第十四章相似原理及模型试验简介

紊流阻力平方区
vr 2 v2P v2M 1 Frr 1 g P LP g M LM gr Lr
( gr 1)
vr 2 v2 J 2 Jr 2 1 C r 1 r 1 P M RP RM C R C r Lr /6 nr L1 r
GP TP PP SP EP IP G M TM PM S M E M I M
Gr Tr Pr Sr Er I r
几何相似、运动相似，动力相似是流动相似的重要特征 它们互相联系、互为条件 几何相似是运动相似、动力相似的前提条件 动力相似是是决定流动相似的主导因素 运动相似是几何相似和动力相似的表现 它们是一个统一的整体，缺一不可。
因此，产生了下列问题
如何设计模型，使原型与模型流动相似 ？ 如何把模型中测量的物理量换算到原型 ？
相似原理和模型试验基础
答案
14.1
14.2 14.4
概述
相似的基本概念 相似准则
14.2 相似的基本概念

几何相似
两个系统：原型和模型几何尺寸中，对应长度
均保持一个固定的比例，把模型中任一长度尺寸乘
vr 2 v2 J 2 Jr 2 1 C r 1 r 1 P M RP RM C R C r Lr

层流区
P duP duM v vL M r 1 Re P Re M , Re g P RP dy P g M RM dy M ur Lr
A R
1 3 Fr Tr 0r r Lr ( r Lr J r ) L2 L ( L ) L r r r r r Jr
1 Fr t r r L3 gr Lr J r ur2 r J r Lr ur 1 1 1 3 2 mr ur r Lr ur ur gr Lr J r

FP FM 2 2 P L2 M L2 PvP M vM

(G T E S F ...)P (G T E S F ...) 2 2 2 2 P LP v P M LM v M
GP L2 v 2 P P P TP 2 2 L v P P P E P 2 2 P LP v P SP 2 P L2 P vP PP L2 v 2 P P P FI P 2 2 P LP v P GM 2 M L2 v M M TM 2 M L2 v M M EM 2 M L2 v M M SM 2 M L2 M vM PM 2 M L2 M vM FI M 2 M L2 M vM
推论：牛顿数相等表示模型与原型流动中
作用力分力与位移惯性力比值相等
佛劳德数相等 紊流阻力平方区 层流区 斯特鲁哈数
Frr 1
r 1，Frr 1
Re r 1
St r＝1
Car 1
柯西数相等
韦伯数相等 欧拉数相等
Wer 1
Err 1
NeP = NeM
FP FM 2 2 P L2 M L2 PvP M vM
1 重力
2 阻力
3 弹性力 4 表面张力
5 压力
6 惯性力
1 重 力
G gV
Fr Gr r gr Lr 3
代入
Fr t r 1 m r ur
则
ur 2 v2P v2M 1 Frr 1 g P LP g M LM gr Lr
2
阻 力
T 0 L
0 RJ ,
比例尺，便得到原型的相应长度。

流动相似 模型和原型水流如何达到流动相似？ 水流是在一定时间和空间中进行的，它遵
循水流运动学和动力学规律。 因此，两个系统的流动相似要求几何相
似、运动相似和动力相似。
为便于讨论，规定：
物理量的下标 r 表示其物理量的比尺
物理量下标 P、M 表示原型量和模型量
r: ratio P:prototype M:model
牛顿准则是判断两个系统流动相似的一般准则
推论：牛顿数相等表示模型与原型流动中
作用力分力与位移惯性力比值相等
佛劳德数相等 紊流阻力平方区 层流区 斯特鲁哈数
Frr 1
r 1，Frr 1
2 FrP2 FrM vr 2 v2P v2M 1 g P LP J P g M LM J M JP JM gr Lr J r
2
阻力
1 2 Fr t r r L3 J L u g L J u r r r r r r r r 1 1 1 3 2 mr ur r Lr ur ur gr Lr J r
推论：牛顿数相等表示原型与模型流动中
作用力的分力与位移惯性力比值相等
推论：牛顿数相等表示原型与模型流动中
作用力的分力与位移惯性力比值相等
设作用于水流的力 重力 G
阻力 T
表面张力 S 压力 P 弹性力 E


FP FM 2 2 P L2 M L2 PvP M vM
(G T E S F ...)P (G T E S F ...) 2 2 2 2 P LP v P M LM v M
vr 2 v2P v2M 1 FrP FrM ( gr 1) gP LP gM LM gr Lr vr 2 P M v2 J J 1 C 1 1 r r r 2 2 RP RM C R C r Lr
2
阻力
4
表面张力
S L
Fr Sr r Lr
代入
Fr t r 1 m r ur
P LP v P 2 M LM v M 2 Lv 2 We P M
WeP WeM ,Wer 1
5
压力
P pA
Fr Pr pr Lr 2
代入
Fr t r 1 m r ur
14.1
14.2 14.4
概述
相似的基本概念 相似准则
14.4.1 牛顿数相似准则
原型与模型尺度不同，但两者水流运动遵循 同一规律－牛顿第二定律
原型：
FP m P
duP dt P
模型：
duM FM m M dt M
Baidu Nhomakorabea
式中：F、m、u、t 为的合力、质量、流速和时间
相似系统中存在下列比尺关系
14.2.4 动力相似
动力相似： 原型与模型中对应点上作用的各同名力矢量 互相平行，且其大小具有同一比值。 例如：原型流动中作用有：重力、阻力、表面 张力，则模型流动中对应点上也应存在这三种力， ，并且各同名力矢量方向平行、比值保持相等。
一般作用在水流中的力有： 重力G
粘滞力T
压力P
表面张力S
弹性力
F ma FP Fr FM , mP mr mM , uP ur uM , t P t r t M
原型
FP m P duP du u mu du FP Fr FM mr m M r M r r m M M dt P dt r t M tr dt M
mr ur duM mr ur Fr FM mM ＝ FM tr dt M tr
如果作用于质点的合外力F ≠0，将此力 视为惯性力I，则所有的力（包括惯性力）构 成一个平衡力系，并组成一个封闭的力多 边形。
动力相似：原型与模型中对应点上作用的各同名力 矢量互相平行，且均具有同一比值。 动力相似：原型与模型中任意对应点的力多边形相似， 对应边（即同名力）成比例
原型
模型
14.2.4 边界条件和初始条件相似

层流区

du du du RJ , J dy R dy gR dy
P duP duM v vL M r 1 Re r 1, Re g P RP dy P g M RM dyM ur Lr
2
阻力

紊流阻力平方区
( gr 1)
vr 2 v2P v2M 1 FrP FrM g P LP g M LM gr Lr
VP L3 Vr 3P L3 r VM LM
14.2.3 运动相似
运动相似： 原型和模型对应点的流速、加速度向量相似
时间比尺：
流速比尺： 加速度比尺：
tP tr tM
vP LP t P Lr vr vM LM t M tr
2 aP LP t M Lr ar 2 2 aM LM t M tr
Lr L tr r tr ur
ur
将各比尺代入
Fr t r 1 m r ur
则
Fr FP FM 1 2 2 2 r L2 P L2 M L2 r vr PvP M vM
FP FM 2 2 P L2 M L2 PvP M vM
把无因次数
F L2 v 2
m r ur Fr tr
因此，对于相似的原型与模型流动，则
Fr t r 1 m r ur
从中可见，相似系统中物量的相似比尺相
互约束，四个相似比尺中三个可自由选取，剩
余一个由上述比尺关系确定。
由比尺定义，则
mr mP V P P rVr r Lr 3 m M M VM
14.1
14.2 14.4
概 述
相似的基本概念 相似准则
14.1
概 述
工程流体力学、水力学的问题大都较为复杂， 不能单纯依靠解析法、数值计算求解，必 须通过理论分析、数值计算与模型实验相结合的 方法加以解决。
模型试验
在几何尺寸缩小的模型上，观测流态、量测运 动要素，再后把模型实验中的实测数据引伸到原型。
2
阻力

紊流阻力平方区
Frr 1
1/ 6 Cr 1 r 1, nr L r

层流区
Rer 1
3
弹性力
E KL2
Fr Er K r Lr
2
Fr t t 1 代入 m r ur
Ca
则
P vP 2
KP

M vM 2
KM
v2
K

Ca P Ca M Car 1
2 vr 2 v2P v2M FrP2 FrM 1 gP LP J P gM LM J M JP JM gr Lr J r
vr 2 v2 J 2 Jr ＝ 2 C R C r Lr

紊流阻力平方区
2 FrP2 FrM According to Eq . mentioned above : JP JM
pP pM p Er P vP 2 M vM 2 v2 ErP ErM , Err 1
6
惯性力
u u I M V t t
Fr I r r Lr 3 ur r Lr 3 ur t r 1 tr
代入
Fr t r 1 m r ur
则
vP tP v t vt M M St P St M , St r 1, St LP LM L
称牛顿数，用Ne表示，则 NeP = NeM 两个流动相似的系统中牛顿数相等－牛顿相似准则
NeP = NeM
FP FM 2 2 P L2 M L2 PvP M vM
牛顿数是作用力的合力与惯性力之比值 牛顿数相等表示原型与模型流动中 作用力合力与惯性力比值相等
牛顿准则是判断两个系统流动相似的一般准则
14.2.1 几何相似
几何相似： 指原型和模型几何形状和几何尺寸相似，即原 型和模型的对应线性长度之比均保持一个定值。
Lr
LP BP HP = = = LM BM HM
式中，Lr 为长度比尺
长度比尺： 面积比尺： 体积比尺：
LP Lr LM
AP L2 Ar 2P Lr 2 AM LM
边界条件和初始条件相似
水流运动受到边界条件和初始条件的影响和制
约，要做到其流动相似，必须使两个系统的边界条
件和初始条件相似。 例如，原型：自由表面 固体边壁 给定瞬时tP 的流速vP 模型：自由表面 对应瞬时tP的流速vM
固体边壁
14.2.5 流动相似
1 流动相似：
原型与模型几何相似、运动相似，动力相似