2.4对偶单纯形法(经典运筹学)

对标准型 max z = CX s .t AX = b X ≥ 0, b ≥ 0
A = (B , N )
C = (CB CN )
XB X = X N
A=(P P L P P +1 L P ) 设B = (P 1 2 m m n 1
P2 L Pm )是可行基
BX B + NX N = b
≤ 0 Z- CBB-1b
例：求min Z = 2x1 + x2 3x1 + x2 ≥ 3 4x + 3x ≥ 6 1 2 s.t x1 + 2x2 ≤ 3 x1 , x2 ≥ 0 检验行 ≤0 解：标准型为
max Z ′ = − 2 x 1 − x 2 3 x1 + x 2 − x 3 = 3 4x + 3x − x = 6 1 2 4 s .t 基B的典则形式 x1 + 2 x 2 + x 5 = 3 x1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 ≥ 0
-1/3 0 -1/3 0 2/3 1
X1 检 0 X3 0 X2 0 X1 1
X3 X4 X5 0 -3/5 -2/5 Z+12/5 1 0 0 -1 -1 0 1/5 4/5 6/5 -2/5 -3/5 3/5
3 6 最 解 = ，， ， 优 X （ 000 ，） 5 5 最 值 = −12 优 Z 5
-1/2 0 -1/2 0 -2 3/2 1 0
-1/4 9/4
11 9 1 最优解 X =（ ， ， ， 0， 0 ） 4 4 2 初始基B = P1，P4，P5） （ 31 最优值 Z = 不是典则形式 4
注意：对偶单纯形法仅限于初始基B对应 可用对偶单 的典则形式中目标函数的系数（检 纯形法 验数）均≤0的情形。 B的典则形式
形如 : minz = c1x1 + c2 x2 +L+ cn xn
标准型: max z′ = −c1 x1 − c2 x2 − L− cn xn − a11111x−+12122x2 +L+1a1nnx+−nxn+1 = b1 ax 1 aax −L− a n x n x +1 = −b1 − x − a x −L− a x + x = −b aa 21211x1 +22222 2 +L+2n2nnxn −nxn+2 = b2 a x a +2 2 s.ts.t LL LL LL − am1x1x−+m2 x2x−+L+mnxnx+−nxm == bm am1 1 aam2 2 L− aamn n x +n+m −bm
′
若存在某个b j < 0, 且a rj ≥ 0
′
j = 1,2, L n
则问题无可行解。 否则转下一步 3、换基迭代： ′ （1）确定出基变量：设 br = min {bi′ | bi′ < 0} （2）确定入基变量 设 min | ari < 0 = 0 , 则取xi0 为入基变量 ari ari0
3、若检验数C N − C B B −1 N中至少有一个分量 > 0, 且该分量对应 的列向量中至少有一个 分量 > 0, 则存在更好的基本可行 解
做换基迭代 : 在迭代过程中，始终保 持对应的基本解可行 即X B = B −1b ≥ 0
并使检验数 C N − C B B −1 N中 > 0的分量 个数越来越少，最终 C N − C B B −1 N ≤ 0
则取 br′ 所在行的基变量出基 λi λi
4、以a ri0 为主元素进行换基迭代，得一新的单纯形表，转2
例：用对偶单纯形法 求解下列问题 max Z = 2 x1 + x 2 x1 + x 2 + x 3 = 5 2x + x ≤ 5 11 9 2 3= 最优解 X （ ， ） s.t 4 4 x 2 + 6 x3 ≥ 9 4 x1 , x 2 ,Z 3=≥31 0 最优值 x
取基B = (P1 P2 L Pm )
−1
maxZ = CB B−1b + (CN − CB B−1N) X N
X B = B −1b − B −1 NX N
X B ≥ 0, X N ≥ 0
令X N = 0 得X B = B b
若 C N − C B B −1 N ≤ 0 :
得 本 X1 = B b,0 基 解
3 6 最优解 X = ， ， 0， （ 0， 0 ） 5 5
最优值 Z = − 12
5
对偶单纯形法步骤：
1、找出一个初始对偶可行解。 即找出一个基B， 把原问题写成该基的典则形式时，目标函数的系数均≤0 2、判断： 1）若B-1b≥0，则得到最优解 X 0 = (B−1b,0) 结束 （ （2）若B-1b≥0， 记 B −1b = (b1′ , b2 , L , bm )′ ′ ′
对偶单纯形法是求解对偶规划的一种方法 × 对偶单纯形法：利用对偶理论得到的一个 求解线性规划问题的方法
单纯形法（原始单纯形法）的两个条件：
1、问题为标准型 2、有初始基本可行解
求 min Z = 2 x1 + x 2 3 x1 + x 2 ≥ 3 4 x + 3 x ≥ 6 2 s .t 1 x1 + 2 x 2 ≤ 3 x1 , x 2 ≥ 0
1、确定出基变量： 设br =min{bi | bi <0} 则取br所在行的基变量 为出基变量 即取X4为出基变量 2、确定入基变量： 原则： 保持检验行系数≤0
λi λ i0 设 min | a ri < 0 = a ri a ri 0
1 21 3
X1 检 -2/3 X3 -5/3 X2 4/3 X5 -5/3 X3 X4 0 -1/3 1 0 0
(
−1
)
′
X B = B −1b − B −1 NX N
X B ≥ 0, X N ≥ 0
XB XN
0⋅ XB +(CN −CBB−1N)XN = Z −CBB−1b
X B + B −1 NX N = B −1b
初始单纯形表：
常数项 检验行 0 XB E CN- CBB-1N ≤ 0 Z- CBB-1b
引进人工变量 x 6，x 7 max Z ′ = −2 x1 − x 2 − Mx 6 − Mx 7 3 x1 + x 2 − x3 + x 6 = 3 4 x + 3 x − x + x = 6 2 4 7 s.t 1 x1 + 2 x 2 + x 5 = 3 x1 , x 2 , x3 , x 4 , x5 ≥ 0
标准型为 max Z ′ = − 2 x 1 − x 2 3 x1 + x 2 − x 3 = 3 4x + 3x − x = 6 1 2 4 s .t x1 + 2 x 2 + x 5 = 3 x1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 ≥ 0
用单纯形 法求解
X1 X2 X3 X4 X5
2 检 0 1 -1 1 2 -4 0 -2 1 1 -6 0 0 1 0 0 0 0 1
Z Z-10
X1 1 X4 0 X5 0
5 5 -9
4
1 4 1 3 X1 X2 X3
检 X1 X4 X2
0 1 0 0 0 0 0 1
X4
X5
-1/4 Z-31/4 1/4 1/2 11/4 1/2
a11x1 + a12x2 +L+ a1n xn ≥ b1 a x + a x +L+ a x ≥ b 21 1 22 2 2n n 2 s.t L L L am1x1 + am2 x2 +L+ amnxn ≥ bm x1 , x 2 L , x n ≥ 0
若 c j ≥ 0 ( j = 1, 2 , L , n )
原始单纯形法的迭代过程：
对问题 max z = CX s .t AX = b X ≥ 0
max Z = CB B −1b + (CN − CB B −1 N ) X N
取可行基 B = (P1 P2
L Pm )
令X N = 0 得 X B = B −1 b ≥ 0
得基本可行解 X 1 = B b ,0
(
− 1
)
′
若 b ≥ 0 , X1为 优 B 最 解
否 ， 基 代 则 换 迭
−1
选定入基、出基变量 对 单 形 做 变 该 纯 表 行 换
(始 保 CN − B−1N ≤ 0 终 持 ）
作对偶单纯形表：
XB 检验行 0 XN CN- CBB-1N 常数项
直 B−1b ≥ 0 至 ， XB E B-1N B-1b ≥ 0 得 优 偶 纯 表 最 对 单 形 ? 最优对偶单纯形表的充 要条件：B−1b ≥ 0
取基 B = (P3 , P4 , P5 )
基本解 X = (0，， 3， 6，) 0 − − 3
X1 X2 X3 X4 X5 检 X3 X4 X5 -2 -1 0 -3 -1 1 -4 -3 0 1 2 0 0 0 1 0 0 0 0 1 Z -3 -6 3
不 可 行
即 max Z ′ = − 2 x 1 − x 2
对偶单纯形法的优点： 对偶单纯形法的优点： 1、不需要人工变量； 、不需要人工变量； 2、当变量多于约束时，用对偶单 、当变量多于约束时， 纯形法可减少迭代次数； 纯形法可减少迭代次数； 3、在灵敏度分析中，有时需要用对 、在灵敏度分析中， 偶单纯形法处理简化。 偶单纯形法处理简化。
原始单纯形法的基本思路：
于是AX = b
(B
XB N ) X =b N
B 可逆 X B = B −1b − B −1 NX N
且Z = (CB XB CN ) = C B X B + C N X N X N
= CB ( B −1b − B −1 NX N ) + CN X N
令X N = 0 得X B = B b ≥ 0 得基本可行解 X 1 = B b , 0
−1
(
−1
)
′
1、若所有的检验数 C N − B −1 N ≤ 0 , 则 X 1为最优解 2、检验数 C N − C B B −1 N中存在一个分量 > 0, 且该分量对应的列 向量中所有的分量 < 0, 则目标函数值在可行解 域内无上界
?
X 若CN − B−1 N ≤ 0， 1为最优解 否则，选定入基、出基 变量 对该单纯形表做行变换
B-1N
B-1b
≥0
直至C N − B −1 N ≤ 0，
得最优单纯形表
CN − B−1 N ≤ 0， 最优单纯形表的充要条 件：
对偶单纯形法的基本思路：
对 max z = CX s .t AX = b X ≥ 0
则取xi0 为入基变量
例：求min Z = 2 x1 + x2 3x1 + x2 ≥ 3 4 x + 3x ≥ 6 1 2 s.t x1 + 2 x2 ≤ 3 x1 , x2 ≥ 0
所求问题的最优解 3 6 X =（ ， ） 5 5 12 最优值 Z = 5
解：标准型为 max Z ′ = − 2 x 1 − x 2 3 x1 + x 2 − x 3 = 3 4x + 3x − x = 6 1 2 4 s .t x1 + 2 x 2 + x 5 = 3 x1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 ≥ 0
= −3 − 3x1 − x2 + x3 − 4x − 3x + x4 = −6 1 2 s.t + x5 = 3 x1 + 2x2 x1, x2 , x3 , x4 , x5 ≥ 0
Biblioteka Baidu
分析： 若X3或X4所在的行的aij均 非负， 则问题一定无可行解 否则，做换基迭代
X1 X2 X3 X4 X5 检 X3 X4 X5 -2 -1 0 -3 -1 1 -4 -3 0 1 2 0 X2 0 0 1 0 X2 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 Z -3 -6 3 X5 0 Z+2 -1 2 -1
= C B B −1b + (C N − C B B −1 N ) X N
max Z = C B B −1b + (C N − C B B −1 N ) X N 对问题 max z = CX s .t AX = b X B = B −1b − B −1 NX N X ≥ 0 X B ≥ 0, X N ≥ 0 检验数 取可行基 关于可行基B的典则形式 B = (P P2 L Pm ) 1
解：问题化为标准型 max Z = 2 x1 + x 2 =5 x1 + x 2 + x 3 2 x 2 + x3 + x 4 =5 s.t 9 x2 x3 +−xx 5 ==− 9 5 − 44 x 2−+66 x 3 x1 , x 2 , x 3， x 4， x 5 ≥ 0