4本构关系

称
0 0 0 0 c55
对
x y z 0 xy yz 0 zx c55 0 0 0
横观各向同性材料，其独立的弹性常数为5个；
工程上一般用两个弹性模量（Exy、 Ez ），两个泊松比 （xy、 z）和一个切变模量（G）表示。 地层、层状岩体、复合板材等可简化为横观各向同性弹性 材料。
正交各向异性材料，其独立的弹性常数为9个；正应变仅 产生正应力，切应变仅产生切应力。 工程上一般用三个弹性模量（Ex、 Ey 、 Ez ），三个泊松 比（Poisson）（xy、 yz、 zx）和三个切变模量（Gxy、 Gyz、 Gzx）表示。 煤、木材、增强纤维复合材料等可简化为正交各向异性弹 性体。
对 称
1 c22 c33 , c44 c66 , c55 c22 c23 2
0 0 0 0 1 c11 c12 2
x y z 0 xy yz 0 zx 1 c11 c12 2 0 0 0
四. 各向同性材料
在横观各向同性的基础上，将 z 轴反向，考察其反向前后 的应力应变关系可得
所以，各向同性材料的广义胡克定律可表示为
c11 x y z xy yz zx c12 c11 c12 c12 c11 0 0 0 1 c11 c12 2
各向同性材料独立的弹性常数只有2个
§4-3 各向同性线弹性材料的物理方程
一. 广义胡克定律的基本形式
对于各向同性材料的广义胡克定律表达式，展开
x c11 x c12 y z y c11 y c12 z x z c11 z c12 x y
如果材料的 ij f (ij ) 呈单值连续关系（不一定线性），则 称为柯西（Cauchy）弹性材料（一般意义上的弹性）。
呈线性单值连续关系的材料性质称为线弹性。 在柯西弹性的基础上附加等温绝热的外部环境条件，使 ij f ( ij ) 有势函数存在，则这种弹性性质又称为超弹性。 可以证明线弹性一定是超弹性。
m、n ij、kl 1 11 2 22 3 33 4 12 5 23 6 31
如，c22 c2222 ， c56 c2331 广义胡克定律的一般形式最广泛地描述了材料的线弹性性 质，但未能描述物体外部环境条件和内部物理特征。
§4-2 线弹性体的本构关系
如果材料在变形过程中处于等温绝热过程。 根据热力学第一定律和相应数学推导， ij f ij 有势， 其势函数U0(ij) 为物体单位体积的变形能（应变能）。
1 c11 c12 xy 2 1 yz c11 c12 yz 2 1 zx c11 c12 zx 2
xy
令 则 张量形式
1 c12 G c11 c12 2 x 2G x xy G xy
c12 c12
c13 c13
c14 c14
c15 c15
c16 c16
c15 c16 0
横观各向异性材料的广义胡克定律可表示为
x c11 c12 c13 c22 c23 y c33 z xy 对 yz 称 zx c14 c24 c34 c44 0 0 0 0 c55 x y z 0 xy c56 yz c66 zx 0 0 0
x
O
P (x, y, z)
y
将 x 轴反向，仿前分析步骤可得
c14 c16 c24 c26 c34 c36 c46 c56 0
将 y 轴反向，不产生新的结果。
综合之，正交各向异性材料的广义胡克定律可表示为
x c11 c12 c13 c22 c23 y c33 z xy 对 yz 称 zx 0 0 0 c44 0 0 0 0 c55 x y z 0 xy 0 yz c66 zx 0 0 0
第四章
本构关系
§4-1 物体的弹性性质和广义胡克定律 §4-2 线弹性材料的本构关系 §4-3 各向同性线弹性材料的物理方程
§4-1 物体的弹性性质· 广义Hooke定律
一. 弹性的概念
一般情况下，物体的应力与应变呈某一函数关系，可表示为： ij f ij 应力与应变张量均为六个独立分量。则 x f1 x , y , z , xy , yz , zx
x z z P (x, y, zz ))
弹性对称面
O
y
在新坐标下，由于弹性对称，应力应变关系保持不变 C 但P点坐标和应力应变分量发生变化
x y z
两坐标系三轴的方向余弦为
x
y x
1
0 0
0
1 0
0
0 -1
由坐标变换 代入上式 由 比较得
x y z xy x y z xy
1 c11 c22 , c55 c66 , c13 c23 , c44 c11 c12 2
所以，横观各向同性材料的广义胡克定律可表示为
x y z xy yz zx c11 c12 c11 c13 c13 c33 0 0 0 1 c11 c12 2
c12 c21 c15 c51 c56 c65
即
cmn cnm

x c11 c12 c22 y z xy 对 yz zx
c13 c23 c33
称
c14 c24 c34 c44
y c21 x c22 y c23 z c24 xy c25 yz c26 zx z c31 x c32 y c33 z c34 xy c35 yz c36 zx xy c41 x c42 y c43 z c44 xy c45 yz c46 zx yz c51 x c52 y c53 z c54 xy c55 yz c56 zx zx c61 x c62 y c63 z c64 xy c65 yz c66 zx
即
矩阵表示形式： 其中
C
、 ——分别称为应力和应变列阵 C ——称为弹性矩阵。其元素cmn为36个
ij cijkl kl
张量表示形式：
其中 cijkl ——称为弹性常数，共81个系数，
因 ij 、 ij 各六个独立， cijkl 缩减为36个独立的常数。 cmn和cijkl 的下标对应关系：
横观各向异性材料，其独立的弹性常数为13个；正应变会 产生切应力，切应变也会产生正应力 工程上，单斜晶体（如正长石）可简化为横观各向异性弹 性体。
二. 正交各向异性材料
z
具有三个相互垂直弹性对 称面的材料称为正交各向异性 材料。 设三个弹性对称面分别为 Oxy、Oyz和Ozx平面，材料沿 x、 y、 z 三方向弹性性质各异。
弹性对称
弹性体中每一点均有一个对 称方向，在这些对称方向上弹性 性质相同，即应力应变关系不变。 称为弹性对称。
向
弹性主轴
弹性对称方向
相应的对称方向和对称面称为弹性对称方向和弹性对称面。 垂直于弹性对称面的方向称为弹性主轴。
一. 横观各向异性材料
仅具有一个弹性对称面的材料称为横观各向异性材料。 设Oxy平面为材料的弹性对称面，z轴为弹性主轴。 体内一点P(x, y, z)的应力和应变 为{ } 和{ }。则 C 其中[C]为各向异性的弹性矩阵 现将z轴反向，考 察其本构关系
y f 2 x , y , z , xy , yz , zx z f3 x , y , z , xy , yz , zx xy f 4 x , y , z , xy , yz , zx yz f5 x , y , z , xy , yz , zx zx f 6 x , y , z , xy , yz , zx
yz yz
zx zx
T
Tຫໍສະໝຸດ Baidu
C
C C
c15 c16 c25 c26 c35 c36 c45 c46 0
例如比较 [C] 和 [C] 中的第一行
c1n c11 c1n c11
三. 横观各向同性材料
设体内每一点存在一轴（z轴），在 与此轴垂直的平面（Oxy）内，所有射线 方向的弹性性质均相同。 称该平面为各 向同性面。
z z

y
y

x x
具有各向同性面，且各各向同性 面相互平行（或具有弹性对称轴）的 物体，称为横观各向同性材料。
O
在正交各向异性的基础上，按相似分析步骤， 设 xy 平面 旋转前后应力应变关系不变，比较其 绕 z 轴旋转任意角度 ， 弹性常数可得
二. 广义胡克（Hooke）定律
受材料在单向拉伸试验时弹性阶段的应力与应变呈线性关 系（胡克定律）的启发， 线弹性材料在复杂应力状态下其应力 张量与应变张量亦呈线性关系。 称为广义胡克定律的一般形式 x c11 x c12 y c13 z c14 xy c15 yz c16 zx
c15 c25 c35 c45 c55
c16 x c26 y c36 z c46 xy c56 yz c66 zx
弹性矩阵为对 称矩阵，共有21个 独立的弹性常数
广义胡克定律的上述形式表征的是各向异性材料的本构关系。 弹性主轴 弹 如果材料具有弹性对称面， 性 则本构关系还可简化，使弹性常 对 称 数进一步缩减。 方
U 0 ij ij
—— Green公式
U 0 U 0 U 0 U 0 U 0 U 0 x , y , z , xy , yz , zx x y z xy yz zx
由
同理
x U 0 c12 y x y y U 0 c21 x x y c13 c31 c14 c41