福建省教师公开招聘考试中学数学真题2017年

福建省教师公开招聘考试中学数学真题2017年
(总分：150.01，做题时间：90分钟)
一、单项选择题(总题数：10，分数：50.00)
1.1+i+i 2+…+i 2007的值是______。

（分数：5.00）
A.0 √
B.1
C.1-i
D.1+i
解析：[解析] i 1 +i 2 +i 3 +i 4 =0，1+i+i 2+…+i 2007 =1+502(i 1 +i 2 +i 3 +i 4 )-i 2008 =0。

的展开式中x 3的系数是______。

（分数：5.00）
A.12
B.27
C.36
D.54 √
解析：[解析] 当即r=2时，x的幂指数为3，则其系数为
3.甲射击命中目标的概率是乙射击命中目标的概率是丙射击命中目标的概率是现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率是______。

A．
B．
C．
D．
（分数：5.00）
A.
B.
C. √
D.
解析：[解析] 三人都没命中的概率是则目标被击中概率为
4.如果实数x，y满足约束条件那么2x-y的最小值是______。

A．-6
B．-4
C．
D．-2
（分数：5.00）
A.
B.
C. √
D.
解析：[解析] 可行域如图中阴影部分所示，平移目标函数z=2x-y得，在点处目标函数取得最小值，为
5.若x，y∈R，则“xy≤1”是“x 2 +y 2≤1”的______。

（分数：5.00）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件√
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析：[解析] (几何法)记A={(x，y)|xy≤1}，B={(x，y)|x 2 +y 2≤1}，集合A和集合B在直角坐标系
中表示的区域如下图所示，因此有即有“x 2 +y 2≤1” “xy≤1”，而“xy≤1”不能推出“x 2 +y 2≤1”。

所以“xy≤1”是“x 2 +y 2≤1”的必要不充分条件。

(代数法)当x 2 +y 2≤1时，令x=rcosθ，y=rsinθ，(0≤r≤1，0≤θ≤2π)，则但，当
“xy≤1”时不能推出“x 2 +y 2≤1”，反例：x=5，y=0.1，xy=0.5＜1，x 2 +y 2 =25+0.01＞1。

所以“xy≤1”是“x 2 +y 2=1”必要不充分条件。

6.5，则其最小值是______。

（分数：5.00）
A.-5
B.-3
C.-1 √
D.0
解析：[解析] 函数是奇函数，有最大值5，则有最大值3，则有最小值-3，所以原函数有最小值-1。

7.x=0处，以下说法正确的是______。

（分数：5.00）
A.可导且f"(0)=1 √
B.可导不连续
C.连续不可导
D.既不连续也不可导
解析：[解析] f(0)=0，所以f(x)在x=0处连续。

又f" + (0)=f" - (0)=1，所以f"(0)=1。

8.下列行为不属于落实数学情感态度目标的是______。

（分数：5.00）
A.引导学生感受数学的价值
B.促进学生愿意学、喜欢学数学，且对数学感兴趣
C.帮助学生锻炼克服困难的意志
D.让学生训练数学技能技巧√
解析：[解析] D选项中的描述属于落实知识技能目标。

9.巧妙而简洁地证明了存在某种不能用开方运算求解方程的方法，同时还提出了一个代数方程能用根式求解的判定定理的数学家是______。

（分数：5.00）
A.拉格朗日
B.伽罗瓦√
C.费拉里
D.达尔卡诺
解析：[解析] 1828年，法国天才数学家伽罗瓦巧妙而简洁地证明了存在某种不能用开方运算求解方程的方法，同时还提出了一个代数方程能用根式求解的判定定理。

10.设X是一个集合，ρ=X×X→R，如果关于任何x，y，z∈X，有(ⅰ)ρ(x，y)≥0，并且ρ(x，y)=0，当且仅当x=y；(ⅱ)ρ(x，y)=ρ(y，x)；(ⅲ)ρ(x，z)≤ρ(x，y)+ρ(y，z)，则称ρ是集合X的一个度量。

此度量的定义方式是______。

（分数：5.00）
A.公理式定义√
B.外延式定义
C.属种差异式定义
D.递归式定义
解析：[解析] 公理式定义是用公理化的形式给出定义。

题干中叙述的三条分别为度量的三条公理：正定性、对称性和三角不等式。

外延式定义是通过揭示属概念所包括的种概念来明确该属概念之所指的定义。

例如，有理数和无理数统称实数。

属加种差式定义，定义项是由被定义概念的邻近的属和种差所组成的定义。

例如，“无限不循环”的“小数”叫“无理数”。

递归式定义指用递归的方法给一个概念下的定义，它由两个部分组成，一是初始条件，列出哪些个体属于一个给定的集合；二是归纳条件：当在条件中列出的个体属于给定集合时，则另一些个体也属于该集合。

例如，整数阶乘的定义：0!=1，n!=(n-1)!×n。

二、填空题(总题数：5，分数：20.00)
（分数：4.00）
解析： [解析] 使用定积分求极限法：
12.设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列4个命题：
①若m⊥α，n//α，则m⊥n；
②若m//α，n//α，则m//n；
③若n//m，则m//α；
④若α⊥γ，β⊥γ，则α//β。

其中所有正确命题的序号是 1。

（分数：4.00）
解析：①③。

[解析] ①m⊥α，则m垂直于α内任意直线，且与α有一个交点M。

n//α，则在α内
过点M能找到一条与直线n平行的直线l，则m⊥l，所以m⊥n；②反例：α内有两条相交的直线l 1，l 2，且l 1 //m，l 2 //n，则m，n是相交或异面直线；③平面外直线平行于平面的判定定理；④反例：直线l⊥面γ，则过直线l的任意平面都垂直面γ，若平面α，β都过直线l，则它们不平行。

13.《义务教育数学课程标准(2011年版)》提出：无论是设计、实施课堂教学方案，还是组织各类教学活动，不仅要重视学生获得知识技能，而且要激发学生的学习兴趣，通过独立思考或者合作交流感悟数学的1，引导学生在参与数学活动的过程中积累 2。

（分数：4.00）
解析：基本思想，基本经验。

14.《义务教育数学课程标准(2011年版)》提出：创新意识的培养是现代数学教育的基本任务，学生自己发现和提出问题是创新的基础；独立思考、学会思考是创新的核心；其中， 1得到猜想和规律，并加以2，是创新的重要方法。

（分数：4.00）
解析：归纳概括，验证。

15.数学老师在推导等比数列前n项和的公式时，先让学生观察，发现等差数列前n项和公式
征是由项数、首项和公差构成的。

引导学生猜想出等比数列前n项和公式S n应由项数、首项和公比构成，然后师生再继续进行S n的推导。

该老师在教学过程中使用的推理方法是 1。

（分数：4.00）
解析：合情推理。

三、简答题(总题数：1，分数：12.00)
材料：
吴老师与学生在讨论lnx+2x-6=0的根的个数时，先设f(x)=lnx+2x-6(x＞0)，让学生使用几何画板做出
y=f(x)的图象，并在图象上观察y=f(x)与x轴的交点个数，然后计算从而发现y=f(x)在(x＞0)上是增函数，得到方程lnx+2x-6=0只有一个根的结论。

问题：（分数：12.00）
(1).该片段教学主要渗透和体现了哪些数学思想方法?（分数：6.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()
解析：转化化归、数形结合、数学模型等思想方法。

(2).中学数学教学过程中可采取哪些措施来渗透和体现数学思想方法?（分数：6.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()
解析：①在知识的形成过程中渗透数学思想方法
教师要重视知识发生过程的设计，引导学生以探索者的姿态去参与概念的形成和规律的揭示过程。

这样，学生获得的就不仅是数学概念、定理、法则，更重要的是发展了抽象概括思维和归纳思维，还可以养成良好的思维品质。

②在问题解决的过程中揭示数学思想方法
在数学问题解决的教学中，要突出数学思想方法对问题解决的统摄和指导作用，要让学生真正领悟隐含于数学问题中的数学思想方法，掌握有关数学思想方法方面的知识，并把这些知识消化吸收成具有“个性”的数学思想，逐步形成用数学思想方法指导思维活动的习惯，这样，在解决问题时才能举一反三，融会贯通。

③在知识的总结归纳过程中概括数学思想方法
概括数学思想方法要纳入教学计划，在课后小结、单元小结或复习时，应有目的、有步骤地引导学生参与数学思想方法的提炼、概括过程，注意在纵横两方面整理出数学思想方法及其系统。

这样，不仅可以使学生从数学思想方法的高度把握知识的本质和内在的规律，而且还可以使学生逐步体会数学思想方法的精神实质，进一步提高分析问题、解决问题的能力。

④引导学生在反思中领悟数学思想方法
教师要善于引导学生自觉地检查自己的思维活动、反思自己是怎样发现和解决问题、运用了哪些基本的思考方法和技巧、走过哪些弯路、有哪些容易发生的错误、原因何在、该记住哪些经验教训等，从而帮助学生真正领悟数学知识与解题过程中隐藏的数学思想方法，促进思维能力的发展。

四、解答题(总题数：4，分数：48.00)
已知函数x=π处取最小值。

问题：（分数：12.00）
(1).求φ的值。

（分数：6.00）
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解析：
当x=π时取得最小值，则sin(φ-π)=-1，因为0＜φ＜π，所以
(2).在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C a+c=4，b=2，△ABC的面积。

（分数：6.00）
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解析：由B是△ABC的内角，则由余弦定理b 2 =a 2 +c 2 -2accosB b 2 =(a+c) 2 -
2ac-2accosB，可求得
故三角形面积
设数列{a n }的前n项和为S n，满足S n+1 =3S n +2 n+1 -1，(n∈N + )，且a 3 -5，a 2 +2，a 1 -1成等差数列。

问题：（分数：12.00）
(1).求a 1，a 2的值；（分数：6.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()
解析：因为a 3 -5，a 2 +2，a 1 -1成等差数列，则a 3 -5+a 1 -1=2(a 2 +2)，即a 1 -2a 2 +a 3
=10①，
由S n+1 =3S n +2 n+1 -1，可知，即与①式联立可解得，a 1 =1，a 2 =5。

(2).求数列{a n }的通项公式。

（分数：6.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()
解析：由S n+1 =3S n +2 n+1 -1，设S n+1+x·2 n+1 +y=3(S n+x·2 n +y)，根据对应系数不变，求得x=2，
原式可化为
令则b n+1 =3b n，所以数列{b n }是公比为3的等比数列，又可求出故有即
又a 1 =1满足此式，所以对所有n∈N +，都有a n =3 n -2 n。

已知椭圆的一个顶点为B(0，3)，椭圆的右焦点到右顶点的距离为l交椭圆于M，N两点。

问题：（分数：12.00）
(1).求椭圆的方程；（分数：6.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()
解析：由顶点B(0，3)可知b=3，右焦点到有顶点的距离为则又因为a 2 +b 2 =c 2，故有
解得所以椭圆的方程为
(2).如果△BMN的重心恰好为椭圆的左焦点F，求直线l的方程。

（分数：6.00）
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解析：设M(x 1，y 1 )，N(x 2，y 2 )，则△BMN的重心坐标为又因为左焦点F坐标为则
y 1 +y 2 =-3。

设直线l方程为y=kx+b，联立得
消去y得，(4k 2 +3)x 2 +8kbx+4b 2 -36=0，可知
消去x得，可知
①÷②得，易得
将k代入，可求得
故直线l的方程为，
已知函数
问题：（分数：12.00）
(1).讨论函数f(x)的单调性；（分数：6.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()
解析：函数f(x)的定义域为(0，+∞)，
当a≤0时，f"(x)＞0，函数f(x)在定义域(0，+∞)上单调递增。

当a＞0时，若x＞a，则f"(x)＞0；若0＜x＜a，f"(x)＜0。

即函数f(x)在(a，+∞)上单调递增，在(0，a)上单调递减。

(2).若对及ka+f(x)＜a 2成立，求实数k的取值范围。

（分数：6.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()
解析：ka+f(x)＜a 2，代入f(x)为分离参数，得
令则因为a∈[2，4]，所以h"(x)＞0，h(x)在区间上单调递增。

当
时，h(x)取得最小值，当a取得最小值2时，取得最小值-1。

所以k＜-1时，ka+f(x)＜a 2恒成立。

五、综合应用题(总题数：1，分数：20.00)
下列是普通高中课程标准实验教科书必修《数学》第二册(人教版)关于“平面与平面垂直的性质”的部分教学内容，阅读并按要求作答。

我们知道，可以通过直线与平面垂直判定平面与平而垂直，平面与平面垂直的性质定理说明，由平面与平面垂直可以得到直线与平面垂直，这种直线与平面的位置关系同平面与平面的位置关系的相互转化，是解决空间图形问题重要的思想方法。

我们知道，过一点只能作一条直线与已知平面垂直，因此，如果过一点有两条直线与平面垂直，那么这两条直线重合。

如图，设α∩β=c，过点P在平面α内作直线b⊥c，根据平面与平面垂直的性质定理有b⊥β。

因为过一点有且只有一条直线与平面β垂直，所以直线a与直线b重合，因此
（分数：20.01）
(1).写出该教学内容的教学目标、重点和难点。

（分数：6.67）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()
解析：教学目标：
知识与技能目标：
①进一步巩固和掌握面面垂直的定义、判定，理解和掌握面面垂直的性质定理；
②能运用性质定理证明一些空间位置关系的简单命题，运用定理解决相关问题，进一步培养空间观念。

过程与方法目标：
①通过对定理的探究和证明，向学生渗透从特殊到一般、类比与转化等数学思想，培养学生观察、比较、想象、概括等逻辑推理能力及学生转化的思想。

②能够通过实验提出自己的猜想并能进行论证，灵活运用知识学会分析问题、解决问题。

情感、态度与价值观目标：
①通过对空间直线与平面、平面与平面位置关系的判断，学生发展合情推理能力和空间想象力，培养质疑思辨、创新的精神；
②学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。

教学重难点：
重点：理解掌握面面垂直的性质定理和推导；
难点：运用性质定理解决实际问题。

(2).就该内容设计一份教学过程教案。

（分数：6.67）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()
解析：教学设计
一、复习回顾
1．面面垂直的定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。

2．面面垂直的判定：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

二、引入新课
思考1．(情境导入)
教室的黑板所在的平面与地面是什么关系?能否在黑板上画一条直线与地面垂直?
思考2．(事例导入)
如图，平面α，β，由α⊥β，是否可以得到b⊥β?
三、探究新知
如图，设α⊥β，α∩β=l，观察两垂直平面中，一个平面内的直线与另一个平面的有哪些位置关系?
当平面α内直线b满足什么条件时b⊥β?
1．创设情境
将面面垂直的判定定理的条件和结论互换，得到的新命题是否还成立。

结合黑板面与地面垂直，你能在黑板面内找到一条直线与地面平行、相交或垂直吗，这样的直线分别有什么性质?试说明理由。

2．新课教学
由前面小实验，学生体会由特殊到一般的数学思想，并总结出直观结论：
面面垂直的性质定理：
两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

符号语言表述
注：①学习自然语言转化为数学语言：符号化。

②揭示定理的内涵：在面内作交线的垂线，体现“平面化”的数学思想。

我们知道，面面垂直也可通过线面垂直来证明，这种互相转换的证明方法是常用的数学思想方法。

3．巩固练习
已知α⊥β，α∩β=l，判断下列命题的正误。

①平面α内的任意一条直线必垂直于平面β。

( )
②垂直于交线l的直线必垂直于平面β。

( )
③过平面α内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于平面β。

( )
四、课堂小结
①平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

②证明线面垂直的两种方法：
线线垂直→线面垂直；面面垂直→线面垂直
③线线、线面、面面之间的关系的转化是解决空间图形问题的重要思想方法。

(3).证明：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

（分数：6.67）
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解析：证明：设平面M垂直于平面N，交线为c，在平面M内作直线a⊥c，垂足为O，在平面N内过O点作c的垂线b，则a，b所成的角就是二面角M-c-N，从而a⊥b，又b，c是平面N内的相交线，所以a垂直于平面N。