量子力学 第三章3.6算符与力学量的关系

=
(2a 0 ) 3 / 2 (p 2 a 0 2 ) 2
2
此式仅与 的大小有关，而与 的方向无关 p p 2 于是动量的几率密度分布为：(p) C p
8a 0 5 (p 2 a 0 2 ) 4 2
2
3
所以氢原子处于基态时，电子动量的绝对值在p p dp 范围内 的几率为：
（动量算符的本征值组成连续谱）展开，即： ( rdp 100 ( r ) C p p )
几率振幅：C ( r ) 100 ( r ) d
p
p
100 ( r ) 而
则：C p
1 a
0 0
3 0

e
r a0
p r 1 e ；p 3/ 2 (2)
说明：
C n ( x )dx ①展开系数 n
以 ( x ) 左乘 ( x ) C n n ( x ) ，且对x的整个区域积 m 分有
m
n
( x) ( x) dx Cn n (x)dx m
n
Cn (x)n (x)dx Cn mn Cm
n
设 ( x ) 为归一化的波函数，则根据 n ( x ) 是正 交归一化的完全函数系，有：
1 (x) (x)dx Cmm Cn n dx
m n
Cm Cn m n dx Cm Cn m,n C n



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2
m,n
ˆ F n C n ( x )F ( x )dx
2 n
dx 1 ) (假定
ˆ ( x )dx 代入完全性 证明： ( x )F

ˆ C m m F C n n dx
m n
C
m

m
Cn
n

ˆ dx 本征方程 mF n
n
C 其中： n n dx ； C dx ；
C
n
2
2
2 n
C d 1 ；
2
C n 为在 ( x ) 态中测 F 得 n 的几率；
C d 为在 ( x ) 态中测 F 得 d 在范围内的
几率；
平均值公式： F
即：C ( x ) ( x )dx
(同理可得二、三维的结果)
可见： 力学量在一般的状态中没有确定值， 而有许多可能值， 这些可能值就是表示这个力学量算符的本征值的集合， 且每 个可能值都以确定的几率出现。
三、平均值公式 在 ( x ) 所描写的状态中，F 在 ( x )态的统计平均 值（由几率求平均值）为

n
n
C n C d ；
2
2
说明：当 C n 0 时为连续谱情况；C 0 时为分立
谱的情况； C n 0 ，C 0 时为一般情况。
例题：求氢原子处于基态时，电子动量的几率分布。 解：体系处于 100 ( r ) 态，将100 ( r ) 按动量算符的本征函数 p
2. 完全性：
对应的本征值为 1、 2 … n …，则任一函数 ( x ) 可以 按 n ( x ) 展为级数：
( x ) C n n ( x )
n
（1）
式中 C n 是与x无关的展开系数。我们称本征函数 n ( x ) 的这种性质为完全性，或者说 n ( x ) 组成完全系。
i p r
i

0

2
1 e 3/ 2 (2 )
1 a 3 0

e
r a0
r 2 dr sin dd
选 z 轴沿 p 的方向
1 1 则： C p ( 2 ) 3 / 2 1 / 2 a 0 3 / 2
1 = 2 (2a 0 ) 3 / 2
m,n
n
即：
C
n
2 n
1
2
因左边是总几率，所以 C n
有几率的意义。
ˆ 例：若 ( x )是算符 F 的一个本征态，例如 ( x ) i (x)
则： ( x ) Cn n i (x)
n
§3.1的假定2 Ci 1, n i ( Ci 2 1) Cn ni 0, 2 按假设2，在该态中测得 F i 的几率是 C i 1 ，

正交归一
C m C n m n n dx
m n
m n dx C m C n n
n m

C m C n n m,n
n m
Cn n
2 n
( x ) C n n ( x )
n
ˆ 说明：a.当 F 的本征值构成连续谱时，F 为：（假

0
1
1
r 2e


r a0
e
i prx
drdx
i i


0
r 2e

r a0
pr pr 1 [e e ]dr dr ipr /


0
r[e
r i pr a0
e

r i pr a0
]dr
2i p(2a 0 ) 3 / 2
2i p( 2a 0 ) 3 / 2
其中 C n 也可由（2）式求得。 由此特例同样可以看出 C n 具有几率的意义，即 C n
2 2
ˆ 表示了在 ( x ) 态中测量力学量 F 得到的结果是 F 的本
征值 n 的几率，于是称 C n 为几率振幅。
二、基本假设（力学量与算符的关系）
ˆ 假设3：在 (x ) C n n (x )（ n 是 F 的本征函数）
本征值方程

' C ' C ' dx ] dd
' C' C ' dd
正交归一



函数的性质

C


C d C d
2
b. 以上证明中假定 ( x ) 已正交归一化，对没有正交
归一化的波函数：
一、厄米算符的本征函数的完全性 1.复习§3.1的两个假定
假定1：量子力学中的每个力学量用一个线性厄米算 符表示。
ˆ 假定2：算符 F 的本征值集合即是测量体系力学量F ˆ 可能得到的所有量值；体系处在 F 的属于本
征值 n 的本征态 n 时，测力学量 F ，得到
确定值 n 。
ˆ ˆ 但是在任意态 中（非 F 的本征态），此时 F 与
C d ，且 C ( x ) ( x )dx 。
2
基本假设的正确性同薛定谔 方程一样，由整个理论与实 验结果符合而得到验证。
解释：


'
( x) ( x)dx
C

'
( x) ( x)ddx

C d ' ( x ) ( x )dx C d ( ' ) C'
描写的态中，测量体系的力学量 F 得到 n 的几率 是 C n ，其中 C n n dx 。 综合假设1-3，可得一个基本假定（基本原理）， 即量子力学中关于力学量与算符关系的基本假设：
2
n


ˆ 量子力学中表示力学量的算符 F 都是线性厄米算符，它们
的本征函数组成正交归一的完全系 n ；当体系处于波函数
1 i 4 p 3 a0 4 8 a0 3/ 2 2 2 1 p 2 (2a 0 ) (p 2 a 0 2 ) 2 ( 2 2) a0
2i p( 2a 0 ) 3 / 2
(2a 0 ) 3 1 (2a 0 ) 3 / 2 (p 2 a 0 2 2 ) 2

0

1
2

1 0
e
r a0
e
i pr cos
r 2 drd cosd

0
1
2
1 0
e
r a0
e
i prx
r 2 drdxd
（积分次序是先对 ，再 x ，再对 r ）
2 (2a 0 ) 3 / 2
2 ( 2a 0 ) 3 / 2 2i p(2a 0 ) 3 / 2
代表的力学量的 F 关系如何？这需引进新的假设，适 合于一般情况，且不能与假定2相抵触，应包含它。
ˆ (1)F的 n 平方可积 ˆ 若 F 是满足一定条件 (2)F的 级数收敛 的厄米算符， ˆ n 且它的正交归一的本征函数系 1 (x)、 2 ( x) … n ( x ) …
( x ) C n n ( x ) 所描述的状态时， 测量力学量 F 所得数值必
n
完 全 性 关 系
ˆ 须是 F 的本征值 n 之一，且测得 n 的几率是 C n 。
2
ˆ 若 F 的本征值 为连续谱， 则由本征函数的完全性， 在任意
的 态 C d 中 ， 测 得 F 的 值 在 d 的 几 率 是
m n
即： C n ( x )dx
n
（2）
②表示力学量的算符是厄米算符，不管它是否满足 完全性关系要求的条件，都可以直接将数学上证明 过的定理拿来就用，即假定力学量算符本征函数的 正交归一系具有完全性。
3. 展开系数 C n 的物理含义：
2
( x ) C n n ( x )
定 已归一）
ˆ F C d Fdx
2
ˆ 证明： F dx

C d


ˆ [( C ' ' d' )F （ C d )]dx
' ˆ = C ' C [ ' F dx ] dd
[ re
0

(
1 i p)r a0
dr
(


(
0
re
1 i p) r a0
dr ]
[
(
1 1 i 2 p) a0
1 1 i 2 p) a0
]
2i p(2a 0 ) 3 / 2
1 i 2 1 i 2 ( p) ( p) a a0 ] [ 0 2 1 p 2 ( 2 2) a0
F
ˆ ( x )F( x )dx



( x )( x )dx


n n
n
Cn
2 n
2
C
C C

2 2
d
d
四、推广
ˆ 若 F 的本征值的组成中既有分立谱又有连续谱，
则以上结果可表示为：
完全性关系： ( x ) C n n C d
dW ( p) ( p)dp C p 2
32 5 p 2 dp 4p 2 dp ( ) a0 2 ( 2 p2 )4 a0
注：利用公式


0
x 2 dx 2 4 32 (1 x )
可证： (p)d3p 1
0