选修4-2矩阵与变换教案
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第一讲二阶矩阵、二阶矩阵与平面向量的乘法、二阶矩阵与线性变换。
一、二阶矩阵 1.矩阵的概念
①OP → =
→的坐标排成一列，并简记为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 3 ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
2 3
③
概念一：
象⎣⎢⎡⎦⎥⎤
2 3 80908688⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 23324m ⎡⎤
⎢⎥-⎣⎦
的矩形数字（或字母）阵列称为矩阵.通常用大写的拉丁字母A 、B 、C…表示， 横排叫做矩阵的行,竖排叫做矩阵的列.
名称介绍：
①上述三个矩阵分别是2×1矩阵，2×2矩阵（二阶矩阵），2×3矩阵，注意行的个数在前。 ②矩阵相等：行数、列数相等，对应的元素也相等的两个矩阵，称为A ＝B 。 ③行矩阵：[a 11,a 12]（仅有一行）
④列矩阵：⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
a 11 a 21 （仅有一列）
— 2 — 3
— ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤80 90
86 88
231,3242x y mz x y z ++=⎧⎨-+=⎩简记为23324m ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦
⑤向量a →
＝（x,y ），平面上的点P （x,y ）都可以看成行矩阵[,]x y 或列矩阵x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，在本书中规定所有的平面向量均写成列向量x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
的形式。 练习1： 1.已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=243x A ,⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡-=21z y B ，若A=B ，试求z y x ,,
2.设23x A y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，2m n x y B x y m n ++⎡⎤
=⎢⎥--⎣⎦
，若A=B ，求x,y,m,n 的值。
概念二：
由4个数a,b,c,d 排成的正方形数表a b c d ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦称为二阶矩阵。a,b,c,d 称为矩阵的元素。
①零矩阵：所有元素均为0，即0000⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
，记为0。 ②二阶单位矩阵：1001⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，记为E 2.
二、二阶矩阵与平面向量的乘法
定义：规定二阶矩阵A=a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，与向量x y α→⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
的乘积为ax by A cx dy α→+⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦，即A α→＝a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥
⎣⎦＝ax by cx dy +⎡⎤⎢⎥+⎣⎦ 练习2： 1.（1）⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-131021＝
（2） ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-311021＝ 2.⎥⎦
⎤⎢⎣⎡2101⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11，求⎥⎦
⎤⎢⎣⎡y x 三、二阶矩阵与线性变换
1.旋转变换
问题1:P （x,y ）绕原点逆时针旋转180o
得到P ’
(x ’
,y ’
),称P ’
为P 在此旋转变换作用下的象。其结果为''x x
y y
⎧=-⎨=-⎩，也可以表示为''00x x y y x y ⎧=-+⋅⎨=⋅-⎩，
即''x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝1001-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦⎥⎦
⎤⎢⎣⎡y x ＝x y -⎡⎤⎢⎥
-⎣⎦怎么算出来的？
问题2. P （x,y ）绕原点逆时针旋转30o 得到P ’(x ’,y ’),试完成以下任务①写出象P ’
； ②写出这个旋转变换的方程组形式；③写出矩阵形式.
问题3.把问题2中的旋转30o
改为旋转α
2.反射变换
定义：把平面上任意一点P 对应到它关于直线l 的对称点P ’
的线性变换叫做关于直线l 的反射。
研究：P （x,y ）关于x 轴的反射变换下的象P ’(x ’,y ’
)的坐标公式与二阶矩阵。
3.伸缩变换
定义：将每个点的横坐标变为原来的1k 倍，纵坐标变为原来的2k 倍，（1k 、2k 均不为0），这样的几何变换为伸缩变换。 试分别研究以下问题：
①.将平面内每一点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变的伸缩变换的坐标公式与二阶矩阵.
②. 将每个点的横坐标变为原来的1k 倍，纵坐标变为原来的2k 倍的伸缩变换的坐标公式与二阶矩阵.
4.投影变换
定义：将平面上每个点P 对应到它在直线l 上的投影P ’
（即垂足），这个变换称为关于直线l 的投影变换。 研究：P （x,y ）在x 轴上的（正）投影变换的的坐标公式与二阶矩阵。
5.切变变换
定义：将每一点P （x,y ）沿着与x 轴平行的方向平移ky 个单位，称为平行于x 轴的切变变换。将每一点P （x,y ）沿着与y 轴平行的方向平移kx 个单位，称为平行于y 轴的切变变换。 研究：这两个变换的坐标公式和二阶矩阵。 练习：P 10 1.2.3.4
四、简单应用
1.设矩阵A=1001-⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，求点P(2,2)在A 所对应的线性变换下的象。
练习：P 13 1.2.3.4.5
【第一讲.作业】
1.关于x 轴的反射变换对应的二阶矩阵是
2.在直角坐标系下，将每个点绕原点逆时针旋转120o
的旋转变换对应的二阶矩阵是
3.如果一种旋转变换对应的矩阵为二阶单位矩阵，则该旋转变换是
4.平面内的一种线性变换使抛物线2
y x =的焦点变为直线y=x 上的点，则该线性变换对应的二阶矩阵可以是
5.平面上一点A 先作关于x 轴的反射变换，得到点A 1,在把A 1绕原点逆时针旋转180o
，得到点A 2，若存在一种反射变换同样可以使A 变为A 2，则该反射变换对应的二阶矩阵是
6.P （1，2）经过平行于y 轴的切变变换后变为点P 1(1,-5)，则该切变变换对应的坐标公式为