初等数学研究 代数部分 第一章 数与数系

定理 4（第二数学归纳法的一种变形：增多起点） 设 P(n) 是关于自然数 n 的命题，若 ⑴ P(1) ， P(2) 成立； ⑵ 假设 P(k) ， P(k 1) 均为真，可以推出 P(k 2) 为真， 则 P(n) 对一切自然数n 都成立． 定理 5（跳跃归纳法） 设 P(n) 是关于自然数 n 的命题，若 ⑴ P(1) ， P(2) ，…， P(l ) 成立； ⑵ 由 P(k) 均为真，可以推出 P(k l) 为真， 则 P(n) 对一切自然数n 都成立．
定义 3（乘法的定义） 自然数的乘法是一种对应关系“ ”，由于它对于任何a,b N ， 有唯一确定的ab N ，并且满足
⑴ a 1 a ； ⑵ ab ab a ． 注 ① (N, ) 是半群；② 乘法对加法的分配律也成立，即(a b) c a c b c ． 例 4 证明 23 6 ． 证 ∵ 21 2，
链接
顺序关系
保持运算 关系
大小关系 关系
有序集
任何一个非空子集 都存在最小元
良序集
(N, ) 是全序集，也是良序集．
四、自然数与0
1. 1993年，《中华人民共和国国家标准》，规定自然数包括 0． 2. 弊端：自然数包含0会带来一些行文中的不便．例，数论中 的除数、约数、倍数等． 3. 一般情况下，不讨论0是几位数，最小的一位数是1． 4. 0不规定为自然数，不会影响数学内容的实质． 5. 由于《国家标准》具有严肃性，目前的出版物都遵循“自 然数包含0”的规定． 6. 主张0为自然数的至少3个理由：
⑴ P(1) 成立；
⑵ P(k) 成立，可以推出 P(k 1) 成立，
则 P(n) 对一切自然数n 都成立．
证明 设 M 是使命题 P(n) 成立的所有自然数的集合，则
由⑴知，1M ； 由⑵知，由k M ，推出 k 1M ． 由归纳公理，知 M N ，所以得证．
说明 数学归纳法是归纳公理的命题形式．
（用一一对应来替换、分割、改变顺序而不变的东西就是数）
什么是代数？（四种观点）
1．方程——初等代数；“代数学的任务是解方程”（波斯 的奥马﹒海亚姆）
2．线性代数（多项式）——高等代数； 3．代数结构——近世代数． 4．方法论与思维方式——副产品 解析几何
怎样研究代数？
代数思维及其培养；几何思维及其培养 区别：代数使人“严格”；几何给人以“洞察”。注意问题意识与 方法意识。萦绕在脑际。计算是具体的推理；推理是抽象的计算。
N {1, 2,3, 4,5,6,L }
潜无限 实无限
2. 运算的定义
定义2（加法的定义）对任何a,b N ，并且满足
（1）a 1 a
（2）a b (a b)
其中a和b叫做加数，a+b叫做它们的和。（操作性定义） 例1 证明 2+3=5 证 ∵ 2 3 2 2 (2 2) 4 5
第1章 数与数系
教学目标
1.了解数的起源与数系扩张的动力和原则 2.掌握数的计数方法和文化意义 3.了解0的发明权之争与解决 4.掌握0为什么不能做分母和0为什么可当自然数的道理
一、数的起源与计法
数——一定物群的抽象性质； 思维对象与实体的分离； “数（shù）从数（shǔ）中生”。
计数方法——屈指计数（掐指计数）（五进制、十进制） 石子计数（配对思想、一一Байду номын сангаас应）；结绳计数；书契记数； 算筹记数。
有一个成立．
说明 ① 将⑴⑵⑶合起来就是“偏序关系”．进而可将其概括成两条，即偏序关系、 三歧性．
② 若 (E,p ) 满足偏序性、三歧性，则称其为全序集；若仅三歧性不满足，则称
其为半序集（偏序集）．
3.自然数的序结构 (1)（N，≤）是有序集.（验证传递性、三歧性） (2) （N，+，•，≤）是有序半群.（验证全序集、保持运算）
初等数学研究 ——代数部分
绪论
研究内容：初等代数研究+初等几何研究 教学目标： 1.了解代数与初等代数、初等几何研究的主要问题和研究方法。 2.初步感受初等数学和高等数学之间的联系。 3.掌握中学数学课堂教学展开的基本方式。
内容简介
1.《初等数学研究》是数学与应用数学（师范类）专业的必修 课。它是在同学们掌握了一定的高等数学理论知识的基础上，继教 学与学、心理学之后而开设的。
例 3（加法交换律） 证明a,b N ，有a b b a． 证 ⑴ 首先证明 a 11 a ．
设 P 是使a 11 a 成立的所有 a 组成的集合． 1°∵111 11，∴1P ； 2°假设 a P ，即a 11 a ，则
a 1 (a 1) 1 (1 a) 1 1 (a 1) 1 a ， 由归纳公理，知a N ，有a 11 a ．
严格偏序关系 √
√
√
全序关系 √ √ √
√
严格全序关系 √
√√
√
弱序关系 √ √
√√
三、自然数的序结构 1. 顺序的定义 定义4（等于的定义）a,b N ，若a b ，则 a b． 定义5（小于的定义）若 a,b N ，k N ，使 a k b ，则a b ，也称b a ． 2. 全序关系
⑵ 再证明 a b b a ． 设 M 是使a b b a 成立的所有b 组成的集合． 1°由⑴知，1M ；
2°假设bM ，即a b b a ，则 a b a (b 1) (a b) 1 (b a) 1 b (a 1) (b 1) a b a ，
由归纳公理，知a,b N ，有a b b a ．
22 21 21 2 2 2 4 ， ∴ 23 22 22 2 4 2 6 ． 小结 ①(N, ) 是可换半群；② (N, ) 是可换半群．
链接
性质 传递 自反 反对 不对 连通 强连 反自
R
性 性 称性 称性 性 通性 反性
传递关系 √
拟序关系 √ √
偏序关系 √ √ √
初等代数研究？
初等代数研究（综合性学科）——中学代数（除平面几何、解析几何、 立体几何以外的内容）
本源性问题驱动课堂教学，每个专题都注意从问题入手，围绕重要的 问题，用基本的观点展开教学过程。
初等代数内容主要涉及数系扩充、解析式、函数、方程、不等式、排 列组合和数列等相关知识，用高等数学观点分析初等数学内容，提高学生 对中学代数教材的驾驭能力和解决问题的能力。
定义 6 “ ”是全序关系，由于它对于任何 x, y, z E ，满足
⑴ 自反性： x x； ⑵ 反对称性：若 x y ，且 y x ，则 x y ；
⑶ 传递性：若 x y ， y z ，则 x z ；
⑷ 可比性（连通性、三分性、三歧性）：x, y E ，则 x y ， y x ， x=y 有且只
2.课程从中学数学教学的需求出发，结合当前基础教育改革的 现状，并与正在进行的基础教育改革所制定的课标相适应。
3.把基本问题分成若干专题进行研究，在内容上适当加深和拓 展，在理论、观点、思想、方法上予以总结提高。
为何研究代数 ？
代数是研究文字的算术、是灵活的算术、是普遍的算术，在 算术中以数字计算，而在代数中则是文字参与运算；算术是一定 的和特殊性，代数是不定的和普遍的。
3. 结构
⑴ 推理的基础；（基）( P(1)成立）
⑵ 推理的依据．（推)（P(k) 成立 P(k 1)成立）
链接
1 2 3 … …
真
真？
真？
真？
4. 理论依据：皮亚诺的归纳公理．
“多米诺效应“
二、数学归纳法及其“变着”（扩展阅读：华罗庚《数学小丛书 15：数学归纳法》） 定理 1（第一数学归纳法） 设 P(n) 是关于自然数n 的命题，若
定理 2（第一数学归纳法的一种变形：移动起点） 设 P(n) 是关于自然数 n 的命题，若 ⑴ P(n0 ) 成立， n0 为某个自然数； ⑵ 由 P(k) (k n0 ) 成立，可以推出 P(k 1) 成立， 则 P(n) 对一切自然数n (n n0 ) 都成立． 定理 3（第二数学归纳法）（串值归纳法） 设 P(n) 是关于自然数n 的命题，若 ⑴ P(1) 成立； ⑵ 假设 P(m) 对于m k 时的自然数均成立，则 P(k) 成立， 则 P(n) 对一切自然数n 都成立．
⑴ 1 N ，a N ，a 1 ； ⑵ a N ，有唯一的 a N （a b a b ）； ⑶ 1 以外的任何元素，只能是 1 个元素的后继元素（a b a b ）； ⑷（归纳公理）若 M N ，且
1°1M ； 2°aM ，有 a M ， 则M N．
链接 1,1'=2，2'=3，3'=4，4'=5，··· 线段“ ”上的点有无限个
2 2 2 1 (2 1) 3 4 ∴ 2 1 2 3
例 2 证明(N, ) 是半群．
证 ⑴ 封闭性；
⑵ 结合律，即 (a b) c a (b c) ，a,b,c N ． 下证(a b) c a (b c) ，a,b,c N ． 取定a,b ，设 M 是使上面等式成立的所有c 组成的集合．往证M N ．
发现真理：Giaquintos说过一句引人注意的、概括的话：“总而 言之，发现一个真理就是以一种独立的，可靠的而且理性的方式相 信这个真理”。由此可以推出结论：一个学生可以合法地重新发现 他老师已经“知道”的事物，而且也没有必要要求每个命题都是绝 对原创的---只要该命题是独立发现的即可。（数学译林，2012， 13（1）：1-14）P3 Dvid H.Baily Jonathan M.Borwein“探索性实 验和计算”）
1°当 c 1时，∵(a b) 1 (a b) a b a (b 1) ，∴1M ； 2°假设 cM ，则考虑c 的情形，
∵ (a b) c ((a b) c) (a (b c)) a (b c) a (b c) ， ∴ cM ， 由归纳公理，知 M N ，即a,b,c N ，均有(a b) c a (b c) ．
0与空集的基数相对应．ZF——公理系统（10条公理） 空集公理：存在一个集合不含任何元素．
无穷公理：存在一个集合A使空集 是A的元，而且只要A有元 x ，
则A也有{x} ．
根据上述两条公理，得到下列集合 ，{}，{,{}}，{,{},{,{}}}，…
01
2
3
⑷ 结论：0是自然数是合理的．
§1.2 数学归纳法
（1）尽早引入0,有利于学生对自然数的理解． ① 2-2=0.没有0显得不方便. ② “物体的个数——自然数”；没有一个物体——0个
（2）数0对于数的扩张来说十分重要． ① 数0是正负数的桥梁． ② 如果不规定0为自然数，从自然数的扩张到整数要添加0．
（3）从集合论的角度看，把0作为自然数比较合理．
定理 6（反向归纳法）（倒退归纳法） 设 P(n) 是关于自然数n 的命题，若 ⑴ 有无限个值使 P(n) 成立；（一般地， n 2m ） ⑵ 在 P(k) (k N) 下，可以推出 P(k 1) 成立， 则 P(n) 对一切自然数n 都成立． 定理 7（跷跷板归纳法）（螺旋归纳法） 设 A(n) ，B(n) 是关于自然数n 的命题，若
一、数学归纳法的起源
最早（1575年）利用递推法证明前n 个奇数的和为n2：
1 3 5 L (2n 1) n2 1. 产生的根源
正整数无法穷尽，难以对 n 一一验证，从而需要寻求一种新的推
理方法，以便能通过有限的推理来证明无限的结论．（质变）
2. 实质
把无穷的三段论纳入唯一的公式中．（庞加莱《科学与假设》）
1
2
3
4
纵式
横式
例如
印度-阿拉伯数字 算筹记数 23 203
5
6
7
8
9
0
空位
空位
＝□—□
2010 ＝
○
—
○
2
0
1
0
二、0的发明权
李约瑟（J. Needham，1900—1995）：“在中国的空位上放上 了印度的花环．”
三、数系 数系——把对某种运算封闭的数集叫做数系（也叫做代数系统、 广群）． 数系按照从见简单到复杂的顺序有 广群、半群、单胚、群、环、域、体
§1.1 自然数系
一、自然数的两种理论 1. 基数理论——康托（Georg Cantor，1845—1918）以集合 论为基础； 2. 序数理论——皮亚诺（G. Peano，1858—1932）以公理结 构为基础． 二、皮亚诺的序数理论 1. 皮亚诺公理
定义1 非空集合N的元素叫自然数，如果N的元素间有一个基 本关系“后继”（用“′”表示），并且满足下列公理：