第52讲互斥事件的概率条件概率与相互独立事件的概率
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新课标高中一轮总复习
理数
第七单元
计算原理、概率与统计
第52讲
互斥事件的概率、条件概 率与相互独立事件的概率
1. 了解互斥事件的概率、两个互斥 事件的概率加法公式，能利用此公式求 有关事件的概率. 2. 了解条件概率和相互独立事件同 时发生的概率，理解 n 次独立重复试验 的模型及二项分布.
1.已知事件A、B的概率都大于零,那么( C ) A.如果A与B互斥，则与也互斥
3.互斥事件的概率加法公式 设A、B 是两个事件，A+B表示这样的事件， 如果在一次试验中A或B中至少有一个发生就表 示该事件发生. 当A与B为互斥事件时,P(A+B)=③P(A)+P(B). 一 般 的 , 若 A1,A2 ， …,An 彼 此 互 斥 , 则 有 P(A1+A2+…+An)=④ P(A1)+P(A2)+…+P(An) . 4.条件概率 设 A 、 B 为 两 个 事 件 , 且 P(A)>0, 称 P(A B) ⑤ P(B|A)＝ P ( A ) .为在事件A发生的条件下,事 件B发生的条件概率.
4 9
7
Байду номын сангаас4 9
题型二 条件概率
例2在 100 件产品中有 95 件合格品， 5 件
不合格品.现从中不放回地取两次，每次 任取一件.试求： (1)第一次取到不合格品的概率；
5.相互独立事件 ⑥ 事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生 . 的概率没有影响 ，这样的两个事件叫做相 互独立事件. 6.相互独立事件同时发生的概率 两个相互独立事件同时发生的概率，等 于 每 个 事 件 发 生 的 概 率 的 积 ， 即 P(A· B)= P(B) .一般的,如果事件A1、A2、…、 ⑦ P(A)· An 相 互 独 立 , 则 有 P(A1· A2· …· An)= P(A2)·…·P(An). ⑧ P(A1)·
2
3 第一次抽到选择题的概率为 5 , 2 1 则第二次抽到选择题的概率为 ＝ . 4 2
1.互斥事件 ① 不可能同时发生的两个事件 ,叫做 互斥事件. 如果事件 A1 ， A2 ， … ， An 中的任何 两个都是互斥事件，那么就说A1，A2，…， An彼此互斥. 2.对立事件 如果两个互斥事件在一次试验中必 然有一个发生 , 那么这样的两个互斥事件 叫做② 对立事件 .通常事件A的对立事件 记作,且有P(A)+P( A )=1.
点评 在求某些稍复杂的事件的概率
小球中取出一个，记下它上面的数字，放回 并搅动，再取出一球，记下它上面的数字， 若两个数字之和大于11或两个数字之积小于 11就能中奖，问中奖的概率是多少？
变式 从标有 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 的 7 个
从7个小球中有放回地两次取球，两个数 6 字之和大于11的概率是 4 9 ，两个数字之积小于 2 1 3 . 如果是不放 11的概率是 = , 因为两个数字之和大于 11与 点评本题是有放回地取球 4 9 7 回地取球，则可用数对标记列举出来 . 两个数字之积小于 11是两个互斥事件，所以中 3 6 2 7 奖的概率为 + = .
典例精讲
题型一 互斥事件的概率 例1 一个口袋里共有7个白球4个红球，现
在一次取出三个球，则这三个球中至少有 一个红球的概率是多少？
（方法一）记“三个球中至少有一个 红球”为事件A，“三个球中恰有一个红球” 为事件 A1 ，“三个球中有两个红球”为事件 A2 ， “ 三 个 球 全 是 红 球 ” 为 事 件 A3 ， 则 A=A1+A2+A3, 且 这 三 个 事 件 两 两 互 斥 , 故 得 P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)= 的对立事件，则P A(
4.在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发 生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率, 则事件A在一次试验中发生的概率p的取值 ［0.4,1) . 范围是 依题意,得 C 41 p· (1-p)3≤ C 42 p2(1-p)2,
解得p≥0.4.又p<1,故0.4≤p<1.
5. 有 3 道选择题和 2 道填空题 , 如果依次不放 回地抽取2道,则在第一次抽到选择题的条 1 件下,第二次抽到选择题的概率为 .
C 73 )= C 13 1
2 6 3 3
1 2 2 1 3 C C C C C 4 7 4 7 4 3 3 3 C C C 1 1 1 1 1 1
=
2 6 3 3
.
(方法二)记“三个球全是白球”为事件,且是A
= 33
7
,
故得P(A)=1-P( A )=
.
时通常有两种方法：一是将所求事件 的概率化成一些彼此互斥的事件的概 率的和；二是先求出此事件的对立事 件的概率.
7.独立重复试验 若n次重复试验中,⑨ 每次试验结果的概率. 都不依赖于其他各次试验的结果 , 则 称 这 n 次 试 验是独立的. 8.n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 如果在一次试验中某事件发生的概率是 p, 那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k k pk(1-p)n-k P ( k )= C n 次的概率是⑩ n . 如果设 q=1-p, 则 Pn(k) 就是 (p+q)n 的展开式 k 中 的 第 (k+1) 项 , 故 Pn(k)= C n pk(1-p)n-k 也 叫 做 11 二项分布公式 .
B.如果A、B不是相互独立事件，那么它们 一定是互斥事件 C.如果A、B是相互独立事件，那么它们一 定不是互斥事件
D.如果A+B是必然事件，那么它们一定是 对立事件
2.甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是 ,
甲获胜的概率是 1 3
,则甲不输的概率是
5 6
1 2
.
3.甲、乙两人独立解同一道题,甲解决这道题的 概率是0.7,乙解决这道题的概率为0.8,那么恰 有一人解决这一道题的概率是( B ) A.0.56 B.0.38 C.0.44 D.0.94 只有甲解决这道题的概率为0.7×(1-0.8) =0.14; 只 有 乙 解 决 这 道 题 的 概 率 为 0.8×(10.7)=0.24.故恰有一人解决这一问题的概率为 0.１4+0.24=0.38,选B.
理数
第七单元
计算原理、概率与统计
第52讲
互斥事件的概率、条件概 率与相互独立事件的概率
1. 了解互斥事件的概率、两个互斥 事件的概率加法公式，能利用此公式求 有关事件的概率. 2. 了解条件概率和相互独立事件同 时发生的概率，理解 n 次独立重复试验 的模型及二项分布.
1.已知事件A、B的概率都大于零,那么( C ) A.如果A与B互斥，则与也互斥
3.互斥事件的概率加法公式 设A、B 是两个事件，A+B表示这样的事件， 如果在一次试验中A或B中至少有一个发生就表 示该事件发生. 当A与B为互斥事件时,P(A+B)=③P(A)+P(B). 一 般 的 , 若 A1,A2 ， …,An 彼 此 互 斥 , 则 有 P(A1+A2+…+An)=④ P(A1)+P(A2)+…+P(An) . 4.条件概率 设 A 、 B 为 两 个 事 件 , 且 P(A)>0, 称 P(A B) ⑤ P(B|A)＝ P ( A ) .为在事件A发生的条件下,事 件B发生的条件概率.
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Байду номын сангаас4 9
题型二 条件概率
例2在 100 件产品中有 95 件合格品， 5 件
不合格品.现从中不放回地取两次，每次 任取一件.试求： (1)第一次取到不合格品的概率；
5.相互独立事件 ⑥ 事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生 . 的概率没有影响 ，这样的两个事件叫做相 互独立事件. 6.相互独立事件同时发生的概率 两个相互独立事件同时发生的概率，等 于 每 个 事 件 发 生 的 概 率 的 积 ， 即 P(A· B)= P(B) .一般的,如果事件A1、A2、…、 ⑦ P(A)· An 相 互 独 立 , 则 有 P(A1· A2· …· An)= P(A2)·…·P(An). ⑧ P(A1)·
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3 第一次抽到选择题的概率为 5 , 2 1 则第二次抽到选择题的概率为 ＝ . 4 2
1.互斥事件 ① 不可能同时发生的两个事件 ,叫做 互斥事件. 如果事件 A1 ， A2 ， … ， An 中的任何 两个都是互斥事件，那么就说A1，A2，…， An彼此互斥. 2.对立事件 如果两个互斥事件在一次试验中必 然有一个发生 , 那么这样的两个互斥事件 叫做② 对立事件 .通常事件A的对立事件 记作,且有P(A)+P( A )=1.
点评 在求某些稍复杂的事件的概率
小球中取出一个，记下它上面的数字，放回 并搅动，再取出一球，记下它上面的数字， 若两个数字之和大于11或两个数字之积小于 11就能中奖，问中奖的概率是多少？
变式 从标有 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 的 7 个
从7个小球中有放回地两次取球，两个数 6 字之和大于11的概率是 4 9 ，两个数字之积小于 2 1 3 . 如果是不放 11的概率是 = , 因为两个数字之和大于 11与 点评本题是有放回地取球 4 9 7 回地取球，则可用数对标记列举出来 . 两个数字之积小于 11是两个互斥事件，所以中 3 6 2 7 奖的概率为 + = .
典例精讲
题型一 互斥事件的概率 例1 一个口袋里共有7个白球4个红球，现
在一次取出三个球，则这三个球中至少有 一个红球的概率是多少？
（方法一）记“三个球中至少有一个 红球”为事件A，“三个球中恰有一个红球” 为事件 A1 ，“三个球中有两个红球”为事件 A2 ， “ 三 个 球 全 是 红 球 ” 为 事 件 A3 ， 则 A=A1+A2+A3, 且 这 三 个 事 件 两 两 互 斥 , 故 得 P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)= 的对立事件，则P A(
4.在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发 生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率, 则事件A在一次试验中发生的概率p的取值 ［0.4,1) . 范围是 依题意,得 C 41 p· (1-p)3≤ C 42 p2(1-p)2,
解得p≥0.4.又p<1,故0.4≤p<1.
5. 有 3 道选择题和 2 道填空题 , 如果依次不放 回地抽取2道,则在第一次抽到选择题的条 1 件下,第二次抽到选择题的概率为 .
C 73 )= C 13 1
2 6 3 3
1 2 2 1 3 C C C C C 4 7 4 7 4 3 3 3 C C C 1 1 1 1 1 1
=
2 6 3 3
.
(方法二)记“三个球全是白球”为事件,且是A
= 33
7
,
故得P(A)=1-P( A )=
.
时通常有两种方法：一是将所求事件 的概率化成一些彼此互斥的事件的概 率的和；二是先求出此事件的对立事 件的概率.
7.独立重复试验 若n次重复试验中,⑨ 每次试验结果的概率. 都不依赖于其他各次试验的结果 , 则 称 这 n 次 试 验是独立的. 8.n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 如果在一次试验中某事件发生的概率是 p, 那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k k pk(1-p)n-k P ( k )= C n 次的概率是⑩ n . 如果设 q=1-p, 则 Pn(k) 就是 (p+q)n 的展开式 k 中 的 第 (k+1) 项 , 故 Pn(k)= C n pk(1-p)n-k 也 叫 做 11 二项分布公式 .
B.如果A、B不是相互独立事件，那么它们 一定是互斥事件 C.如果A、B是相互独立事件，那么它们一 定不是互斥事件
D.如果A+B是必然事件，那么它们一定是 对立事件
2.甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是 ,
甲获胜的概率是 1 3
,则甲不输的概率是
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1 2
.
3.甲、乙两人独立解同一道题,甲解决这道题的 概率是0.7,乙解决这道题的概率为0.8,那么恰 有一人解决这一道题的概率是( B ) A.0.56 B.0.38 C.0.44 D.0.94 只有甲解决这道题的概率为0.7×(1-0.8) =0.14; 只 有 乙 解 决 这 道 题 的 概 率 为 0.8×(10.7)=0.24.故恰有一人解决这一问题的概率为 0.１4+0.24=0.38,选B.