医学影像图像重建
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回去，得到各个反投影图像gθ(x)
g (r ) (r cos( ))
再将各个方向上的反投影相加
b(r )
g
(r )
1
0
(r
c os (
))
求得各个方向上的反投影累加b(r)
❖ 重建步骤：
求出各方向上的投影
求得对应的反投影累计
进行傅里叶变换
用滤波窗卷积的办法进行滤波
解析法重建
反傅里叶变换
❖ 雷当变换是CT成像的数学基础
g(s,
y’ s
µ(x,y)
y
x’
I I 0e L mx ,y dl
g
ln
I0 I
(Signal)
未知衰减系数
x g s , m x ,y dl
Ls ,
函数μ(x,y) 的Radon变换g(s,)定义为: 沿y-轴倾斜角度为, 距原点距离为 s的直线的线积分
X-CT系统结构框图
❖ 断层摄影图像的获取
X-射线的指数衰减－比尔定律
Ni
No
m
x
N o Niemx
Ni: X-线的输入强度 No: X-线的输出强度 m: X-线的衰减系数
假设有许多各种不同的均质小体（体积元）组成的某一物体， 当一束X线从物体的一侧进入，再从另一侧穿出，则有
Ni
No m1 m2 m3
❖ N0和Ni可用探测器测得，由此可以计算出路径L 上衰减系数的线积分，经过多次探测就可以获得 整个面的无穷多个线积分，从而可以精确无误地 确定该物质面的衰减系数的二维分布。
❖ 因为物质的衰减系数与物质的质量密度直接相关， 故衰减系数的二维分布也可以体现为密度的二维 分布，由此转换成的断面图像能够表示其结构关 系和物质组成，从而达到CT成像的目的。
❖ 经过简单的处理，即可得到CT的raw data
Raw data：原始数据，在当前临床应用中，所有CT机 的原始数据均必须满足DICOM标准
❖ 投影
φ0
Φθ（x）
λθ（x）
出射X线
准直器
被测物
投影板
（ x）
ln
0
m dr
l
λθ（x）即为某方向上μ（r）的投影
❖ 反投影
单凭一个方向上的投影无法唯一确定某一片层的衰减 分布，需要将多个方向上的投影再沿着原直线反投影
N N e ( m1 m2 m3 )x
o
i
x
X-rays
中部衰减更多
X-线衰减的线程和
Ni
x 线程和 Ray-sum
mk
源自文库 mk x No Nie k
No
线积分 Line integral
k
mk x
ln
Ni No
m(x)dx
ln
Ni
No
射线路径L上衰减系数μ(x, y) 的线积分等于射线入射强 度N0 与出射强度Ni 之比的自然对数
投影和Sinogram
投影（Projection）: 某个方向上的所有线程和
g(s,) y s
Sinogram:正弦图 反映所有投影数据
❖ 比尔定律是CT成像的物理基础
雷当(Radon)变换
❖ 1917年，丹麦数学家雷当(J.Radon) 为CT技术建立了 数学理论基础。他从数学上证明了：某种物理参量的二 维分布函数由该函数在其定义域内的所有线积分完全确 定
❖ 该研究结果的意义在于：只要能知道一个未知二维分布 函数的所有线积分，那么就能够求得该二维分布函数， 所谓获得CT断层图象，就是求取能够反映断层内部结 构和组成的某种物理参量的二维分布，因此CT机的任 务就是求取能够反映被检测断层内部结构组成的物理参 量二维分布函数的线积分
❖FBP法：先在频率空间对投影数据进行滤波，再将滤 波后的投影数据反投影得到重建断层图像
❖滤波器选为斜坡函数和某一窗函数的乘积，窗函数用 于控制噪声，其形状权衡着统计噪声和空间分辨。常 用的窗函数有Hanning窗，Hamming窗， Butterworth窗以及Shepp-Logan窗
迭代法—利用近似重建比较、差值迭代法实
现
▪ 在每一次迭代过程中，将近似重建得到的图像的投影 同实测的投影进行比较，然后将比较得到的差值反投 到图像上，每一次反投影之后得到一幅新的近似图像
▪ 当对所有的投影方向都进行上述处理后，一次迭代便 完成，用前一次迭代的结果作为下一次迭代的初始值， 继续上述步骤
▪ 直到做了一定次数的迭代后，认为迭代的结果已经足 够准确，则重建过程结束
重建分类
❖二维图像重建
一个物体的多个轴向投影图重建目标图像
❖三维物体重建
由物体的图像重建三维物体模型
❖ 以X-CT所代表的图像重建技术的工作流程
数据采集
❖通过对断层进行扫描来实现；
图像重建
❖根据数学原理对采集到的数据按某种算法，求解人体 各个组织的衰减系数在断层面上的分布；
图像显示
❖将衰减分布用数字图像的方式进行显示
得到各个点的衰减系数值，再归一化为灰度值进 行显示
重建方法
❖ 解析法--目前CT图像重建技术中应用最广泛 的方法，基础是傅立叶变换
❖解析法以中心切片定理(Central Slice Theorem)为理 论基础，常用的一种解析法称为滤波反投影法 (Filtered Back-Projection，FBP)
第四章
医学影像图像重建
❖ 图像重建( Image Reconstruction)
根据对场景的投影数据获取场景中物质分布的信息
根据物体某一剖面的一组多个方向的投影图来重建物体 该剖面
在X-CT中，重建指通过数学方法获得人体不同组织对X 线的吸收系数μ，当各个位置像素的μ值被求出，即掌握 了该处组织的性质，再进一步将各个单元的μ值转换成 不同灰度，将体层各组织的状态在屏幕上显示出来
举例：
12
99
12
A D
B E
C F
6 15
0o
C A
D B
E F
12
9
60o
A B
F C
E D
12
9
120o
A 1
B
2
C 3
D
4
E 5
F 6
B
6
A
C
F
D
E
15
0o 得6
15
60o 120o 12 12 99
❖ 每进行一次扫描，X线束将沿某一方向进行投影，从 而得到一个断层面上各个体元的线积分。假设将一
个断层分为m*n个体元，则有m个方程，m*n个参数
m11
m12
m1n
1 x
ln
No Ni1
m21
m22
m2n
1 x
ln
No Ni2
注意：仅仅是一 个方向上的投影 方程组
mm1
mm2
mmn
1 x
ln
No Nim
❖ 当射线源与探测器旋转一个角度时，即得到另一 个方向上的m个方程
❖ 当射线源旋转一周后，即可得到各个体元在各个 方向上的投影数值
g (r ) (r cos( ))
再将各个方向上的反投影相加
b(r )
g
(r )
1
0
(r
c os (
))
求得各个方向上的反投影累加b(r)
❖ 重建步骤：
求出各方向上的投影
求得对应的反投影累计
进行傅里叶变换
用滤波窗卷积的办法进行滤波
解析法重建
反傅里叶变换
❖ 雷当变换是CT成像的数学基础
g(s,
y’ s
µ(x,y)
y
x’
I I 0e L mx ,y dl
g
ln
I0 I
(Signal)
未知衰减系数
x g s , m x ,y dl
Ls ,
函数μ(x,y) 的Radon变换g(s,)定义为: 沿y-轴倾斜角度为, 距原点距离为 s的直线的线积分
X-CT系统结构框图
❖ 断层摄影图像的获取
X-射线的指数衰减－比尔定律
Ni
No
m
x
N o Niemx
Ni: X-线的输入强度 No: X-线的输出强度 m: X-线的衰减系数
假设有许多各种不同的均质小体（体积元）组成的某一物体， 当一束X线从物体的一侧进入，再从另一侧穿出，则有
Ni
No m1 m2 m3
❖ N0和Ni可用探测器测得，由此可以计算出路径L 上衰减系数的线积分，经过多次探测就可以获得 整个面的无穷多个线积分，从而可以精确无误地 确定该物质面的衰减系数的二维分布。
❖ 因为物质的衰减系数与物质的质量密度直接相关， 故衰减系数的二维分布也可以体现为密度的二维 分布，由此转换成的断面图像能够表示其结构关 系和物质组成，从而达到CT成像的目的。
❖ 经过简单的处理，即可得到CT的raw data
Raw data：原始数据，在当前临床应用中，所有CT机 的原始数据均必须满足DICOM标准
❖ 投影
φ0
Φθ（x）
λθ（x）
出射X线
准直器
被测物
投影板
（ x）
ln
0
m dr
l
λθ（x）即为某方向上μ（r）的投影
❖ 反投影
单凭一个方向上的投影无法唯一确定某一片层的衰减 分布，需要将多个方向上的投影再沿着原直线反投影
N N e ( m1 m2 m3 )x
o
i
x
X-rays
中部衰减更多
X-线衰减的线程和
Ni
x 线程和 Ray-sum
mk
源自文库 mk x No Nie k
No
线积分 Line integral
k
mk x
ln
Ni No
m(x)dx
ln
Ni
No
射线路径L上衰减系数μ(x, y) 的线积分等于射线入射强 度N0 与出射强度Ni 之比的自然对数
投影和Sinogram
投影（Projection）: 某个方向上的所有线程和
g(s,) y s
Sinogram:正弦图 反映所有投影数据
❖ 比尔定律是CT成像的物理基础
雷当(Radon)变换
❖ 1917年，丹麦数学家雷当(J.Radon) 为CT技术建立了 数学理论基础。他从数学上证明了：某种物理参量的二 维分布函数由该函数在其定义域内的所有线积分完全确 定
❖ 该研究结果的意义在于：只要能知道一个未知二维分布 函数的所有线积分，那么就能够求得该二维分布函数， 所谓获得CT断层图象，就是求取能够反映断层内部结 构和组成的某种物理参量的二维分布，因此CT机的任 务就是求取能够反映被检测断层内部结构组成的物理参 量二维分布函数的线积分
❖FBP法：先在频率空间对投影数据进行滤波，再将滤 波后的投影数据反投影得到重建断层图像
❖滤波器选为斜坡函数和某一窗函数的乘积，窗函数用 于控制噪声，其形状权衡着统计噪声和空间分辨。常 用的窗函数有Hanning窗，Hamming窗， Butterworth窗以及Shepp-Logan窗
迭代法—利用近似重建比较、差值迭代法实
现
▪ 在每一次迭代过程中，将近似重建得到的图像的投影 同实测的投影进行比较，然后将比较得到的差值反投 到图像上，每一次反投影之后得到一幅新的近似图像
▪ 当对所有的投影方向都进行上述处理后，一次迭代便 完成，用前一次迭代的结果作为下一次迭代的初始值， 继续上述步骤
▪ 直到做了一定次数的迭代后，认为迭代的结果已经足 够准确，则重建过程结束
重建分类
❖二维图像重建
一个物体的多个轴向投影图重建目标图像
❖三维物体重建
由物体的图像重建三维物体模型
❖ 以X-CT所代表的图像重建技术的工作流程
数据采集
❖通过对断层进行扫描来实现；
图像重建
❖根据数学原理对采集到的数据按某种算法，求解人体 各个组织的衰减系数在断层面上的分布；
图像显示
❖将衰减分布用数字图像的方式进行显示
得到各个点的衰减系数值，再归一化为灰度值进 行显示
重建方法
❖ 解析法--目前CT图像重建技术中应用最广泛 的方法，基础是傅立叶变换
❖解析法以中心切片定理(Central Slice Theorem)为理 论基础，常用的一种解析法称为滤波反投影法 (Filtered Back-Projection，FBP)
第四章
医学影像图像重建
❖ 图像重建( Image Reconstruction)
根据对场景的投影数据获取场景中物质分布的信息
根据物体某一剖面的一组多个方向的投影图来重建物体 该剖面
在X-CT中，重建指通过数学方法获得人体不同组织对X 线的吸收系数μ，当各个位置像素的μ值被求出，即掌握 了该处组织的性质，再进一步将各个单元的μ值转换成 不同灰度，将体层各组织的状态在屏幕上显示出来
举例：
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A D
B E
C F
6 15
0o
C A
D B
E F
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A B
F C
E D
12
9
120o
A 1
B
2
C 3
D
4
E 5
F 6
B
6
A
C
F
D
E
15
0o 得6
15
60o 120o 12 12 99
❖ 每进行一次扫描，X线束将沿某一方向进行投影，从 而得到一个断层面上各个体元的线积分。假设将一
个断层分为m*n个体元，则有m个方程，m*n个参数
m11
m12
m1n
1 x
ln
No Ni1
m21
m22
m2n
1 x
ln
No Ni2
注意：仅仅是一 个方向上的投影 方程组
mm1
mm2
mmn
1 x
ln
No Nim
❖ 当射线源与探测器旋转一个角度时，即得到另一 个方向上的m个方程
❖ 当射线源旋转一周后，即可得到各个体元在各个 方向上的投影数值