伪随机序列
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2 n i 0
n
（2-2）
（3）母函数
Gx a0 a1 x a2 x ak x k
2 k 0
（2-3）
二、m序列
5、 m序列产生器有关的定理 （1）定理1： hx f xGx的次数低于f(x)的次数。
[证明]
n n G x a k x k c i a k i x k i x i c i x i a k i x k i k 0 k 0 i 1 i 1 k 0 n i i 1i 1 k ci x a i x a1i x a 1 x a k x i 1 k 0
五、Reed-Solomon码
简称为RS码，是q进制的循环码；
元素总数： 信息位数： 码距： q=2m； k； d=N-k+1；
码序列长度： N=q-1=2m-1； 码序列总数： qk=2km； 主要用于调频图案选择。
六、伪随机序列的应用
1. 误码率测量
闭环测量法
单程测量法
j 0 j 0
自适应校相滤波器（AF）
s j Байду номын сангаас
窄带 滤波器 st cos0 0
g j t
窄带 滤波器
f j t
g j t cos c 0 t j c j 0 f j t A j M t j cos 0 t 0
1 n2 2 1, n为 奇 数 R A, B k n 2 2 2 1, n为 偶 数 ， n4
则f(x)和g(x)所产生的m序列A和B 构成一对优选对。比如，n=6，103和147 构成优选对（17）；103和155不是优选对（23）。
四、Gold序列
产生Gold序列的结构：
1、定义 m序列是最长线性反馈移位寄存器序列的简称，它是由带线 性反馈的移位寄存器产生的周期最长的一种序列。 2、 m序列产生器举例
n=4级移位寄存器；设初始状态为：1000； 最长周期为p=15=2n-1。
二、m序列
3、 m序列产生器的一般表示
n级移位寄存器，设初始状态为：a-1a-2…a-n；c0=cn=1； 经过n次移位后，状态变为： an-1an-2…a1a0；
p LCM ( p1 , p2 ) p1 p2 2n1 1 2n2 1 2n 1
二、m序列
5、 m序列产生器有关的定理
（4）定理4：一个n级移位寄存器的特征多项式f(x)若为既约的，则由其产生 的序列A={ak} 的周期等于使f(x) 能整除的（xp+1）中最小正整数p。 [证明] 若序列A具有周期p ， f(x) 一定能整除（xp+1）：
hx / f x Gx ak x k a0 a p 1 x p 1 1 x p x 2 p
k 0
若f(x) 能整除（xp+1），令其商为 b0 b1 x bp1 x p1，则由其产生的 序列A具有周期p （与初始状态无关）。令a-n=1，其他为0，则：
二、m序列
5、 m序列产生器有关的定理
（3）定理3：若序列A={ak}具有最大周期p=2n-1，则其特征多项 式f（x）应为既约多项式（不可分解因子的多项式）。
[证明]假设f（x）可分解成两个因子，则：
f(x)= f1(x) f2(x)。次数分别为n1和n2，且n1+n2 =n； G(x)=h(x)/f(x)=h1(x)/f1(x)+h2(x)/f2(x)= G1(x)+G2(x)； G(x)的周期p是p1和p2的最小公倍数
ci x a i x a1i x a 1 x
i i 1i i 1
n
1
c x Gx
n i i 1 i
h x c i x i G x
i 1
n
二、m序列
5、 m序列产生器有关的定理
（2）定理2：n级线性反馈移位寄存器之相继状态具有周期性， 其周期p 2n-1。 [证明] n级线性反馈移位寄存器最多有2n个状态； 不能有全零状态；
定 理 6.6.2. 循 环 码 中 的 所 有 码 多 式 c( x)都 是 g ( x)的 倍 式 ， g ( x )称 为 循 环 码 的 生 成 多 项 式 而 且 是 唯 一 的 。
定 理 6.6.3若C是Rn中 的 循 环 码 ， 则 生 成 多 项 是 x n 1的 因 式 。 反 之 ， 若 C的 最 低 次 首 一 C的 多 项 式
四、Gold序列
数目大、易于产生、实用；
由两个相同码长和相同码速率的m序列优选对模2和构成； 每改变两个m序列相对位移就可得到一个新的 Gold序列。当相对位移(2n-1) 比特时，就可得到一族(2n-1)个Gold序列。再加上两个m序列本身，共有
(2n+1)个Gold序列。
m序列优选对：设A是对应于n级本原多项式f(x)所产生的m序列， B是对应 于n级本原多项式g(x)所产生的m序列，当它们的互相关函数满足
六、伪随机序列的应用
5. 分离多径
如果本地 m 序列发生器的 输出为 M （ t-3∆ ） , 则积分 后的输出为
s t
j 0 j
3
延迟线
AF
AF
AF
AF
A0 A1 A2 A3
s t cos 0 0
相加器
积分
m序列发生器
循环码
定义6.6.1(p188) 一个二元(N, L)线性分组码C，若对任意c=(c0, c1, c2, …, cN-1)∈C，恒有c’=(cN-1, c0, c1, …, cN-2)∈C，则称C 为二元循环码。
Gx hx / f x 1 / f x b0 b1 x b p 1 x p1 / 1 x p bk x k
k 0
二、m序列
5、 m序列产生器有关的定理
（5）定理5：一线性反馈移位寄存器能产生m序列的充要条件为：线性反馈 移位寄存器的特征多项式f(x)为本原多项式。 [证明] n次多项式f(x)满足下列条件，则称为本原多项式。 f(x) 为既约的； f(x)可整除(xp+1)，p=2n-1； f(x)不可整除(xq+1)，q < p； [例]要求用一个4级反馈移存器产生m序列，试求其特征多项式。
伪随机序列
一、概述
扩展码应具有随机白噪声统计特性； 随机白噪声难以重复产生和处理； 伪随机序列（或称为：伪随机码、伪随机信号、PN码等等） 具有随机白噪声的特性，且易于重复产生和处理； 通常产生伪随机序列的电路由反馈移位寄存器构成； 分为线性反馈和非线性反馈两大类。
二、m序列
六、伪随机序列的应用
2. 时延测量
时延测量原理
实际时延测量
六、伪随机序列的应用
3. 噪声发生器
m序列的功率谱密度是Sa2(x)形的；
设m序列的码元宽度为Tc，则在（0，45%1/ Tc ）频率范围内， 可以认为它具有均匀的功率谱密度； 所以可以用m序列的这部分频谱作为白噪声发生器的输出； 将m序列进行滤波，可以得到各种统计特性的噪声。
六、伪随机序列的应用
4. 通信加密和数据扰乱
1 1.3 10151 134 2 10 2 365 24 60 60 109 年才能破译这个密码！
比如n=10时，假设破秘者用计算机搜索，试探一次M序列平 均用时1ns，则平均约需
六、伪随机序列的应用
5. 多径分离 L 1 L 1 设接收信号为 s j t A j M t j cosc t j j
g ( x)是x n 1的 因 式 ， 则 g ( x)是C的 最 低 次 首 一 多 项 式 。
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二元循环码的产生过程 取二元域GF(2)=({0, 1}, (mod2)加法, (mod2)乘法)。 取GF(2)上的N次多项式1+xN。取多项式1+xN的（在GF(2)上的） 一个N-L次因式g(x)：g(x)=g0+g1 x1+g2 x2+…+gN-L xN-L。
1
1 1
2
1 1
3
2 2
4
2 16
5
6 2048
6
6 6e7
7
18 1e17
8
16 1e36
9
48 2e74
10
60 1e151
n级M序列数目 2 n级m序列数目
2n 1 n
2n 1 n
x 1 1, k a 1 x pi i pi 1, x 1 i 1 x p素 数 p 1,
an c1an1 c2 an2 cn a0 ci ani
i 1
n
二、m序列
4、 m序列产生器有关的基本关系式
（1）递推方程
a k ci a k i
i 1
n
（2-1）
（2）特征方程（或特征多项式）
f x c0 c1 x c2 x cn x ci x i
则对应的m序列结构分别为：
三、M序列
由非线性反馈移位寄存器产生的周期最长的序列简称 为M序列； 与m序列相比多出一个全零状态，所以p=2n； 利用非线性反馈实现全零状态的转换； M序列数目巨大； 产生困难，有待进一步研究。
三、M序列
n级m序列和M序列数目比较
n
m序列数目 M序列数目
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27
如此产生的二元循环码的译码 设接收向量为y=(y0, y1 , y2, …, yN-1)。记 y(x)=y0+y1 x1+y2 x2+…+yN-1xN-1 。 用g(x)除y(x)，得余式s(x)=s0+s1 x1+s2 x2+…+sN-L-1xN-L-1 。 则此时： 除式y(x)=q(x)g(x)+s(x)也可以表示成y(x)≡s(x)(modg(x))。 余式s(x)的次数一定不超过N-L-1。 N-L维向量s=(s0, s1, s2, …, sN-L-1)就是接收向量y的伴随式。（因 而不需要校验矩阵）
1、串联 2、并联 比如， n=6，103和147，对应的本原多项式分别为
6 f x x x 1 6 5 2 g x x x x x 1
f xg x x12 x11 x8 x 6 x 5 x 3 1
串/并联Gold发生器结构分别为：
R
1 x x f x
n
[例]n=7，反馈系数为211，对应的本原多项式及其镜像序列分别为
f x x 7 x 3 1, 211 R 7 1 7 4 f x x f x x 1, 221 x
1 1 p 2 k f Pc f p 2 f p 2 Sa fTc k T b k 0 Tb pTc
二、m序列
8、 m序列构成举例
本原多项式的8进制表示; 镜像序列
f
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c( x) c0 c1 x cn x n1称 为 码 多 项 式 ， c( x) x mod x n 1 cn1 c0 x cn 2 x n 1
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定理6.6.1若 c( x) c0 c1x cm xm1 为一个循环码多 b ( x ) R, 项式， 则 b( x)c( x) modx n 1 也是一个码多项式
15 4 4 3 4 3 2 2 x 1 x x 1 x x 1 x x x x 1 x x 1 x 1 5 4 3 2 x 1 x x x x 1 x 1
二、m序列
6、 m序列的自相关函数 j0 1, 1 p1 R x j x i xi j p i 0 1 / p, j 0 离散自相关函数 连续自相关函数 7、 m序列的功率谱密度
n
（2-2）
（3）母函数
Gx a0 a1 x a2 x ak x k
2 k 0
（2-3）
二、m序列
5、 m序列产生器有关的定理 （1）定理1： hx f xGx的次数低于f(x)的次数。
[证明]
n n G x a k x k c i a k i x k i x i c i x i a k i x k i k 0 k 0 i 1 i 1 k 0 n i i 1i 1 k ci x a i x a1i x a 1 x a k x i 1 k 0
五、Reed-Solomon码
简称为RS码，是q进制的循环码；
元素总数： 信息位数： 码距： q=2m； k； d=N-k+1；
码序列长度： N=q-1=2m-1； 码序列总数： qk=2km； 主要用于调频图案选择。
六、伪随机序列的应用
1. 误码率测量
闭环测量法
单程测量法
j 0 j 0
自适应校相滤波器（AF）
s j Байду номын сангаас
窄带 滤波器 st cos0 0
g j t
窄带 滤波器
f j t
g j t cos c 0 t j c j 0 f j t A j M t j cos 0 t 0
1 n2 2 1, n为 奇 数 R A, B k n 2 2 2 1, n为 偶 数 ， n4
则f(x)和g(x)所产生的m序列A和B 构成一对优选对。比如，n=6，103和147 构成优选对（17）；103和155不是优选对（23）。
四、Gold序列
产生Gold序列的结构：
1、定义 m序列是最长线性反馈移位寄存器序列的简称，它是由带线 性反馈的移位寄存器产生的周期最长的一种序列。 2、 m序列产生器举例
n=4级移位寄存器；设初始状态为：1000； 最长周期为p=15=2n-1。
二、m序列
3、 m序列产生器的一般表示
n级移位寄存器，设初始状态为：a-1a-2…a-n；c0=cn=1； 经过n次移位后，状态变为： an-1an-2…a1a0；
p LCM ( p1 , p2 ) p1 p2 2n1 1 2n2 1 2n 1
二、m序列
5、 m序列产生器有关的定理
（4）定理4：一个n级移位寄存器的特征多项式f(x)若为既约的，则由其产生 的序列A={ak} 的周期等于使f(x) 能整除的（xp+1）中最小正整数p。 [证明] 若序列A具有周期p ， f(x) 一定能整除（xp+1）：
hx / f x Gx ak x k a0 a p 1 x p 1 1 x p x 2 p
k 0
若f(x) 能整除（xp+1），令其商为 b0 b1 x bp1 x p1，则由其产生的 序列A具有周期p （与初始状态无关）。令a-n=1，其他为0，则：
二、m序列
5、 m序列产生器有关的定理
（3）定理3：若序列A={ak}具有最大周期p=2n-1，则其特征多项 式f（x）应为既约多项式（不可分解因子的多项式）。
[证明]假设f（x）可分解成两个因子，则：
f(x)= f1(x) f2(x)。次数分别为n1和n2，且n1+n2 =n； G(x)=h(x)/f(x)=h1(x)/f1(x)+h2(x)/f2(x)= G1(x)+G2(x)； G(x)的周期p是p1和p2的最小公倍数
ci x a i x a1i x a 1 x
i i 1i i 1
n
1
c x Gx
n i i 1 i
h x c i x i G x
i 1
n
二、m序列
5、 m序列产生器有关的定理
（2）定理2：n级线性反馈移位寄存器之相继状态具有周期性， 其周期p 2n-1。 [证明] n级线性反馈移位寄存器最多有2n个状态； 不能有全零状态；
定 理 6.6.2. 循 环 码 中 的 所 有 码 多 式 c( x)都 是 g ( x)的 倍 式 ， g ( x )称 为 循 环 码 的 生 成 多 项 式 而 且 是 唯 一 的 。
定 理 6.6.3若C是Rn中 的 循 环 码 ， 则 生 成 多 项 是 x n 1的 因 式 。 反 之 ， 若 C的 最 低 次 首 一 C的 多 项 式
四、Gold序列
数目大、易于产生、实用；
由两个相同码长和相同码速率的m序列优选对模2和构成； 每改变两个m序列相对位移就可得到一个新的 Gold序列。当相对位移(2n-1) 比特时，就可得到一族(2n-1)个Gold序列。再加上两个m序列本身，共有
(2n+1)个Gold序列。
m序列优选对：设A是对应于n级本原多项式f(x)所产生的m序列， B是对应 于n级本原多项式g(x)所产生的m序列，当它们的互相关函数满足
六、伪随机序列的应用
5. 分离多径
如果本地 m 序列发生器的 输出为 M （ t-3∆ ） , 则积分 后的输出为
s t
j 0 j
3
延迟线
AF
AF
AF
AF
A0 A1 A2 A3
s t cos 0 0
相加器
积分
m序列发生器
循环码
定义6.6.1(p188) 一个二元(N, L)线性分组码C，若对任意c=(c0, c1, c2, …, cN-1)∈C，恒有c’=(cN-1, c0, c1, …, cN-2)∈C，则称C 为二元循环码。
Gx hx / f x 1 / f x b0 b1 x b p 1 x p1 / 1 x p bk x k
k 0
二、m序列
5、 m序列产生器有关的定理
（5）定理5：一线性反馈移位寄存器能产生m序列的充要条件为：线性反馈 移位寄存器的特征多项式f(x)为本原多项式。 [证明] n次多项式f(x)满足下列条件，则称为本原多项式。 f(x) 为既约的； f(x)可整除(xp+1)，p=2n-1； f(x)不可整除(xq+1)，q < p； [例]要求用一个4级反馈移存器产生m序列，试求其特征多项式。
伪随机序列
一、概述
扩展码应具有随机白噪声统计特性； 随机白噪声难以重复产生和处理； 伪随机序列（或称为：伪随机码、伪随机信号、PN码等等） 具有随机白噪声的特性，且易于重复产生和处理； 通常产生伪随机序列的电路由反馈移位寄存器构成； 分为线性反馈和非线性反馈两大类。
二、m序列
六、伪随机序列的应用
2. 时延测量
时延测量原理
实际时延测量
六、伪随机序列的应用
3. 噪声发生器
m序列的功率谱密度是Sa2(x)形的；
设m序列的码元宽度为Tc，则在（0，45%1/ Tc ）频率范围内， 可以认为它具有均匀的功率谱密度； 所以可以用m序列的这部分频谱作为白噪声发生器的输出； 将m序列进行滤波，可以得到各种统计特性的噪声。
六、伪随机序列的应用
4. 通信加密和数据扰乱
1 1.3 10151 134 2 10 2 365 24 60 60 109 年才能破译这个密码！
比如n=10时，假设破秘者用计算机搜索，试探一次M序列平 均用时1ns，则平均约需
六、伪随机序列的应用
5. 多径分离 L 1 L 1 设接收信号为 s j t A j M t j cosc t j j
g ( x)是x n 1的 因 式 ， 则 g ( x)是C的 最 低 次 首 一 多 项 式 。
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二元循环码的产生过程 取二元域GF(2)=({0, 1}, (mod2)加法, (mod2)乘法)。 取GF(2)上的N次多项式1+xN。取多项式1+xN的（在GF(2)上的） 一个N-L次因式g(x)：g(x)=g0+g1 x1+g2 x2+…+gN-L xN-L。
1
1 1
2
1 1
3
2 2
4
2 16
5
6 2048
6
6 6e7
7
18 1e17
8
16 1e36
9
48 2e74
10
60 1e151
n级M序列数目 2 n级m序列数目
2n 1 n
2n 1 n
x 1 1, k a 1 x pi i pi 1, x 1 i 1 x p素 数 p 1,
an c1an1 c2 an2 cn a0 ci ani
i 1
n
二、m序列
4、 m序列产生器有关的基本关系式
（1）递推方程
a k ci a k i
i 1
n
（2-1）
（2）特征方程（或特征多项式）
f x c0 c1 x c2 x cn x ci x i
则对应的m序列结构分别为：
三、M序列
由非线性反馈移位寄存器产生的周期最长的序列简称 为M序列； 与m序列相比多出一个全零状态，所以p=2n； 利用非线性反馈实现全零状态的转换； M序列数目巨大； 产生困难，有待进一步研究。
三、M序列
n级m序列和M序列数目比较
n
m序列数目 M序列数目
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如此产生的二元循环码的译码 设接收向量为y=(y0, y1 , y2, …, yN-1)。记 y(x)=y0+y1 x1+y2 x2+…+yN-1xN-1 。 用g(x)除y(x)，得余式s(x)=s0+s1 x1+s2 x2+…+sN-L-1xN-L-1 。 则此时： 除式y(x)=q(x)g(x)+s(x)也可以表示成y(x)≡s(x)(modg(x))。 余式s(x)的次数一定不超过N-L-1。 N-L维向量s=(s0, s1, s2, …, sN-L-1)就是接收向量y的伴随式。（因 而不需要校验矩阵）
1、串联 2、并联 比如， n=6，103和147，对应的本原多项式分别为
6 f x x x 1 6 5 2 g x x x x x 1
f xg x x12 x11 x8 x 6 x 5 x 3 1
串/并联Gold发生器结构分别为：
R
1 x x f x
n
[例]n=7，反馈系数为211，对应的本原多项式及其镜像序列分别为
f x x 7 x 3 1, 211 R 7 1 7 4 f x x f x x 1, 221 x
1 1 p 2 k f Pc f p 2 f p 2 Sa fTc k T b k 0 Tb pTc
二、m序列
8、 m序列构成举例
本原多项式的8进制表示; 镜像序列
f
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c( x) c0 c1 x cn x n1称 为 码 多 项 式 ， c( x) x mod x n 1 cn1 c0 x cn 2 x n 1
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定理6.6.1若 c( x) c0 c1x cm xm1 为一个循环码多 b ( x ) R, 项式， 则 b( x)c( x) modx n 1 也是一个码多项式
15 4 4 3 4 3 2 2 x 1 x x 1 x x 1 x x x x 1 x x 1 x 1 5 4 3 2 x 1 x x x x 1 x 1
二、m序列
6、 m序列的自相关函数 j0 1, 1 p1 R x j x i xi j p i 0 1 / p, j 0 离散自相关函数 连续自相关函数 7、 m序列的功率谱密度