模糊数学教程第6章 确定隶属函数的方法

（４）条件Ｓ，它联系着对模糊概念所进行的划分 过程的全部客观或心理的因素，制约者Ａ*的运动。
Remark:
模糊统计法的基本要求是在每次实验中，对u0是 否属于 A 作出确切的判断，即要求在每次试验中， Ａ*必须确定。 模糊统计试验的特点：在各次试验中 u0固定，Ａ*是变的，这点不同于随机试验. 隶属度计算公式为:
这里 (x)
x
1 2
e dt
t2 2
增量法（Incremental） 例１、设论域Ｘ＝[0, 200]（单位:岁），又设 A F (X),

且定义 A 为老年，求其隶属函数 A(x).


解：任给x一个增量 x, 相应地 A(x)也有一个增量 A(x x) A(x), 假定
第6章 确定隶属函数的方法
一、确定隶属函数的原则 二、Delphi法 三、模糊统计法 四、增量法 五、因素加权平均法
隶属函数(Membership function)是建 立模糊集的基础，它在模糊数学中占有 突出的地位。隶属函数的确定，无论从 理论上还是实践上都是模糊数学及其应 用的基本而关键的问题。本章介绍确定 隶属函数的原则和方法。
n
其中 u (u1 , ...,un ) U,(1 , 2 ,, n）是权重向量，且

i 1
n
i
1 （i 1, 2, ...,n) 反映了第i个因素的重要程度 ，i
例如，用模糊集 A 表示学生集合上的“优秀 生“，将”优秀生“分成思想好、学习好、 身体 好、团结好、纪律好诸因素，学生属于”优秀生”的 隶 属度 A(u)就等于u属于５个因素的隶属度 Ai (ui ) 的加 权平均，即

对于 m11 ,m12 ,,m1n 计算平均值 m1 和离差 d1 :
1 n m1 m1i , n i 1
1 n 2 d1 m1i m1 n i 1
（３）不记名将全部数据 m11 ,m12 , ,m1n ,m1 ,d1 送交 每位专家，同时附上进一步的补充资料，请每位 专家在阅读和思考之后，给出新的估计值：
xa 1, A(x) A(x) x a 2 ( ) 1 e ,x a
( x a )2 ,x a e A(x) 1,a x b ( x b )2 e , x b
此时 m 称为 A(u0 ) 在信任度 e 下的估计值，若 e 值 较高，从而达到标准，从而 A(u0 ) 取作 m, 否则，虽 可暂时使用m, 但要特别注意信息反馈，不断通过 “学习过程”，完 善
A(u 0 ) m

Remark:
Delphi法特别适用于有限论域上的模糊集，即模糊 向量的估计，且最好是让专家一次给出对各元素隶 属度的估计值。
A(u) b A i (u i ) i 1
n
i
其中 u (u1 ,u 2 , ,un ) U, (1 , 1 , , n ) 是权重向 量，b是一个适当选取的常数，以保证 A(u) [0,1]

(3)混合型 如果决定 A(u) 的 Ai (ui ) 可分成两部分，一部分是累加
1, x a A(x) 0, x a 0, x a A(x) 1, x a 0, x a A(x) 1,a x b 0, x b
1
a
1
a
1
a
b
(２) 正态分布(normal distribution )： ①偏小型
1 2 n
其中mi是第i位专家的估计值，并请每个人标出各自对
所做估计值 的信任度，记为 e1 ,e2 ,,en , 这里ei表示第i
位专家对自己的估计的把握程度，并且规定 ei [0,1], 第 有绝对把握时， ei＝１；毫无把握时，取ei＝０； 其 它情形，取 0 ei 1.
1 （６）计算 m M
iM
m,
i
n
其中 M {i ei ;i 1, 2, ...,n},
M 表示集合 M 的元素的个数，而 [0,1] 是事先给
定的标准。 (7)以 m 作为 A(u0 ) 的估计值，或直接计算

1 n m mi , n i 1

1 n e ei n i 1
(1 , 1 , , m ),
(1 , 1 , , k ) 可通过专家调查获取，也可通过试验
取点，得到形如
(A1 (u1 ), A 2 (u 2 ),, An (un ), A(u))
的若干组值，再用线性回归方法求出待定权重
例子，见教材第１４５页，例６-４
用Dephi法确定 A 的隶属函数 A(u) 的步骤如下: ~ ~ ⑴ 提出影响 A 的主要因素，连同较为详尽的资料 发送选定的n位专家，请专家对于取定的 u 0 U, 给 出隶属度 A(u0 ) 的估值 m ⑵设第ｉ位专家第一次给出的估计值为 m1i (i 1, 2, ...,n).

§6.1 确定隶属函数的原则
（１）若模糊集反映的是社会的一般意识， 它是大量的可重复表达的个别意识的平均结 果，例如，青年人，经济增长快，生产正常 等，则此时采用模糊统计法（见§6.３ ）来 求隶属函数较为理想；
（２）如果模糊集反映的是某个时间段内的个 别意识，经验和判断，例如，某专家对某个 项目可行性的评价，那么，对这类问题可采 用Delphi法；（见§6.２） （３）若模糊集反映的模糊概念已有相应成熟 的指标，这种指标经过长期实践检验已成为 公认的对事物的真实的又是本质的描述，则 可直接采用这种指标，或者通过某种方式将 这种指标转化为隶属函数；
m 21 ,m 22 , ,m 2n
（４）重复２、３步，直至离差值小于或等于预先 给定的标准 0. 设重复k次后，有 dk , 这里 d k 为重复k次后的离差。 (5)将第k次得到的对 A(u0 )的平均估计值 mk 和dk再交

给各位专家，请他们做最后的“判断”，给出估计 值 m ,m , ,m
（４）对某些模糊概念，虽然直接 给出其隶属函数比较困难，但却可 以比较两个元素相应的隶属度，此 时可用相对选择法（见§6.４ ）求的隶属函数； （５）若一个模糊概念是由若干个模糊因素复合 而成的，则可先求各因素模糊集的隶属函数，再 综合出模糊概念的隶属函数。
§6.２ Delphi法
A 设Ｕ为论域， 是Ｕ上待确定其隶属函数的模糊集，
A(u) i A i (u i ) i 1
5



(2)乘积平均型
若 A(u) 随每个 (Ai (ui )) 按比例变化，每个 Ai (ui )
i
对 A(u) 都是必要的，且当任意一个 Ai (ui ) 为零时， 都为零，则可令 A(u) A(u)
u 0对 A 的隶属频率 fn A* 覆盖 u 0的次数 n
其中n为试验次数。实践证明，随着n的增大，隶属 频率也会呈现稳定性，频率稳定所在的那个数，称 为 u 0 对 A 的隶属度

概率统计(a)与模糊统计(b)试验的区别：
A
.
A
S
A不动
变动
u0 A*

U0固定
Ｕ A*变动
(a)
(b)
例１、模糊统计试验的应用 设U=[0, 100]（单位：岁），A 是“青年人”在 Ｕ 上的模糊集，取u0=27, 试用模糊统计试验来确定
u0对 A 的隶属度，并用模糊统计求 A, 的隶属函数
曲线（见教材１３２－１３４页）。

论域为实数域的隶属函数叫模糊分布（Fuzzy distribution), 即 A F (X) ，其中X为实数集，称 ~ = A(x) 为模糊分布。 常见的模糊分布有： ~ (1) 矩形分布或半矩形分布(适用确切概念)： ① ② ③ 偏小型 偏大型 中间型
§6.３ 模糊统计法
模糊统计法简言之即通过模糊试验来得元素 隶属度。模糊试验四个要素： （１）论域Ｕ，所论问题之范围； （２）Ｕ中的一个确定元素ｕ； （３）Ｕ中的一个随机运动的普通集合Ａ*,Ａ* 联系着一个模糊集 A, Ａ*的每一次确定，都是对
相应于 A 的模糊概念的一个确定划分，可以看作
A 的一个显影，表示模糊概念的一个近似外延
这里c为积分常数，适当选择k和c，则可完全确定
因素加权综合法
实际问题中有时会遇到这样的模糊集，它 由若干个因素相互作用而成，而每个因素由可以用 模糊集来表示，此时的论域可以表示为n个因素的 Descartes乘积，即 U U1 Un , Ai F (Ui )(i 1, ....,n)
1
a
1
②偏大型
a
1
③中间型
a
其它常见模糊分布还有 (3) 半梯形分布与梯形分布； (4) K次抛物线分布；
(5) -型分布；
(6) Cauchy-型分布；
用模糊数学处理带有模糊性的问题时 (7) 岭型分布 选择适当的模糊分布函数很重要，否 见教材！ 则会脱离实际情况，从而影响效果， 各式中的参数由实际问题决定！

(1)加权平均型（Method of weighted mean） 若 A(u）是由 A１(u１ ..., An (un） 累加成的，可令 ），



，. . A A F (U), A由A１ . , n 复合而成.
A(u）= i A i (u i ) i 1
三分法（Trichotomy ） 基本思想：用随机区间的思想来处理模糊性的试 验模型，在某些场合适用此法来求隶属函数。
定理６.１ 设 ( , ) 是满足 P( ) 1 的连续随机 向量。对于 ( , )的每一个取点，都联系着一个映射
e( , ) : X P3 {A1 , A 2 , A 3 } A1 , x e( , ) (x) A 2 , x A , x 3


因素，一部分是乘积因素，则可令
A(u) b Ai (ui ) i 1
m 1
i
j Am j (um j ) j1
k
m
其中 u U,(1 , 1 ,, m ),(1 , 2 ,, k )为两权重向量，
且u+k=n+1,b为正实数，权重

① 与 x 成正比； ② 对同样大的 x, 若x越大，则 也越大；
③ 因为不超过１，所以越接近１， 应越小
于是有 k x x(1 ), 其中k是比例常数
kx(1 ), 再令 x 0, 上式两边同除以 x, 则有 x kx2 d 有微分方程 kx(1 ), 解得 (x) 1 ce 2 dx
由此模糊统计试验所确定的 A1 , A 2 , A 3的隶属函数

分别为
A1 (x) p (u)du x
A3 (x) p (u)du
A2 (x) 1 A1 (x) A3 (x) 其中 p (x),p (x) 分别是的，边缘分布密度函数
x

Remark:
通常，具有正态分布，设
2 N(a1 , 12 ), N(a2 , 2 ), 则上述隶属函数可化为
x a1 A1 (x) 1 1
x a2 A 3 (x) 2 x a1 x a2 A 2 (x) 1 2