平面与平面垂直的性质PPT

ab
a
l
a
b
温故知新:
1.面面垂直的定义 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二
面角是直二面角，就说这两个平面垂直. 2.面面垂直的判定定理
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个 平面垂直.
al
b
O
l l
^
b
a
a
^
b
作用：
线面垂直
面面垂直
提出问题：
如 果 将l l
^
b a
a
^
b
中 的条 件l
同
理b
^
l
l
^
a b A
证法2：设a n, b m,
在a 内作直线a ⊥n
在b 内作直线b⊥m
a^
同
理b
^
l aa bb
n
m
b // a
a a ba
b //a bb
a b l
b // l
b^
l
a b l
^
常用结论
1.两个平面垂直，则过某个平面内一点 垂直于另一个平面的直线在该平面内.
2.垂直于同一平面的直线和平面平行.
a a
3.如果两个相交平面都垂直于另一个平面, 那么这两个平面的交线垂直于这个平面.
练习
1.如图,AB是⊙O的直径,C是圆周上不同 于A，B的任意一点,平面PAC⊥平面ABC,
(1)求证: BC⊥平面PAC;
P
(2)判断平面PBC与平面PAC 是否垂直,并证明.
P
A
D
E
B
C
课堂小结
1.平面与平面垂直的性质定理：
b
a
b l
面面垂直
a^b
a b ba
l
b
^
b
b ^ l线面垂 直
2.面面垂直的性质推论：
a
P
a
b
a
b
a
l aa bb
c
b
n m
a a
a //a
l ^
作业
高效学习作业本P110.
2.已知两平面互相垂直,下列命题中正确 的有_B_个
①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内 的任意直线；
结论1：两个平面垂直，则过某个平面内 一点垂直于另一个平面的直线在该平面内.
思考2. 已知平面a ^ b , 且直线a a , a ^ b . 则直线a与平面a 位置关系如何?
a
b
a
b
结论2:垂直于同一平面的直线和平面平行.
(a a )
思考3.已知平面a , b , , 且b ^ , a ^ , b a l, 则直线l与平面 的位置关系如何?
平面与平面垂直的性质定理
两个平面垂直,则一个平面内垂直于交 线的直线与另一个平面垂直.
ab
l
b
a^ b aIb＝l
ba
b^l
b^b
作用: 面面垂直 线面垂直
思考1. 设平面a ^ 平面b，点P在平面a 内,
过点P 作平面b 的垂线a，直线a与
平面a且有什么关系？ a a
a
a
a. P
a
b
b .P
求证 : b ^ b .
证明 : 设直线b即AO交直线l于O点,
a
A b
l
在平面b内过O作直线OB ^ l,
O
Q b ^ l,即AO ^ l,
bB
\ AOB为a与b所成的二面角的平面角
又 Q a ^ b，\AOB 900 ,
即b ^ OB, 且b ^ l,
Q l I OB O \ b ^ b .
l
a
b
m
n
a .b
结论3:如果两个相交平面都垂直于另一个平 面,那么这两个平面的交线垂直于这个平面.
证法1：设a n, b m,
在 内任取一点A（不在 m,n上）,在 内过A点作直
b
线 a ⊥n，在 内过A点作
直线 b⊥m，
m
la
n
.A
a ^
a
a
^
n
n
l
a ^a a
a^l
C
A
.
B
O
例1.如图,已知 PA⊥平面ABC, 平面PAB⊥平面PBC, 求证：BC⊥平面PAB.
P
面面垂直
D A
线面垂直
C
B
线线垂直
证明： 过点A作AE⊥PB,垂足为E
∵平面PAB⊥平面PBC，
平面PAB∩平面PBC＝PB
∴AE⊥平面PBC. ∵BC 平面PBC,
Байду номын сангаас
P
∴AE⊥BC
∵PA⊥平面ABC，
②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面 内的无数条直线；
③一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个 平面；
④过一个平面内的任意一点做交线的垂线,则此 垂线必垂直于另一个平面。 A 3; B 2 ; C 1 ; D 0.
课后练习
3.已知平面a, b , , 且a ^ , a // b . 求证: b ^ .
平面与平面垂直的性质
直线与平面垂直的性质定理
垂直于同一个平面的两条直线平行.
ab
符号语言:
a
a b
^ ^
a a
a //
b
简 记: 作 用: 关 键:
线面垂直 线线平行 “垂直”变“平行”
寻找平面a
常用结论
1.两平行直线，其中一条垂直于一个平 面，则另一条直线也垂直于这个平面.
2.垂直于同一条直线的两个平面平行.
^
b
与结论
a ^ b 的 位置 调 换一 下 ， 构 造新 命题:
a^b l a
l
^
b
.则 该命 题 成立 吗?
al
b
O
分析问题：
如果平面a与平面b互相垂直，直线b在平 面a 内，那么直线 b 与平面b 的位置关系
有如下几种可能:
a
ba
b
a
b
b
b
b
如图,已知 :a ^ b ,a b l, b a , b ^ l.
(1) 证AB⊥平面ACD;
A
(2)在RT△ACD中求 2 15
斜边上的高CE
(3)tanq ＝2
5
B
E 30° M
C
N
D
练习 如图,四棱锥P－ABCD的底面是矩形， AB＝2，BC＝ 2 ，侧面PAB是等边三角形， 且侧面PAB⊥底面ABCD. (1)证明：侧面PAB⊥侧面PBC； (2)求侧棱PC与底面ABCD所成的角.
a
b
a
b
c
性质定理概念辩析
a
b
a^b
b
l
a b ba
l
b
^
b
b^l
a^b
b^l
a
b
b a
l
b
^
l( A)
a
b
b a
l
a
^
b
(B)
b^b
b^b
D
BC 平面PBC,
A
C ∴PA⊥BC.
故 BC⊥平面PAB B
例2.如图，将一副三角板拼成直二面角A–BC–D, 其中∠BAC＝90°, AB＝AC , ∠BCD＝90° , ∠CBD＝30°,
(1) 求证: 平面BAD⊥平面CAD; (2) 若CD＝2, 求C 到平面BAD的距离; (3) 求二面角A–BD–C的正切值.