线。
等值线方法则是在网格表面中寻找等值线，从而实现扫描三角形网格的目的。
样条曲面拟合是利用拟合优化方法，对离散的三角形网格点进行拟合，得到连续的三角形网格。
卷积核方法则通过对三角形表面求导以及在线性空间中构建卷积核，从而求得三角形网格表面的连续性信息。
三、三角形网格生成算法在计算机图形学领域的应用三角形网格生成算法在计算机图形学领域的应用十分广泛，主要包括三维重构、曲面拟合、形状建模、虚拟现实等等。
第3章网格划分技术及技巧-图文
第3章网格划分技术及技巧-图文创建几何模型后，必须生成有限元模型才能分析计算，生成有限元模型的方法就是对几何模型进行网格划分，网格划分主要过程包括三个步骤：⑴定义单元属性单元属性包括单元类型、实常数、材料特性、单元坐标系和截面号等。
⑵定义网格控制选项★对几何图素边界划分网格的大小和数目进行设置；★没有固定的网格密度可供参考；★可通过评估结果来评价网格的密度是否合理。
⑶生成网格★执行网格划分，生成有限元模型；★可清除已经生成的网格并重新划分；★局部进行细化。
3.1定义单元属性3.1.1单元类型1.定义单元类型命令：ET,ITYPE,Ename,KOP1,KOP2,KOP3,KOP4,KOP5,KOP6,INOPRITYPE---用户定义的单元类型的参考号。
KOP1~KOP6---单元描述选项，此值在单元库中有明确的定义，可参考单元手册。
也可通过命令KEYOPT进行设置。
INOPR---如果此值为1则不输出该类单元的所有结果。
例如：et,1,link8!定义LINK8单元，其参考号为1；也可用ET,1,8定义et,3,beam4!定义BEAM4单元，其参考号为3；也可用ET,3,4定义2.单元类型的KEYOPT命令：KEYOPT,ITYPE,KNUM,VALUEITYPE---由ET命令定义的单元类型参考号。
KNUM---要定义的KEYOPT顺序号。
VALUE---KEYOPT值。
该命令可在定义单元类型后，分别设置各类单元的KEYOPT参数。
例如：et,1,beam4!定义BEAM4单元的参考号为1et,3,beam189!定义BEAM189单元的参考号为3keyopt,1,2,1!BEAM4单元考虑应力刚度时关闭一致切线刚度矩阵keyopt,3,1,1!考虑BEAM189的第7个自由度，即翘曲自由度!当然这些参数也可在ET命令中一并定义，如上述四条命令与下列两条命令等效：et,1,beam4,,1et,3,beam189,13.自由度集命令：DOF,Lab1,Lab2,Lab3,Lab4,Lab5,Lab6,Lab7,Lab8,Lab9,Lab104.改变单元类型命令：ETCHG,Cnv5.单元类型的删除与列表删除命令：ETDELE,ITYP1,ITYP2,INC列表命令：ETLIST,ITYP1,ITYP2,INC3.1.2实常数1.定义实常数命令：R,NSET,R1,R2,R3,R4,R5,R6续：RMORE,R7,R8,R9,R10,R11,R12NSET---实常数组号（任意），如果与既有组号相同，则覆盖既有组号定义的实常数。
基于三角形网格的几种典型细分曲面方法概述
基于三角形网格的几种典型细分曲面方法概述作者：石磊薛珊来源：《赤峰学院学报·自然科学版》 2013年第14期石磊1，薛珊2（1.郑州大学数学系；2.河南交通职业技术学院公共基础部，河南郑州 450000）摘要：简要介绍细分方法的发展概况，概述三种基于三角形网格的细分方法Loop细分、改进的蝶形细分及细分，说明三种细分方法产生新顶点的几何规则，并对三种方法的异同优劣进行了比较和分析，展望细分方法的发展前景.关键词：计算几何；细分曲面；Loop细分；改进的蝶形细分；细分中图分类号：O351.2文献标识码：A文章编号：1673-260X（2013）07-0013-02计算几何是函数逼近论、计算数学、代数几何、微分几何以及计算机科学等多门学科相互交叉所形成的一门几何学分支，是上世纪中叶现代计算机出现后，在计算机图形学、计算机辅助设计和制造、图像处理等应用驱动下形成，其主要工作是对几何外形信息的计算机表示、分析、综合，其研究成果广泛应用于计算机图形学、化学、统计分析、计算机辅助设计、工业产品外形设计和制造等许多领域.通过细分方法，可由任意拓扑网格构造光滑曲面.对给定的初始网格定义某种细分规则，在初始网格中不断插入新顶点进而产生一个网格序列，极限时该序列收敛于一条光滑曲线或一张光滑曲面.细分曲面即是通过对初始控制网格进行某种规则的细分生成新的控制网格，不断重复这一过程，控制网格的极限形式就是一张光滑的曲面，这是一个无穷细化的过程.1974年在美国Utah大学举行的CAGD国际会议上，Chaikin曲线快速生成算法被提出；Edwin Catmull和Jim Clark 、Daniel Doo和Malcom Sabin在1978年分别提出了一种具有里程碑意义的算法，标志着细分方法研究的真正开始；1987年，Loop于硕士论文中提出了一种基于三角形网格的逼近细分方法，即Loop细分方法；1990年Dyn等人提出了蝶形细分方法，但由于对初始控制网格的限制使其不能应用于任意网格，于是1996年Denis Zorin提出了改进的蝶形细分；1996年Leif Kobbelt提出一种基于四角网格的插值方法，对于规则网格即为四点法的张量积形式.之后还有2000年Kobbelt提出的细分Labisk提出的插值细分等等.本文就几种典型的基于三角形网格的细分曲面方法进行概述.1 Loop细分Charles Loop于1987年提出了一种基于三角形网格的细分方法，称为Loop细分方法.这是一种逼近型面分裂方法，在规则网格上生成Box样条曲面.在三角形网格的边上插入新顶点并两两相连，进而将三角形分裂成四个小三角形是其主要思想.每细分一次，三角形个数将增加为原来的四倍.如果将非三角形网格三角化，Loop细分方法也可推广到任意多边形网格.Loop细分计算新顶点的几何规则如下（如图1所示）：2 改进的蝶形细分蝶形细分算法，最初是由Dyn,Gregory和Levin提出的一种定义在三角网格上的细分方法, 但由于对初始控制网格的限制使其不能应用于任意三角形网格.于是Denis Zorin在此基础上提出了改进的蝶形细分方法，保证了在任意三角形网格上生成G1连续的曲面.这种方法的是将每个三角形面片分为四个的插值算法，新网格依然保留原网格的所有顶点.其细分模板与蝴蝶相似，因而得名.改进的蝶形细分顶点计算规则如下：（1）内部边的端点的度均为6时，参数选取如图2(a)所示；（2）内部边的一个端点的度为6而另一个度n不为6时，参数选取如图2(b)所示，其中3 细分如图3所示，（a）为三角形初始控制网格，（b）为对每个三角形面片插入新面点，（c）为细分一次的网格，（e）为细分两次之后的网格.对以上三种细分方法的比较:就网格类型来说，三种细分方法都是基于三角形网格的面分裂类型.4 小结细分方法具有任意拓扑适应性、表示的一致性、可伸缩性、数据稳定性、简洁高效性等一系列特点，使得其具有很强的发展前景和生命力.随着计算机技术的日益发展，细分技术在很多领域，如三维动画、计算机图形学、计算机辅助几何设计等的应用范畴更为广阔，但是也存在一些尚待解决的问题，如果能够解决，其应用前景将会更加广阔.参考文献：〔1〕李继，吴丽娟.曲面细分模式的分类研究[J].沈阳师范大学学报（自然科学版），2009（1）：54-58.〔2〕王金生，韩臻，施寅，尹直诺.几种经典网格细分算法的比较[J].计算机应用研究，2004（6）：139-141.〔3〕王仁宏，李崇君，朱春钢.计算几何教程[M].北京：科学出版社，2008.。
网格划分算法与原理的应用
网格划分算法与原理的应用1. 什么是网格划分算法？网格划分算法是一种将二维或三维空间划分为规则网格的算法。
它将空间划分为一系列的小格子，以便更好地处理和分析空间数据。
网格划分算法广泛应用于各种领域，包括计算机图形学、计算流体力学、计算机视觉等。
2. 网格划分算法的原理网格划分算法的原理是将空间划分为规则的网格单元，每个网格单元都包含一定的空间范围。
常见的网格划分算法有均匀网格划分算法、自适应网格划分算法和层次网格划分算法。
2.1 均匀网格划分算法均匀网格划分算法将空间均匀划分为相同大小的网格单元。
这种算法的优点是简单、高效，适合处理空间数据量较小、密度均匀的情况。
然而，在处理空间数据密度不均匀的情况下，均匀网格划分算法可能导致部分网格单元过于密集，而部分网格单元过于稀疏。
2.2 自适应网格划分算法自适应网格划分算法根据空间数据的密度进行动态调整，将网格单元划分为不同大小的区域。
当空间数据密度较大时，网格单元的大小会减小，以便更好地表示密集区域；当空间数据密度较小时，网格单元的大小会增大，以减少计算量和存储空间。
自适应网格划分算法可以更好地适应空间数据密度不均匀的情况，但算法复杂度较高。
2.3 层次网格划分算法层次网格划分算法将空间划分为多个层次的网格单元。
每个层次的网格单元都比上一层次的网格单元更粗糙，但包含的空间范围更广。
层次网格划分算法通过使用多个层次的网格单元，可以在处理大规模空间数据时，实现空间数据的快速查询和分析。
3. 网格划分算法的应用网格划分算法在许多领域都有广泛的应用，下面列举了部分应用场景：•计算机图形学：网格划分算法用于建立三维模型的网格结构，以便进行几何建模、光照计算和渲染等操作。
•计算流体力学：网格划分算法用于将计算域划分为网格单元，以便进行流体力学模拟和计算。
•计算机视觉：网格划分算法用于将图像或视频划分为网格单元，以便进行特征提取、目标检测和目标跟踪等任务。
•空间数据分析：网格划分算法用于将空间数据划分为网格单元，以便进行空间查询和分析。
三种经典网格细分算法的研究与分析
三种经典网格细分算法的研究与分析作者：王世江来源：《中小企业管理与科技》2009年第12期摘要：曲面造型方法由于其局部性好、计算量小、算法简中、响应速度高等优点已经广泛应用于计算机图形学、CAGD、计算机动画以及虚拟现实领域。
网格细分是一种离散造型方法.可以从数字化仪等设备直接获得数据。
介绍了近年来提出的一些细分算法对其中几种比较经典的算法进行了简中的分类和比较，论述了各自的适用范围。
关键词：细分逼近插值中图法分类号：TP391文献标识码：A0引言细分思想的产生可以追溯到二十世纪40年代末50年代初，当时G.de Rham使用“砍角算法”描述光滑曲线的生成。
细分曲线中常用的许多算法均是砍角算法。
1974年，Chaikin在研究曲线的快速绘制时把离散细分的概念引入到图形学界：1978年Catmnll和Clark…以及Doo和Sabinl21分别发表了一篇在图形学领域具有里程碑意义的论文，也就是图形学界推崇的Catmul—Clark算法和Doo—Sabin算法，标志着网格细分方法研究的真正开始：1987年，Loop 在他的硕士论文中提出了Loop细分策略，细分造型方法的实质是通过对初始控制点或者初始网格进行一系列的细化过程，细化的极限生成所需要的曲线或者曲面。
细分造型方法与传统样条、代数方法、变分造型等方法相比，在执行效率、任意拓扑结构、细分曲面特征以及复杂几何形状等方面都有其独特的优势。
1网格细分算法的分类及比较1.1概念与术语定义1对于四边形网格M中的任一顶点v，如果v为内部顶点且价不等于4或v为边界顶点且价不等于3或2，则称v为奇异顶点。
非奇异顶点称为正则顶点。
定义2权图(Masks)表示旧控制点计算新控制点规则的映射，其中新控制点在映射中用黑点表示，在每个旧控制点旁边的数字代表细分系数。
定义3奇点(0da Vertices)是在每一级细分中，按照某种细分规则所有新生成的点.在三角网格中，奇点也就是边点，实际上是将每条边的中点作为一个新点重新计算新的位置所得到的点.定义4偶点是在每一级细分中，所有从上一级控制点继承得到的点.定义5某项点的价(Valence)是指与该项点通过公共边相连的顶点个数.定义6在一个网格中，如果的一条边只属于一个面，称这条边为边界边(boundary edge)：如果一个顶点属于边界边则称此顶点为边界顶点(或边界点，boundary vertex)：至少包含一个边界顶点的面称为边界面(boundary face)。
三维网格分割的经典方法
三维网格分割的经典方法摘要：本文针对三维网格分割问题，提出一个经典的方法。
该方法基于微分几何和测地距离。
在算法中，将面片类型相同的顶点分割在一起。
测地距离利用顶点之间的最短路径表示，这里可以利用一些经典的算法求最短路径，如Dijkstra 算法。
但是当网格的数量很多时，Dijkstra 算法的效率很低。
因此，此算法避免了在整个网格上应用最短路径算法，在局部网格中求最短路径，从而减少了计算量。
本文在人造物体的三维网格模型以及分子结构中验证了该方法的有效性。
关键字：几何算法 面片分割 测地距离简介3D 物体的三维网格表示法具有很多的应用。
例如，在图像分析中，表示利用深度图像重建的物体表面。
此外，在复杂物体和场景的建模和可视化中也有广泛的应用。
在网格面片的分析中，网格分割已经成为一个关注的问题。
网格分割也就是将网格上相互接近并且具有相似曲率的顶点分成一组。
网格分割在很多方面具有重要的应用。
特征提取，模型匹配等。
Mangan 和Whitaker 提出三维网格分割的分水岭算法。
Razdan 和Bae 扩展了此算法，将基于点元（voxel-based ）和分水岭算法相结合，来分割三角网格。
这两种方法在分割中都需要计算整个曲率，然后在局部曲率最小处建立初始分割。
然而，在某些物体中，局部曲率的最小值是很难确定的。
因此，在这里提出一个初始分割的新方法。
在该算法中，应用基于面片的类型信息的网格区域增长方法，对顶点进行初始分割。
利用高斯曲率和平均曲率对顶点所在的面片进行分类。
这里利用离散微分几何计算高斯曲率和平均曲率。
通过本文提出的新方法来求得测地距离。
文章结构：第二部分，介绍网格面片的曲率分析和面片分类。
第三部分，详述本文的分割算法。
第四部分，实验以及其分割结果。
第五部分，结论。
2 面片分析在面片分析中，首先计算高斯曲率和平均曲率，然后利用它们进行面片分类。
顶点P 0的高斯曲率K 的计算公式如下：，A K θρ∆= ，∑-=∆i i 2θπθ ∑=ii A A ， A 为相邻三角形T i ( i =1，2，3，…)的面积总和。
网格局部细划分探讨
网格局部细划分探讨在网格划分的时候，有时候为了模拟方便和计算精度的提高，需要将局部网格细划分，而其余部分的网格粗分，这样可以减少单元数量，减少计算时间，提高精度。
网格局部细分主要分两步：第一步就是将网格单元粗划分，这个很简单，只要能划分出来网格就可以了。
这里就不多说了。
第二步才是网格局部细划分。
首先点击，然后进入新的窗口，点击。
可以找到最后一项，Mesh Density Windows，拉动滑块，修改其参数（但是修改多少，这里我也不清楚，不过只要你修改一点，Mesh Window就会变成黑色可选），然后Mesh window就会变成黑色可选，再点击Mesh window选项，进入局部网格划分界面。
点击Add按钮，添加一个局部划分区，并在Size Ratio to Elem Outside window选项内输入一个比例，为了网格细分的更明显，这里建议将这个数值填的更小点。
默认值为1，我一般将其修改为0.01，这个没有什么根据，只是经验而已。
希望有高手指点。
在显示区会出现这样的一个窗口。
其中的一行为局部细分区类型，第一个是长方体类型，第二个为圆柱体类型，第三个为环行柱类型。
第二行的作用就是修改区域的大小和位置，以及旋转区域。
第三行分别为编辑选择区，显示选择区，删除所选区。
其中区域大小的选择可以通过鼠标来操作，也可以通过编辑来实现。
鼠标操作方便但不精确，编辑操作精确但不方便。
选中局部划分区之后，点击退回到网格产生界面，选择生成网格。
这里以下图为例演示一个。
首先产生网格单元4000个，然后进入，修改中的Mesh Density Windows，将其值拖动到0.5（这里也没有什么根据不必效仿）。
再点击Mesh window，按照如下设置。
点击下图所示的长方体类型区域，在工件上点击一点，然后分别使用修改大小和修改位置，使长方体区域覆盖圆柱体的一端。
最后点击回到网格产生界面，再次点击，产生网格，效果如下图所示。
三重三角网格细分算法研究
ｃ ｒ ａｕ ｅ ａ ｏｉ ｓ ｏ ｒ ｓ ｏｎ ｉ ｇ ｔ ｅ ｔａ ｒ ｉ ａ ｙ ｅ ｔｃ ｓ ｕ ｖ ｔ ｒ ｓ ｔ ｐ ｎｔ ｃ ｒ ｅ ｐ ｄ ｎ ｏ ｘ ｒ ｏ ｄ ｎ ｒ ｖ ｒｉｅ ．Ｔｈ ｓ ｄｅ ｅ ｔ Ｃ ｅ ｉ ｆ ｃ ａ ｂｅ ｒ ｍｏｖ ｄ ｂ ｎ ｅ ｙ ｍａ ｉ ｕ ａ ｉ ｇ ｔ ｅｅ ｇ ｎｖ ｕｅ ｆｔ ｅ ｓ ｂ ｉ ｉｉ ｎ ｏ ｒ ｔ ｒｔ ｍｐ ｅａｂ ｎ ｅ ｕ ａ ｕ ｅ ｓ ｅ ｔｕ ｎ ｐ ｌ ｔｎ ｈ ｉ ｅ ａ ｓｏ ｕ ｄ ｖ ｓｏ ｐｅ ａｏ ｉ ｏｓ ｏｕ ｄ ｄ ｃ ｒ ｔ ｒ ｐ ｃｒ ｍ． ｌ ｈ ｏ ｖ
Ａｂ ｔ ａ ｔ ｔｎ ａ ｄ ｂ ｎ ｒ ｕ ｄ ｖ ｓ ｎ ｏ ｅ ａｏ ｓ ｍａ ｅ ｅ ａｅ ｓ ｒ ａ ｅ ｔ ｎ ｏ ｎ ｅ ｓ ｒ ｃ ：Ｓ ａ ｄ ｒ ｉ ａ ｙ ｓ ｂ ｉ ｉｉ ｐ ｒ ｔ ｒ ｙ ｇ ｎ ｒ ｔ ｕ ｆ ｃ ｓ ｗｉ ｕ ｂ ｕ ｄ ｄ ｏ ｈ
设计成能够维持 凸包的属性 。
关 键
词：计算机应用；细分曲面；样条；三角网格 ；离 散傅立叶变换
网格划分方法笔记
有限元网格生成方法正在发展。
要将众多研究者所用的纷繁的方法加以适当的分类，或将某一种具体方法准确地归入某一类，并不是一件容易的事。
本节从两个不同的角度对网格生成方法进行分类。
自动与半自动网格生成方法的综合分类二维网格生成方法先于三维网格生成而发展。
一些三维网格生成方法是二维方法的直接推广或受到二维方法的启发。
若将自动或半自动的网格生成方法综合起来，大体上可分成七种类型：1.网格平整法(Mesh Smoothing Approach)这一方法用来平整、改进已经生成的质量不好的初始网格，所采用的手段是拉普拉斯平整和参数平整。
2.拓扑分解法(Topology Decomposition Approach)将被剖分实体原本具有的顶点取为仅有的节点，然后将节点连成三角形（或四边形）单元，形成数量最少的三角形集合，这样形成的单元形状主要由被剖分实体的几何形状决定。
由于实体的复杂拓扑结构被分解成简单的三角形拓扑结构，因而这种方法称为拓扑分解法。
这样生成的网格只能是初始网格，必须采用网格细化技术改进网格质量。
3.节点连接法(Node Connection Approach)节点连接法研究在已知节点分布的情况下如何将这些节点连接起来，以构成在给定条件下形状最好的单元集合。
4.基于栅格的方法(Grid-Based Approach)这一方法利用一种栅格模板来生成网格，最初用于二维网格生成。
栅格模板是一种无限延伸的矩形或三角形网格。
将栅格模板重叠在被剖分的二维形体上，将落在形体外面的网格线移去，并对与物体边界相交的网格进行调整，以适合于物体的外形，这样做能够保证产生内部单元质量很好的网格。
这一方法已经推广到三维网格剖分。
图X07 单元映射法a)将物体分割成宏单元b) 网格模板映射到每个宏单元c) 构成最后的网格5.单元映射法(Mapped Element Approach)单元映射法并不是一种全自动的网格生成方法，它需要将一个任意的二维形体人工分割成三边或四边的区域，实际上这些区域是一些“宏单元”，每个区域必须再细分成供有限元分析用的单元。
基于行为的网格化客群细分方法研究及软件实现的开题报告
基于行为的网格化客群细分方法研究及软件实现的开题报告一、研究背景及意义当前，随着互联网技术的发展，大量的数据产生和积累。
如何对数据进行挖掘和分析，发现其中蕴含的价值成为了一个亟待解决的问题。
网格化客群细分是一种在互联网领域应用广泛的数据分析方法，它能将大数据分为不同的网格，从而更好地针对网格进行分类和分析，为企业决策提供重要的基础支撑。
然而，传统的网格化客群细分方法主要基于位置信息进行分析，难以精准地刻画用户行为。
随着用户行为数据的产生，基于行为的网格化客群细分方法逐渐受到关注。
这种方法利用用户的行为数据，如网页浏览记录、搜索词条、购买记录等作为分析对象，能更加准确地描绘用户的兴趣和需求，为企业提供更优质的服务和产品。
因此，本研究旨在基于行为的网格化客群细分方法，探究如何将用户行为数据进行有效分析，并设计一款实用的软件工具来实现这一目标。
二、研究内容及开展步骤本研究将分为以下几个步骤：1.研究行为数据处理方法：首先，本研究将对用户行为数据进行分类处理，筛选出与网格化客群细分相关的数据，如购买记录、搜索记录等，并对数据进行清洗和格式化处理。
2.设计相关算法：在数据处理方法的基础上，本研究将针对用户行为数据，设计一种基于行为的网格化客群细分算法。
该算法将会结合聚类算法和关联规则挖掘算法，从而更好地对用户行为进行细分和分析。
3. 实现软件工具：基于前面的理论研究和算法设计，本研究将设计并实现一款基于行为的网格化客群细分软件工具。
该工具将能够方便地对用户行为数据进行处理和分析，并在不同的网格中精准定位用户需求和兴趣。
4.进行实验验证：为了验证本研究的算法设计和软件实现的效果，本研究将选取相应数据集进行实验，通过评估实验结果，验证算法能够有效地实现基于行为的网格化客群细分的目标。
三、预期成果及创新点本研究的预期成果是设计并实现了一款基于行为的网格化客群细分软件工具，并且通过实验验证，证明该工具能够有效地对用户行为进行分析，达到精准定位用户需求和兴趣的目标。
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三种经典网格细分算法的研究与分析
摘要:曲面造型方法由于其局部性好、计算量小、算法简中、响应速度高等优点.
已经广泛应用于计算机图形学、CAGD、计算机动画以及虚拟现实领域。
网格细分是一种离散造型方法.可以从数字化仪等设备直接获得数据。
介绍了近年来提出的
一些细分算法.对其中几种比较经典的算法进行了简中的分类和比较，论述了各自
的适用范围。
关键词:细分逼近插值
中图法分类号:TP391 文献标识码:A
0 引言
细分思想的产生可以追溯到二十世纪40年代末50年代初，当时G. de Rham
使用“砍角算法”描述光滑曲线的生成。
细分曲线中常用的许多算法均是砍角算法。
1974年，Chaikin在研究曲线的快速绘制时把离散细分的概念引入到图形学
界:1978年Catmnll和Clark[1]以及Doo和Sabin[2]分别发表了一篇在图形学领域具有里程碑意义的论文，也就是图形学界推崇的Catmul- Clark算法和Doo -Sabin算法，标志着网格细分方法研究的真正开始:1987年，Loop在他的硕士论文中提出
了Loop[3]细分策略，细分造型方法的实质是通过对初始控制点或者初始网格进行一系列的细化过程，细化的极限生成所需要的曲线或者曲面。
细分造型方法与传
统样条、代数方法、变分造型等方法相比，在执行效率、任意拓扑结构、细分曲
面特征以及复杂几何形状等方面都有其独特的优势。
1 网格细分算法的分类及比较
1.1 概念与术语定义1 对于四边形网格M中的任一顶点v，如果v为内部顶
点且价不等于4或v为边界顶点且价不等于3 或2，则称v为奇异顶点。
非奇异
顶点称为正则顶点。
定义2 权图(Masks)表示旧控制点计算新控制点规则的映射，其中新控制点在
映射中用黑点表示，在每个旧控制点旁边的数字代表细分系数。
定义3 奇点(Odd Vertices)是在每一级细分中，按照某种细分规则所有新生成
的点.在三角网格中，奇点也就是边点，实际上是将每条边的中点作为一个新点重
新计算新的位置所得到的点.
定义4 偶点是在每一级细分中，所有从上一级控制点继承得到的点.
定义5 某顶点的价(Valence)是指与该顶点通过公共边相连的顶点个数.
定义6 在一个网格中，如果的一条边只属于一个面，称这条边为边界边(boundary edge):如果一个顶点属于边界边则称此顶点为边界顶点(或边界点，boundary vertex):至少包含一个边界顶点的面称为边界面(boundary face)。
非边界
的边、顶点和面分别称为内部边(internal edge)、内部顶点(internal vertex)和内部
面(internal face)
1.2 细分算法的分类一般情况卜，对几何网格细分算法的分类包括以下四个标
准:①生成网格的类型(三角网格和四角网格)；②细分规则的类型(面分裂和点分裂)；③算法是逼近型还是插值型；④规则曲面的极限曲面光滑性(C1，C2等)。
在现有的典型细分算法中，面分裂的细分方法，实际上就是一种1- 4的细分
策略，对于三角网格，在每一次细分过程中，保留每个三角网格中所有旧控制点
的同时，在网格的每条边上插入新点并两两相连，然后与旧控制点一起得到四个
新的三角网格；对于四角网格，除了在网格的每条边上插入新点外，还需要在网
格中间另外插入一个新点并与另外四条边上的新点相连，从而得到四个新的四角
网格。
点分裂细分方法则是一种1-N的细分策略，N为该点的Valence，每个顶点将分裂为N个新顶点，然后按照一定的规则将新顶点重新连接组成新的网格。
1.3 几种经典细分算法的介绍与比较在细分算法中比较具有代表性的包括
Loop算法、Doo- Sabin算法以及Catmull- Clark算法下面对这几种细分算法分别介
绍并进行比较。
1.3.1 Loop算法 Loop细分算法是Loop于1987年在其硕士论文中提出的一种
逼近型三角形面分裂细分算法。
它是基于B样条的一种策略，应用于规则网格时
可以产生C2连续的曲面，在非正规点处则可达到C1连续。
Loop细分策略的权图如图1所示，其中图1(a)为内部的奇点，图1 (b)为内部的偶点，图1(c)为边界或
褶皱上的奇点，图1(d)为边界或褶皱上的偶点。
显然对边界与褶皱采用特殊的规
则实际上产生的是一条三次样条曲线。
1.3.2 Catmull-Clark(C-C)算法 C-C算法是一种基于张量积双三次样条的逼近型四边形面分裂细分策略，该策略除了在非正规点处仅C1连续外可以达到处处C2连续，其细分规则源于双三次B样条的细分权图
利用权A可以得到和旧控制网格中每个点相对应的新控制点；权B则生成对
应于每条边的新点；而权C生成的新点与控制网格中的每个面相对应。
这三种新
生成的点分别称为V(Vertex)型点，E(Edge)型点和F(Face)型点。
显然，V型点是Odd点，E型点和F型点是Even点，F型点为其控制多边形的质心；E型点则取
该边端点以及两个相邻多边形质心的平均值；V型点的计算相对复杂，它取决于
该点的Valence，而边界与褶皱上的细分规则与Loop格式相同，图3是Catmull-Clark算法的权图。
1.3.3 Doo-Sabin算法该算法从概念与原理上在几种细分算法中最简单，它是
一种基于四边形的点分裂细分策略，仅使用一个权图就可以定义该策略.Doo-Sabin算法实际上是从Chaikin快速曲线生成算法的思想推广而来的一种生成光滑
曲面的方法，生成的曲面可以达到C1 连续. 从细分规则可以看出，细分后顶点的
度均为4，非四边形而的个数是细分前非四边形的个数加定点度不为4的顶点数，且在细分过程中，始终保持不变。
此外，细分在极限情形时，某个原始多边形的
细分极限趋向于该原始多边形的中心，所以极限曲面插值于多边形的中心，利用
这个性质可以在产品设计中用来控制细分的极限曲面。
2 结束语
上面介绍了三种经典细分算法的概念、光滑性以及细分规则，它们都是基于
常规格式的细分算法，其中Loop格式是基于几何三角网格的，Catmnll-Clark和Doo-Sabin算法是基于四角网格的细分方法，对于Loop格式、以及Catmnll-Clark
两种面分裂细分算法，在算法的实现过程中需要以某个面为单位进行递归细分，
其关键是根据算法的细分规则为每个面上各个点建立有序邻接表，但是有序邻接
表的构造比较复杂，而且在细分的实现过程中会出现重复绘制的情况，因此这种
通过有序邻接表来实现递归细分的方法效率不高，Doo-Sabin细分算法是一种点
分裂细分策略，能够有效地将逼近算法和插值算法结合起来发挥两者的优势是一
个不错的选择，这也将是我们今后的一个研究重点。
参考文献：
[1]Catmull E， Clark J. Recursively Generated B-Spline Surfaces on Arbitrary Topological Meshes [J].Computer Aided Design， 1978，10(6):350-355.
[2]Doo D， Sabin M. Analysis of the Behaviour of Recursive Division Surfaces Near Extraordinary [J].ComputerAidedDesign，1978， 10(6):356-360.
[3]Loop C.Smooth Subdivision Surfaces Based on Triangles [D].University of Utah, Department of Mathematics,1987.33-54.。