高一函数的概念及其表示法

集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么称对应f ：A →B 为集合A 到集合B 的一个映射．

4．分段函数

若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．

5．区间的概念

（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；

（2）无穷区间； （3）区间的数轴表示．

（1）满足不等式b x a ≤≤的实数的x 集合叫做闭区间，表示为[]b ,a ； （2）满足不等式b x a <<的实数的x 集合叫做开区间，表示为()b ,a ； （3）满足不等式b x a <≤的实数的x 集合叫做半开半闭区间，表示为[)b a ，； （4）满足不等式b x a ≤<的实数的x 集合叫做也叫半开半闭区间，表示为(]b ,a ；

说明：① 对于[]b ,a ，()b ,a ，[)b a ，，(]b ,a 都称数a 和数b 为区间的端点，其中a 为左端点，b 为右端点，

称b-a 为区间长度；

② 引入区间概念后，以实数为元素的集合就有三种表示方法：

不等式表示法：3

7x 3x <<；区间表示法：()73，；

③ 在数轴上，这些区间都可以用一条以a 和b 为端点的线段来表示，在图中，用实心点表示包括在区

间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点；

④ 实数集R 也可以用区间表示为（-∞，+∞），“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”，还可以把满足x ≥a, x>a, x ≤b, x

题型一、函数概念

例1、设集合M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M 到集合N 的函数关系的是________．

解析：由函数的定义，对定义域内的每一个x 对应着唯一一个y ，据此排除①④，③中值域为{y |0≤y ≤3}不合题意．答案：②

例2、下列函数中哪个与函数y =x 是同一个函数？

（1）2

)(x y =； （2）33x y =； （3）2x y =

〖解析〗解：（1）y =x ，x ≥0，y ≥0，定义域不同且值域不同，不是同一个函数； （2）y =x ，x ∈R ，y ∈R ，定义域值域都相同，是同一个函数；

，[0,3)x ∈2101x <≤+，则21x -≤-y ，20x ≥，0y y

≥，∴1，222(1)2y t t ∴=---2,)+∞．

＋1，则f (x )

3、设M ={x |－2≤x ≤2}，N ={y |0≤y ≤2}，函数f （x ）的定义域为M ，值域为N ，则f （x ）的图象可以是

2

2-2A o y

x 22-2B o

y x 22-2C o y x 22-2D o y x

解析：A 项定义域为［－2，0］，D 项值域不是［0，2］，C 项对任一x 都有两个y 与之对应，都不符故选B

4、若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是

( )．

解析 (筛选法)根据函数的定义，观察得出选项B.

答案 B

5、已知集合A ＝[0,8]，集合B ＝[0,4]，则下列对应关系中，不能看作从A 到B 的映射的是( )

A ．f ：x →y ＝18

x B ．f ：x →y ＝14x C ．f ：x →y ＝12x D ．f ：x →y ＝x

解析：选D 按照对应关系f ：x →y ＝x ，对A 中某些元素(如x ＝8)，B 中不存在元素与之对应．

6、(·安徽高考)下列函数中，不满足f (2x )＝2f (x )的是( )

A ．f (x )＝|x |

B ．f (x )＝x －|x |

C ．f (x )＝x ＋1

D ．f (x )＝－x

解析：选C 对于选项A ，f (2x )＝|2x |＝2|x |＝2f (x )；对于选项B ，f (x )＝x －|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧

0，x ≥0，2x ，x ＜0，当x ≥0时，f (2x )＝0＝2f (x )，当x ＜0时，f (2x )＝4x ＝2·2x ＝2f (x )，恒有f (2x )＝2f (x )；对于选项D ，f (2x )＝－2x ＝2(－x )＝2f (x )；对于选项C ，f (2x )＝2x ＋1＝2f (x )－1.

7、若函数212x y x ⎧+=⎨⎩

)0()0(>≤x x 则使函数值为10的x 的集合为 。 答案：{}3,5-

8、已知f(x)是一次函数, 且f[f(x)]=4x -1, 求f(x)的解析式

解：设f(x)=kx+b 则 k(kx+b)+b=4x -1

则⎪⎩

⎪⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧-=+=3121)1(42b k b k k 或 ⎩⎨⎧=-=12b k ∴312)(-

=x x f 或12)(+-=x x f

9、定义在闭区间[]2,1-上的函数)(x f 的图象如图所示，

求此函数的解析式、定义域、值域及1

()4f ，))4

1((f f 的值。 答案：1,10()1,022

x x f x x x +-≤≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩定义域[1,2]-，值域[1,1]-，1117(),()4848

f f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭

【预习思考】

函数的概念