数学解题中的变换——反演方法

特别 地 ， ｃ ＝ （ ：１ ２ … ， ） ， 为 著 名 的均 值 当 ｉ ，， ｒ 时 即 ｇ
不 等 式 二 ≥
、
要广 泛得 多 ， 能 是算 子 ， 可 能 是 各 种替 换 等 ． 可 也 下 面我 们 通 过 例 子 来 更 好 地 理 解 这 一 方法 ．
例 １ 求 定 椭 圆 内接 三 角 形 的 最 大 面积 ． 解 设 椭 圆 长 轴 为 ２ ， 轴 为 ２ ． 长 轴 方 向 进 行 长 ｏ短 ６对
Ｉ ∑ ｃ ≥∑ （ｌｉ ｎ （ ） ｃｎ ） ｘ ．
其 中 ， 表 示 原 问 题 关 系 结 构 或 原 像 关 系结 构 ， 表 示 Ｍ Ⅳ
其中， 与 ｃ 都大于 且 ∑ Ｃ １ 。 零， ｉ． ＝
映像 关 系结 构 ， 表 示 到 Ⅳ 的变 换 或 映 射 ，
表示 的 映 像 ， 即
０
■＿ ＿ （。 都大于零） ．
本例 所确 定 的 未知 目标 是 大 小 关 系 ， 序 ． 现 了 未 知 即 体 目标 的 抽 象性 ， 不 限 于 我 们 通 常 了 解 的 数量 ． 并 例 ３ 已知 ａ ＋ ａ ａ ｌ 其 中 ａ ＝ａ ：１ 求 数 列 的 ＝ ＋ ， ｏ ．
表 示 的
逆变 换 或 的反 演 ， 表示 原像 关 系 结 构 中 的 未 知 目标 ， ＝ （ ． 比上 述 变 换 必 须 有 所 要 ） 对
而 ∑ （ｌ ） ｃ ＝∑ （ ） ｌ ｎ ‘ ｎ Ｉ； ＝ （ ：， ｎ‘ ｎ ）
所以 ∑ Ｃｉ ｉ≥Ⅱ ； ． Ｘ ‘ 得证
Ｉ ｌ ｌ ｌ ：
求， 即 在 ｐ下 的 映像 Ⅳ能 通 过 较 简 便 的 数 学 手 段 确 定 出 映像 目标 ， 且 的反 演 切 实 可 行 ， ＝妒 （ ） 易 求 即 容
解． 里 要 强 调 的是 ： 换 有 别 于 通 常 的 函数 ， 的 意 义 这 变 它
例２ 证明 等 ∑ ｃ。 不 式 ≥Ｈ ‘ ； ， ｉ 都大 其中Ｃ 与
于 且 ∑ Ｃ＝． 零， ｉ１
便 易求 ， 将 变 换 后 问 题 的解 通 过 逻 辑 反 演 （ 逆 变 换 ） 再 或 以
求 出原 问题 的解 ． 就是 数 学 中 的 变 换 反 演 方 法 ， 的 结 构 这 它 模 式 如 下 图所 示 ：
通 项 ａ．
∞
．
度压 缩变 换 ： 缩 系数 ｋ＝ ， 此 变 换 下 ， 圆 变 成 半 径 压 在 椭 为 ｂ的圆 ， 圆 内接 三 角 形 对 应 地 变 成 圆 内接 三 角 形 ； 于 椭 由
解 这里引 级数变换 ｛ ｝１ ∑ ａ ‘ 入幂 ，。 ＿ ＿ ｉ． 显然呆知目 标为｛ ｝在变 下，（） ｎ， 换 Ｆ ＝∑ ａ‘ ｉ为
而Ｆ ） （ ＝∑ ｔｔ １ ￣ ＝ ＋ ＋∑ ａ ｉ Ｘ 。
ｉ＝ ｏ ｉ＝ ２
＝＋ １ ＋∑ （。 一 、一 … 口 ‘ 。 ）
ｉ ２ ＝
６ ｓ ‘ ＝ ２ …： ÷ 扣 ，内接三角形
Ｆ（ ）＝＿ —
”
＝
一
伸 缩 变换 是仿 射 变 换 的 特 例 ， 用 仿 射 变 换 下 的 最 简 利
图 形 的性 质 ， 获 得 与 之 仿 射 等 价 的 图形 结 论 ， 是 变 换 反 去 正 演 方 法 的 具 体 应用 ． 似 地 ， 求 得 椭 球 面 内接 长 方 体 的最 类 可
证 现 要 的 ∑ ｃ ｎ ‘ 的 小 明 在 导出 是 与 之间 大
关 系 ， 关 系 就 是 我 们 的 未 知 目标 ， 这 里 我 们 引 入 对 数 变 此 在
换 ｌ， ｎ 因为 它 是 增 函 数 ， 会 改 变 原 有 问 题 的 大 小 关 系 ； 不 同 时 自然对 数 又 是 凸 函数 ， 有 不 等式 故
ｉ＝ ０
比较 系 数 ， ａ 得
／ ｚ＝０， ２， １，
＝
（ ” （
”
一
。 】 ，
２１ ．９ ００ １
大 积 ： ６． 体 ｆ 学。１ Ｖ …
数 学 学 习与 研 究
解 题 技 巧 与方 法
麝 ●
．
●
．
．．Ｉ ． ＿． ， ．
用‘ ‘ 类似＂ 巧解推理题
＝ ＋ ∑ 。 １ ＋
１
＋ ∑ｎ
＝１＋ｘ ）＋ Ｆ（ ， Ｆ（ ）
所以Ｆ ＝ ＿ ． （ ） ＿—ｌ
利 用 分 项 分 式 法 ， 易 求 得 ， ）＝－—ｌ 的 幂 级 数 容 （ 一
展 开 式 为
本 例 虽然 可 以用 《 等数 学》 拉 格 朗 日乘 数 法 进 行 最 高 中 值的求解 ， 不如变换反演方法来得简明 、 观． 但 直
●
解 题 技 巧 与 方 法
． 。
● 尊
．Ｉ ． －， ．
●
数学解题中的变换
◎ 沈 荣 泸 （ 州 职 业技 术 学 院 泸
反演方法
６６ ０ ４ ０ ５）
为 了确 定 某 些 关 系 结 构 比 较 复 杂 的 数 学 问 题 ， 以 通 可 过数 学 对 象 之 间 的 对 应 来 引 入 变 换 ， 得 变 换 后 的 问 题 简 使
其 映 像．
经过 长度 压 缩 变 换 后 ， 图形 与 变 换 后 图形 的 面 积 比不 变 ， 原
，
所以有÷ ＝， ｂ ． 仃ａｏ ｌ ｒ
其中 ， ｓ为椭 圆 内 接 三 角 形 面 积 （ 知 目标 ） ａ ｂ为 椭 未 ，ａ ｘ
圆 面 积 ； 变换 后 对 应 圆 内接 三 角 形 面 积 ，ｒ Ｓ为 ， 为 对 应 圆 ｒ ｂ 面 积． 证 ： 圆 内 接 三 角 形 中 以 内 接 正 三 角 形 面 积 最 大 ， 易 在