逆矩阵的概念
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2.4.1逆矩阵的概念
学习目标：
1、通过具体的图形变换，理解逆矩阵的意义并掌握二阶矩阵存在逆矩阵的条件；通过具体的投影变换，说明它所对应矩阵的逆矩阵不存在；
2、会证明逆矩阵的唯一性和1
1
1
)(---=B A AB 等简单性质，并了解其在变换中的意义； 3、会从几何变换的角度求出AB 的逆矩阵；
4、会用逆矩阵的知识解释二阶矩阵的乘法何时满足消去律。 活动过程：
活动一：逆矩阵的意义
背景：二阶矩阵对应着平面上的一个几何变换，它把点),(y x 变换到点),(y x ''。反过来，
如果已知变换后的结果),(y x ''，能不能“找到回家的路（逆变换）”，让它变回原来的),(y x 呢？
问题：对于下列给出的变换对应的矩阵A ，是否存在变换矩阵B ，使得连续进行两次变换（先
T A 后T B ）的结果与恒等变换的结果相同？ （1）以x 为反射轴的反射变换；
（2）绕原点逆时针旋转60º作旋转变换；
（3）横坐标不变，沿y 轴方向将纵坐标拉伸为原来的2倍作伸压变换； （4）沿y 轴方向，向x 轴作投影变换；
（5）纵坐标y 不变，横坐标依纵坐标的比例增加，且满足（x ，y ）→（x ＋2y ，y ）作
切变变换。
思考：通过上述问题可以得到一个什么结论？
结论：1、逆变换的含义：
2、逆矩阵的定义：
注：通常记可逆矩阵A 的逆矩阵为1
-A 。
活动二：逆矩阵的简单性质
例1 证明：若二阶矩阵A 存在逆矩阵B ，则逆矩阵是惟一的。
思考：对于任意的二阶矩阵M 满足什么条件时，它是可逆的？
例2 证明：若二阶矩阵A 、B 均存在逆矩阵，则AB 也存在逆矩阵，且1
11)(---=B A AB 。
并从几何变换的角度给予解释。
活动三：逆矩阵的求解
例3：从几何变换的观点判断下列矩阵是否存在逆矩阵，若存在，请把它求出来；若不存在，
请说明理由。
（1）A=01⎡⎢⎣ 10⎤⎥⎦； （2）B ＝1
20
⎡⎢⎢⎣ 01⎤⎥⎦； （3）C ＝01⎡⎢⎣ -10⎤⎥⎦； （4）D ＝1
1⎡⎢⎣
00⎤⎥⎦
例4：求矩阵A ＝5
7
⎡⎢⎣ 13⎤⎥⎦
的逆矩阵
变式训练：求二阶矩阵A ＝)0(≠-⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡bc ad d c b a 的逆矩阵
例5：已知A ＝1
⎡⎢⎣
02⎤⎥⎦，B ＝10
⎡⎢⎢⎢⎣ 121⎤
⎥⎥⎦，求矩阵AB 的逆矩阵。
例6 证明：已知A 、B 、C 为二阶矩阵，且AB=AC ，若矩阵A 存在逆矩阵，则B=C 。
思考：如果二阶矩阵A 存在逆矩阵，且BA=CA ，那么B=C 一定成立吗？
活动四：课堂小结与自主检测
1、从几何变换的观点判断下列矩阵是否存在逆矩阵，若存在，请把它求出来；若不存在，请说明理由。
（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1001A ；（2）⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-=1001B ；（3）⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣
⎡-=232
12123C （4）⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0001D ；（5）⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1011E ；（6）⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=1002F
2、已知⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡=4321A ，试求出1
-A 。
3、求出矩阵AB 的逆矩阵：
（1）⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=1004A ，⎥⎦⎤⎢⎣
⎡=21001B ；
（2）⎥⎦⎤
⎢⎣⎡--=1001A ，⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣
⎡-
=2
12
32
321B .
4、已知可逆矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=372a A 的可逆矩阵⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--=-a b A 721
，求a ，b 。