北师大数学分析法课件
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1.2.1 分析法
石城中学 孙卫民
综合法：
复习
①利用已知条件和已知的定义、定理、公理等，
②经过一系列的推理、论证，
③最后推导出所要证明的结论成立的证明方法
特点：
由因导果
分析基本不等式：a
+ 2
b
ab
(a>0,b>0)的证明.
证明:要证
a
+ 2
b
ab
只需证 a + b 2 ab
只需证 a + b 2 ab 0
只需证 21<25 因为 21<25成立,所以 3 7 2 5 成立.
从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中， 使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把 要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件 为止，这种证明的方法叫做分析法．
这个明显成立的条件可以是： 已知条件、定理、定义、公理等
特点： 执果索因 即： 要证结果Q，只需证条件P
所以
a
+ 2
bwenku.baidu.com
ab成立
还原成综合法： 证明:
因为;( a b)2 0
所以 a + b 2 ab 0
所以 a + b 2 ab
所以
a+b 2
ab 成立
例1 求证 3 7 2 5
解:要证 3 7 2 5 只需证 ( 3 7)2 (2 5)2
展开,只需证 21 5
例2、已知a,b,c都是正实数，且ab+bc+ca=1 求证：a+b+c 3
练习、1.若a b c 1,且a,b,c 0, 求证: a b c 3.
2、已知a,b,c,d都是实数，且a2+b2=1，c2+d2=1 求证：|ac+bd|≤1
3.设x, y 0,求证 :
•••• x2 y2 3 x3 y3 .
3、若f (x) 1 x2 , a b,求证：| f (a) f (b) || a b |
练习：1、已知a 0,求证：a2
1 a2
2 a1 2 a
2、求证： a a 1 a 2 a 3(其中a 3)
只需证 ( a b)2 0
因为 ( a b)2 0 成立
所以 a
+ 2
b
ab 成立
分析基本不等式：a
+ 2
b
ab
(a>0,b>0)的证明.
证明:要证;a
+ 2
b
ab
只需证;a + b 2 ab
只需证;a + b 2 ab 0
只需证;( a b)2 0
因为;( a b)2 0 成立
例4、如图，已知BE，CF分别是△ABC的边AC，AB上的 高 G为EF的中点，H为BC的中点，求证：HG⊥EF。
小结：
分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方 法。在数学解题中，分析法是从数学题的待证 结论或需求问题出发，一步一步地探索下去， 最后达到题设的已知条件。综合法则是从数学 题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最 后达到待证结论或需求问题。对于解答证明来 说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由 果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考 方法，应用十分广泛。
石城中学 孙卫民
综合法：
复习
①利用已知条件和已知的定义、定理、公理等，
②经过一系列的推理、论证，
③最后推导出所要证明的结论成立的证明方法
特点：
由因导果
分析基本不等式：a
+ 2
b
ab
(a>0,b>0)的证明.
证明:要证
a
+ 2
b
ab
只需证 a + b 2 ab
只需证 a + b 2 ab 0
只需证 21<25 因为 21<25成立,所以 3 7 2 5 成立.
从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中， 使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把 要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件 为止，这种证明的方法叫做分析法．
这个明显成立的条件可以是： 已知条件、定理、定义、公理等
特点： 执果索因 即： 要证结果Q，只需证条件P
所以
a
+ 2
bwenku.baidu.com
ab成立
还原成综合法： 证明:
因为;( a b)2 0
所以 a + b 2 ab 0
所以 a + b 2 ab
所以
a+b 2
ab 成立
例1 求证 3 7 2 5
解:要证 3 7 2 5 只需证 ( 3 7)2 (2 5)2
展开,只需证 21 5
例2、已知a,b,c都是正实数，且ab+bc+ca=1 求证：a+b+c 3
练习、1.若a b c 1,且a,b,c 0, 求证: a b c 3.
2、已知a,b,c,d都是实数，且a2+b2=1，c2+d2=1 求证：|ac+bd|≤1
3.设x, y 0,求证 :
•••• x2 y2 3 x3 y3 .
3、若f (x) 1 x2 , a b,求证：| f (a) f (b) || a b |
练习：1、已知a 0,求证：a2
1 a2
2 a1 2 a
2、求证： a a 1 a 2 a 3(其中a 3)
只需证 ( a b)2 0
因为 ( a b)2 0 成立
所以 a
+ 2
b
ab 成立
分析基本不等式：a
+ 2
b
ab
(a>0,b>0)的证明.
证明:要证;a
+ 2
b
ab
只需证;a + b 2 ab
只需证;a + b 2 ab 0
只需证;( a b)2 0
因为;( a b)2 0 成立
例4、如图，已知BE，CF分别是△ABC的边AC，AB上的 高 G为EF的中点，H为BC的中点，求证：HG⊥EF。
小结：
分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方 法。在数学解题中，分析法是从数学题的待证 结论或需求问题出发，一步一步地探索下去， 最后达到题设的已知条件。综合法则是从数学 题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最 后达到待证结论或需求问题。对于解答证明来 说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由 果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考 方法，应用十分广泛。