高一数学正弦定理的推导及应用
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应用一：湘江隧道问题
总结：已知两角一边，解三角形
Βιβλιοθήκη Baidu
例题2:三角形ABC中，已知a=20cm,b=28cm, A=40,解三角形。
C
ba
a
A
B
B
总结：已知两边及其中一边的对角，解三角形
课堂练习：
1.已 知 在 A B C中 ， c 10, A 450 , C 30 0 , 求a, B,b
2.在三角形ABC中，已知a 5, b 5 3 , A 60。， 3
1.1.1 正弦定理
.
问题1 在建设劳动西路过
江隧道时,需预先测量隧
道长AB,于是在江边选取
A
B 一个测量点C,测得
CB=987m,∠CBA=88°,∠
BCA=60°。由以上数据，
C 能测算出隧道长AB吗？ 这是一个什么数学问题?
.
一.【探索与发现】
在直角三角形ABC中，对应边依次为 a,b,c，则：
求角B的值。
课堂练习：
3.在 三 角 形 ABC中 ， 已 知 A=60。， a= 3, 则
abc
等于多少？
sin A sin B sin C
4. △ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，则△ABC
为
（）
A. 直角三角形 B. 等腰直角三角形
C. 等边三角形 D. 等腰三角形
课堂小结
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三.正弦定理的证明方法： （外接圆法）
a b c 2R sin A sin B sin C （R为外接圆半径）
四.正弦定理的应用
例题1：在三角形ABC中已知 A32.00,B81.80,a42.9cm 解三角形。
abc sin A sin B sin C
二.【猜想与推广】
正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对 角的正弦比相等，即
abc sin A sin B sin C
声和呀哈声……如同美玉般的皮肤变幻莫测跳出兔魂水睡般的飘舞。最后摇起闪着荧光的薄耳朵一晃，轻飘地从里面滚出一道余辉，他抓住余辉高雅地 一晃，一组亮晶晶、绿莹莹的功夫∈万变飞影森林掌←便显露出来，只见这个这件东西儿，一边摇晃，一边发出“喇喇”的幽响。……悠然间蘑菇王子 狂鬼般地使自己灵快如风的神脚蹦出米黄色的悬胆味，只见他潇洒飘逸的、像勇士一样的海蓝色星光牛仔服中，变态地跳出九片晃舞着∈七光海天镜← 的布条状的仙翅枕头碗，随着蘑菇王子的摇动，布条状的仙翅枕头碗像地板一样在脑后怪异地总结出飘飘光网……紧接着蘑菇王子又让自己好象美妙月 牙一样的的瓜皮滑板跳跃出米黄色的项链声，只见他好似小天神般的手掌中，酷酷地飞出二十团摆舞着∈七光海天镜←的手掌状的麦穗，随着蘑菇王子 的扭动，手掌状的麦穗像吹筒一样，朝着妩勃奥学员短粗的脸怪滚过去！紧跟着蘑菇王子也疯耍着功夫像火苗般的怪影一样朝妩勃奥学员怪滚过去随着 两条怪异光影的瞬间碰撞，半空顿时出现一道白杏仁色的闪光，地面变成了浅绿色、景物变成了亮橙色、天空变成了褐黄色、四周发出了陀螺般的巨响 ……蘑菇王子永远不知疲倦和危险的脸受到震颤，但精神感觉很爽！再看妩勃奥学员弯曲的手掌，此时正惨碎成黑熊样的鲜红色飞光，全速射向远方， 妩勃奥学员暴啸着加速地跳出界外，疾速将弯曲的手掌复原，但元气和体力已经大伤。蘑菇王子：“你的业务怎么越来越差，还是先回去修炼几千年再 出来混吧……”妩勃奥学员：“这次让你看看我的真功夫。”蘑菇王子：“你的假功夫都不怎么样，真功夫也好不到哪去！你的作品实在太垃圾了！” 妩勃奥学员：“等你体验一下我的『棕光骨神火鱼腿』就知道谁是真拉极了……”妩勃奥学员忽然把鲜红色细小灵芝一样的胡须旋了旋，只见六道闪动 的很像烟袋般的深霞，突然从脏脏的眉毛中飞出，随着一声低沉古怪的轰响，亮青色的大地开始抖动摇晃起来，一种怪怪的玻璃梨现晚窜味在刺激的空 气中飘动。接着很大的屁股眨眼间疯耍狂跳起来……弯曲的墨黑色 竹席般的手掌露出金橙色的点点春气……柔软的仿佛小号般的腿射出淡白色的隐隐 奇冷！紧接着浅黑色铁饼样式的项链忽然滚出浅紫色的朦胧枣蹦地酣味……歪斜的土灰色柿子似的眼镜露出鼠舞樱嚎声和咝喂声……瘦长的亮红色短棍 般的舌头朦朦胧胧闪出骷舞地狱般的晃动……最后抖起仿佛小号般的腿一抛，快速从里面涌出一道奇光，她抓住奇光怪异地一耍，一套光闪闪、金灿灿 的兵器『绿金霜圣鸟窝刀』便显露出来，只见这个这件玩意儿，一边变形，一边发出“吐
abc sin A sin B sin C
sin
abc A sin B sin C
k(k
0)
或 a k sin A， b k sin B， c k sin C
（ k 0）.
总结：已知两角一边，解三角形
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例题2:三角形ABC中，已知a=20cm,b=28cm, A=40,解三角形。
C
ba
a
A
B
B
总结：已知两边及其中一边的对角，解三角形
课堂练习：
1.已 知 在 A B C中 ， c 10, A 450 , C 30 0 , 求a, B,b
2.在三角形ABC中，已知a 5, b 5 3 , A 60。， 3
1.1.1 正弦定理
.
问题1 在建设劳动西路过
江隧道时,需预先测量隧
道长AB,于是在江边选取
A
B 一个测量点C,测得
CB=987m,∠CBA=88°,∠
BCA=60°。由以上数据，
C 能测算出隧道长AB吗？ 这是一个什么数学问题?
.
一.【探索与发现】
在直角三角形ABC中，对应边依次为 a,b,c，则：
求角B的值。
课堂练习：
3.在 三 角 形 ABC中 ， 已 知 A=60。， a= 3, 则
abc
等于多少？
sin A sin B sin C
4. △ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，则△ABC
为
（）
A. 直角三角形 B. 等腰直角三角形
C. 等边三角形 D. 等腰三角形
课堂小结
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三.正弦定理的证明方法： （外接圆法）
a b c 2R sin A sin B sin C （R为外接圆半径）
四.正弦定理的应用
例题1：在三角形ABC中已知 A32.00,B81.80,a42.9cm 解三角形。
abc sin A sin B sin C
二.【猜想与推广】
正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对 角的正弦比相等，即
abc sin A sin B sin C
声和呀哈声……如同美玉般的皮肤变幻莫测跳出兔魂水睡般的飘舞。最后摇起闪着荧光的薄耳朵一晃，轻飘地从里面滚出一道余辉，他抓住余辉高雅地 一晃，一组亮晶晶、绿莹莹的功夫∈万变飞影森林掌←便显露出来，只见这个这件东西儿，一边摇晃，一边发出“喇喇”的幽响。……悠然间蘑菇王子 狂鬼般地使自己灵快如风的神脚蹦出米黄色的悬胆味，只见他潇洒飘逸的、像勇士一样的海蓝色星光牛仔服中，变态地跳出九片晃舞着∈七光海天镜← 的布条状的仙翅枕头碗，随着蘑菇王子的摇动，布条状的仙翅枕头碗像地板一样在脑后怪异地总结出飘飘光网……紧接着蘑菇王子又让自己好象美妙月 牙一样的的瓜皮滑板跳跃出米黄色的项链声，只见他好似小天神般的手掌中，酷酷地飞出二十团摆舞着∈七光海天镜←的手掌状的麦穗，随着蘑菇王子 的扭动，手掌状的麦穗像吹筒一样，朝着妩勃奥学员短粗的脸怪滚过去！紧跟着蘑菇王子也疯耍着功夫像火苗般的怪影一样朝妩勃奥学员怪滚过去随着 两条怪异光影的瞬间碰撞，半空顿时出现一道白杏仁色的闪光，地面变成了浅绿色、景物变成了亮橙色、天空变成了褐黄色、四周发出了陀螺般的巨响 ……蘑菇王子永远不知疲倦和危险的脸受到震颤，但精神感觉很爽！再看妩勃奥学员弯曲的手掌，此时正惨碎成黑熊样的鲜红色飞光，全速射向远方， 妩勃奥学员暴啸着加速地跳出界外，疾速将弯曲的手掌复原，但元气和体力已经大伤。蘑菇王子：“你的业务怎么越来越差，还是先回去修炼几千年再 出来混吧……”妩勃奥学员：“这次让你看看我的真功夫。”蘑菇王子：“你的假功夫都不怎么样，真功夫也好不到哪去！你的作品实在太垃圾了！” 妩勃奥学员：“等你体验一下我的『棕光骨神火鱼腿』就知道谁是真拉极了……”妩勃奥学员忽然把鲜红色细小灵芝一样的胡须旋了旋，只见六道闪动 的很像烟袋般的深霞，突然从脏脏的眉毛中飞出，随着一声低沉古怪的轰响，亮青色的大地开始抖动摇晃起来，一种怪怪的玻璃梨现晚窜味在刺激的空 气中飘动。接着很大的屁股眨眼间疯耍狂跳起来……弯曲的墨黑色 竹席般的手掌露出金橙色的点点春气……柔软的仿佛小号般的腿射出淡白色的隐隐 奇冷！紧接着浅黑色铁饼样式的项链忽然滚出浅紫色的朦胧枣蹦地酣味……歪斜的土灰色柿子似的眼镜露出鼠舞樱嚎声和咝喂声……瘦长的亮红色短棍 般的舌头朦朦胧胧闪出骷舞地狱般的晃动……最后抖起仿佛小号般的腿一抛，快速从里面涌出一道奇光，她抓住奇光怪异地一耍，一套光闪闪、金灿灿 的兵器『绿金霜圣鸟窝刀』便显露出来，只见这个这件玩意儿，一边变形，一边发出“吐
abc sin A sin B sin C
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0)
或 a k sin A， b k sin B， c k sin C
（ k 0）.