工科数学分析-数集和确界原理.
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则称数ξ为数集S的下确界，记作ξ=infS.
定义3'（下确界的等价定义）设S是R中的一个数集，若数ξ满足：
1）ξ是S下界；
2）∀ε＞0，x0∈S,有x0＜ξ+ε.
则称数ξ为数集S的下确界。
上确界与下确界统称为确界.
注：非空有界数集的上（或下）确界是唯一的.
命题设数集A有上（下）确界，则这上（下）确界必是唯一的.
《数学分析》上册教案第一章实数集与函数石家庄经济学院数理学院
§1.2数集和确界原理
授课章节：第一章实数集与函数---§1.2数集和确界原理
教学目标：使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念.
教学要求：(1)掌握邻域的概念；
(2)理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运用.
教学重点：确界的概念及其有关性质（确界原理）.
综上所述知：N+是有下界无上界的数集，因而是无界集.
例2证明：（1）任何有限区间都是有界集；（2）无限区间都是无界集；（3）由有限个数组成的数集是有界集.
问题：若数集S有上界，上界是唯一的吗？对下界呢？(答：不唯一，有无穷多个).
三、确界与确界原理
1、定义
定义2（上确界）设S是R中的一个数集，若数η满足：(1)对一切x∈S,有x≤η（即η是S的上界）; (2)对任何α<η，存在x0∈S，使得x0>α（即η是S的上界中最小的一个），
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《数学分析》上册教案第一章实数集与函数石家庄经济学院数理学院
U(a;δ)={x|x-a|<δ}=(a-δ,a+δ).
2、点a的空心δ邻域
U(a;δ)={x0<|x-a|<δ}=(a-δ,a)⋃(a,a+δ) U(a). oo
3、a的δ右邻域和点a的空心δ右邻域
U+(a;δ)=[a,a+δ) U+(a)={xa≤x<a+δ};
E={-5,0,3,9,11}则有infE=-5.
开区间(a,b)与闭区间[a,b]有相同的上确界b与下确界a.
例3设S和A是非空数集，且有S⊃A.则有supS≥supA, infS≤infA..
例4设A和B是非空数集.若对∀x∈A和∀y∈B,都有x≤y,则有
supA≤infB.
证明∀y∈B, y是A的上界, ⇒ supA≤y. ⇒ supA是B的下界,
(二)邻域
联想：“邻居”.字面意思：“邻近的区域”.（看左图）.与a邻近的“区域”很多，到底哪一类是我们所要讲的“邻域”呢？就是“关于a的对称区间”；如何用数学语言来表达呢？
1、a的δ邻域：设a∈R,δ>0，满足不等式|x-a|<δ的全体实数x的集合称为点a的δ邻域，记作U(a;δ)，或简记为U(a)，即
U+(a;δ)=(a,a+δ) U+(a)={xa<x<a+δ}.00
4、点a的δ左邻域和点a的空心δ左邻域
U-(a;δ)=(a-δ,a] U-(a)={xa-δ<x≤a};
U(a;δ)=(a-δ,a) U+(a)={xa-δ<x<a}.0-0
5、∞邻域，+∞邻域，-∞邻域
U(∞)={x|x|>M},（其中M为充分大的正数）；
⎪⎧闭开区间:{x∈R|a≤x<b}=[a,b)⎪半开半闭区间⎪⎨⎪⎪⎩开闭区间:{x∈R|a<x≤b}=(a,b]⎩
⎧{x∈R|x≥a}=[a,+∞).
⎪
⎪{x∈R|x≤a}=(-∞,a].
⎪无限区间⎨{x∈R|x>a}=(a,+∞).
⎪{x∈R|x<a}=(-∞,a).⎪
⎪{x∈R|-∞<x<+∞}=R.⎩
8 M-ε.
《数学分析》上册教案第一章实数集与函数石家庄经济学院数理学院证明设η=supA，η'=supA且η≠η'，则不妨设η<η'
η=supA⇒∀x∈A有x≤η
η'=supA⇒对η<η'，∃x0∈A使η<x0，矛盾.
例supR-=0，sup ⎫⎛n⎫1，=1inf⎪⎪=+ +n∈Zn+1n+1n∈Z⎝⎭⎝⎭2⎛n
2）上（下）界与S的关系如何？看下例：
例1讨论数集N+={n|n为正整数}的有界性.
分析：有界或无界←上界、下界？下界显然有，如取L=1；上界似乎无，但需要证明. 7
《数学分析》上册教案第一章实数集与函数石家庄经济学院数理学院
解：任取n0∈N+，显然有n0≥1，所以N+有下界1；但N+无上界.证明如下：假设N+有上界M,则M>0，按定义，对任意n0∈N+，都有n0≤M，这是不可能的，如取n0=[M]+1,则n0∈N+，且n0>M.
U(+∞)={xx>M}, U(-∞)={xx<-M}
二、有界集与无界集
什么是“界”？
定义1（上、下界）：设S为R中的一个数集.若存在数M(L)，使得一切x∈S都有x≤M(x≥L)，则称S为有上（下）界的数集.数M(L)称为S的上界（下界）；若数集S既有上界，又有下界，则称S为有界集.
闭区间、(a,b) (a,b为有限数）、邻域等都是有界数集，
⇒ supA≤infB.
例5 A和B为非空数集, S=A B.试证明: infS=min{ infA , infB }.
证明∀x∈S,有x∈A或x∈B,由infA和infB分别是A和B的下界,有
教学难点：确界的定义及其应用.
教学方法：讲授为主.
教学过程：先通过练习形式复习上节课的内容，以检验学习效果，此后导入新课.
一、区间与邻域
(一)区间（用来表示变量的变化范围）
设a,b∈R且a<b.
⎧有限区间区间⎨，其中
⎩无限区间
⎧
⎪.⎪开区间: {x∈R|a<x<b}=(a,b)
⎪有限区间⎨闭区间: {x∈R|a≤x≤b}=[a,b].
集合E={y y=sinx, x∈ ( -∞ , +∞ )}也是有界数集.
若数集S不是有界集，则称S为无界集.
( -∞ , +∞ ) , ( -∞ , 0 ) , ( 0 , +∞ )等都是无界数集,
集合E=⎨y y=
⎩⎧1⎫, x∈( 0 , 1 )⎬也是无界数集. x⎭
注：1）上（下）界若存在，不唯一；
则称数η为数集S的上确界，记作η=supS.
定义2'（上确界的等价定义）设E是R中的一个数集，若数M满足：Fra Baidu bibliotek
1）M是E上界，
2）∀ε>0,∃x'∈E使得x'>
则称数M为数集E的上确界。
定义3（下确界）设S是R中的一个数集，若数ξ满足：（1）对一切x∈S,有x≥ξ（即ξ是S的下界）；（2）对任何β>ξ，存在x0∈S，使得x0<β（即ξ是S的下界中最大的一个），
定义3'（下确界的等价定义）设S是R中的一个数集，若数ξ满足：
1）ξ是S下界；
2）∀ε＞0，x0∈S,有x0＜ξ+ε.
则称数ξ为数集S的下确界。
上确界与下确界统称为确界.
注：非空有界数集的上（或下）确界是唯一的.
命题设数集A有上（下）确界，则这上（下）确界必是唯一的.
《数学分析》上册教案第一章实数集与函数石家庄经济学院数理学院
§1.2数集和确界原理
授课章节：第一章实数集与函数---§1.2数集和确界原理
教学目标：使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念.
教学要求：(1)掌握邻域的概念；
(2)理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运用.
教学重点：确界的概念及其有关性质（确界原理）.
综上所述知：N+是有下界无上界的数集，因而是无界集.
例2证明：（1）任何有限区间都是有界集；（2）无限区间都是无界集；（3）由有限个数组成的数集是有界集.
问题：若数集S有上界，上界是唯一的吗？对下界呢？(答：不唯一，有无穷多个).
三、确界与确界原理
1、定义
定义2（上确界）设S是R中的一个数集，若数η满足：(1)对一切x∈S,有x≤η（即η是S的上界）; (2)对任何α<η，存在x0∈S，使得x0>α（即η是S的上界中最小的一个），
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U(a;δ)={x|x-a|<δ}=(a-δ,a+δ).
2、点a的空心δ邻域
U(a;δ)={x0<|x-a|<δ}=(a-δ,a)⋃(a,a+δ) U(a). oo
3、a的δ右邻域和点a的空心δ右邻域
U+(a;δ)=[a,a+δ) U+(a)={xa≤x<a+δ};
E={-5,0,3,9,11}则有infE=-5.
开区间(a,b)与闭区间[a,b]有相同的上确界b与下确界a.
例3设S和A是非空数集，且有S⊃A.则有supS≥supA, infS≤infA..
例4设A和B是非空数集.若对∀x∈A和∀y∈B,都有x≤y,则有
supA≤infB.
证明∀y∈B, y是A的上界, ⇒ supA≤y. ⇒ supA是B的下界,
(二)邻域
联想：“邻居”.字面意思：“邻近的区域”.（看左图）.与a邻近的“区域”很多，到底哪一类是我们所要讲的“邻域”呢？就是“关于a的对称区间”；如何用数学语言来表达呢？
1、a的δ邻域：设a∈R,δ>0，满足不等式|x-a|<δ的全体实数x的集合称为点a的δ邻域，记作U(a;δ)，或简记为U(a)，即
U+(a;δ)=(a,a+δ) U+(a)={xa<x<a+δ}.00
4、点a的δ左邻域和点a的空心δ左邻域
U-(a;δ)=(a-δ,a] U-(a)={xa-δ<x≤a};
U(a;δ)=(a-δ,a) U+(a)={xa-δ<x<a}.0-0
5、∞邻域，+∞邻域，-∞邻域
U(∞)={x|x|>M},（其中M为充分大的正数）；
⎪⎧闭开区间:{x∈R|a≤x<b}=[a,b)⎪半开半闭区间⎪⎨⎪⎪⎩开闭区间:{x∈R|a<x≤b}=(a,b]⎩
⎧{x∈R|x≥a}=[a,+∞).
⎪
⎪{x∈R|x≤a}=(-∞,a].
⎪无限区间⎨{x∈R|x>a}=(a,+∞).
⎪{x∈R|x<a}=(-∞,a).⎪
⎪{x∈R|-∞<x<+∞}=R.⎩
8 M-ε.
《数学分析》上册教案第一章实数集与函数石家庄经济学院数理学院证明设η=supA，η'=supA且η≠η'，则不妨设η<η'
η=supA⇒∀x∈A有x≤η
η'=supA⇒对η<η'，∃x0∈A使η<x0，矛盾.
例supR-=0，sup ⎫⎛n⎫1，=1inf⎪⎪=+ +n∈Zn+1n+1n∈Z⎝⎭⎝⎭2⎛n
2）上（下）界与S的关系如何？看下例：
例1讨论数集N+={n|n为正整数}的有界性.
分析：有界或无界←上界、下界？下界显然有，如取L=1；上界似乎无，但需要证明. 7
《数学分析》上册教案第一章实数集与函数石家庄经济学院数理学院
解：任取n0∈N+，显然有n0≥1，所以N+有下界1；但N+无上界.证明如下：假设N+有上界M,则M>0，按定义，对任意n0∈N+，都有n0≤M，这是不可能的，如取n0=[M]+1,则n0∈N+，且n0>M.
U(+∞)={xx>M}, U(-∞)={xx<-M}
二、有界集与无界集
什么是“界”？
定义1（上、下界）：设S为R中的一个数集.若存在数M(L)，使得一切x∈S都有x≤M(x≥L)，则称S为有上（下）界的数集.数M(L)称为S的上界（下界）；若数集S既有上界，又有下界，则称S为有界集.
闭区间、(a,b) (a,b为有限数）、邻域等都是有界数集，
⇒ supA≤infB.
例5 A和B为非空数集, S=A B.试证明: infS=min{ infA , infB }.
证明∀x∈S,有x∈A或x∈B,由infA和infB分别是A和B的下界,有
教学难点：确界的定义及其应用.
教学方法：讲授为主.
教学过程：先通过练习形式复习上节课的内容，以检验学习效果，此后导入新课.
一、区间与邻域
(一)区间（用来表示变量的变化范围）
设a,b∈R且a<b.
⎧有限区间区间⎨，其中
⎩无限区间
⎧
⎪.⎪开区间: {x∈R|a<x<b}=(a,b)
⎪有限区间⎨闭区间: {x∈R|a≤x≤b}=[a,b].
集合E={y y=sinx, x∈ ( -∞ , +∞ )}也是有界数集.
若数集S不是有界集，则称S为无界集.
( -∞ , +∞ ) , ( -∞ , 0 ) , ( 0 , +∞ )等都是无界数集,
集合E=⎨y y=
⎩⎧1⎫, x∈( 0 , 1 )⎬也是无界数集. x⎭
注：1）上（下）界若存在，不唯一；
则称数η为数集S的上确界，记作η=supS.
定义2'（上确界的等价定义）设E是R中的一个数集，若数M满足：Fra Baidu bibliotek
1）M是E上界，
2）∀ε>0,∃x'∈E使得x'>
则称数M为数集E的上确界。
定义3（下确界）设S是R中的一个数集，若数ξ满足：（1）对一切x∈S,有x≥ξ（即ξ是S的下界）；（2）对任何β>ξ，存在x0∈S，使得x0<β（即ξ是S的下界中最大的一个），