工程结构可靠度计算方法—中心点法和验算点法

0'
ˆ S
β
P*
cos θ S =
σS σ 2R + σ 2S
ˆ ˆ cos θ R R + cos θ S S − β = 0
极限状态直线的 标准法线式方程
(1)β的几何意义 (1)β的几何意义 标准正态化坐标系中 原点o 到 标准正态化坐标系中,原点o’到极限状态直线的最短距离 o’P*，cosθS、cosθR为o’P*对各坐标向量的方向余弦 P cosθ P
R、 2 R、S服从对数正态分布
按8-20式 式
135 1 + 0.172 ln 60 1 + 0.152 µZ = = = 3.61387 β= 2 2 2 2 σZ ln(1 + δ R ) + ln(1 + δ S ) ln(1 + 0.15 ) + ln(1 + 0.17 ) µR 1 + δ 2 S ln µS 1 + δ 2 R
µZ β= = σZ ln(1 + δ 2R ) + ln(1 + δ 2S )
利用泰勒级数对8 20进行简化 利用泰勒级数对8-20进行简化 ex在x=0处按泰勒级数展开，并取线性项 处按泰勒级数展开， 处按泰勒级数展开 ln(1 + x ) ≈ x
µR 1 + δ 2S ln 2 µS 1 + δ R
第八章 工程结构可靠度计算方法
基本内容：１结构可靠度的基本概念 一基本内容：２中心点法 结构可靠度的基本概念 ３验算点法 1 结构的功能要求
◆安全性：结构能承受正常施工、正常使用条件下可能出现的各种作 安全性：结构能承受正常施工、 用而不产生破坏；在偶然事件发生时以及发生后， 用而不产生破坏；在偶然事件发生时以及发生后，仍能保 持必需的整体稳定性， 持必需的整体稳定性，而不至于因局部损坏而产生连续破坏 适用性：结构在正常使用时具有良好工作性能、 ◆适用性：结构在正常使用时具有良好工作性能、满足正常使用的要求 耐久性：结构在正常使用和正常维护条件下， ◆耐久性：结构在正常使用和正常维护条件下，在规定的使用期限内有 足够的耐久性，不因材料的老化、腐蚀、 足够的耐久性，不因材料的老化、腐蚀、开裂等而影响结构 的使用寿命， 的使用寿命，完好使用到设计使用年限
ˆ Xn
在n维空间中表示一个失 效曲面，推导可知： 效曲面，推导可知： 在标准正态坐标系中原点 到曲面的最短距离Ô Ô到曲面的最短距离ÔP*就 是结构可靠指标β 是结构可靠指标β
ˆ X1
极限状态曲面 ˆ * Xn
P* θn θ1
ˆ * X1
θ2
ˆ * X2
ˆ X2
可证明在原坐标系中P 可证明在原坐标系中 *的坐标为
极限状态方程为 极限状态方程为：
Z = R−S =0
ˆ RR
极限状态线 R=S极限状态线 极限状态线
对R和S作标准化变换 ) S − µS ˆ = R − µR R S=
0'
ˆ S
σR
σS
ˆ ˆ 以 R 和 S 表述的极限状态
S
ˆ ˆ Z = σ R R −σ S S + µR − µS = 0
用 − σ 2 R + σ 2 S 除上式得
Pf = Φ ( −
β 1.00 Pf 15.86×10-2 ×
µZ ) = Φ(− β ) = 1 − Φ( β ) σZ
2.00 2.27×10-2 × 2.70 3.47×10-3 × 3.09 1.00×10-3 × 3.20
µz 0
Z t
3.70
4.20 1.34×10-5 ×
6.87×10-4 1.08×10-4 × ×
按8-23式 式 ln µR − ln µS ln 135 − ln 60 β≈ = = 3.57686 2 2 2 2 δ R +δ S 0.17 + 0.15 ♦适用条件：基本变量相互独立、服从正态或对数正态分布，功能函数是线 适用条件：基本变量相互独立、服从正态或对数正态分布， 性的 特点: 直接采用特征值计算可靠指标，概念清楚、 ♦特点 ①直接采用特征值计算可靠指标，概念清楚、计算简便 在平均值处（ ②将Z在平均值处（即中心点）按泰勒级数展开使其线性化（忽略二 在平均值处 即中心点）按泰勒级数展开使其线性化（ 次以上项），计算的β是近似的 ），计算的 次以上项），计算的 是近似的 ③在一定条件下误差较大
µz Z 结构的可靠度：结构在规定的时间内，在规定的条件下， 结构的可靠度：结构在规定的时间内，在规定的条件下，完成预定功能 的概率，以可靠概率P 的概率，以可靠概率Ps表示
PS = P( Z > 0) = 1 - Pf = ∫∫… ∫ f x ( X 1 X 2 … X n )dX 1 X 2 … X n
在原坐标系中， 在原坐标系中，验算点的坐标
ˆ S*
ˆ S
0' β
ˆ R*
P*
S * = µ S + σ S β cos θ S R* = µ R + σ R β cos θ R
且点P 极限状态直线上， 且点P*在极限状态直线上， S*、R*满足极限状态方程 R 满足极限状态方程
Z = R* − S * = 0
−
σR
2 2 σ R +σS
ˆ R+
ˆ − µR − µS = 0 S 2 2 2 2 σR +σS σ R +σS
σS
−
σR
2 2 σ R +σS
ˆ R+
ˆ − µR − µS = 0 S 2 2 2 2 σ R +σ S σ R +σS
极限状态线
σS
ˆ R
θR
θS
cos θ R = −
σR σ 2R + σ 2S
实际应用时，采用R 实际应用时，采用R、S的统计特征值计算更为方便
µZ = µln R − µln S
µR 1 + δ 2 S 1 2 = ln µR − ln µS − (σ ln R − σ 2 ln S ) = ln 2 2 µS 1 + δ R
σ Z = σ 2ln R + σ 2 ln S = ln(1 + δ 2 R ) + ln(1 + δ 2 S )
X i = σ i β cos θi + µi
解：1 R、S服从正态分布 、 服从正态分布 σR=δRµR=0.15×135=20.25kN × σS=δSµS=0.17×60=10.2kN ×
β= µR − µS σ +σ
2 R 2 S
=
135 − 60 20.25 + 10.2
2 2
பைடு நூலகம்
= 3.3078
Pf = Φ (− β ) = 1 − Φ(3.3078) = 4.7022 ×10− 4
Z=RZ=R-S>0 结构处于可靠状态 f (Z) Z=RZ=R-S=0 结构处于极限状态 极限状态方程 βσZ Z=RZ=R-S<0 结构处于失效状态
3 结构的可靠度 degree of reliability
σz
结构的可靠性：结构在规定的时间内，在规定的条件下， 结构的可靠性：结构在规定的时间内，在规定的条件下，完成预定功能 Pf 的能力
2 2 σZ = σR +σS
fZ ( z) =
1 2π σ Z
e
1 Z − µZ 2 − ( ) 2 σZ
β=
µ − µS µZ = R 2 2 σZ σR +σS
1 ( z −µZ ) 2 ) − ( 2 σZ
结构失效概率： 结构失效概率：
Pf = P( Z ≤ 0) = ∫ f Z ( z)dz = ∫
2 结构功能函数
(i=1,2,…,n)表示影响结构某一功能的基本变量， ,n)表示影响结构某一功能的基本变量 设Xi(i=1,2, ,n)表示影响结构某一功能的基本变量，则与此功能对应 的结构功能函数可表示为 Z=g(X1,X2,….,Xn) 考虑结构功能仅与作用效应Ｓ 结构抗力Ｒ 考虑结构功能仅与作用效应Ｓ、结构抗力Ｒ两个基本变量有关的简单情况 Z=RZ=R-S
结构抗力Ｒ、荷载效应Ｓ Ｒ、荷载效应 1 结构抗力Ｒ、荷载效应Ｓ服从正态分布
假设随机变量R 假设随机变量R和S相互独立，且均服从正态分布，Z=R-S也服从正态分 相互独立，且均服从正态分布，Z=R布，已知平均值μＲ、μＳ和均方差σＲ、σＳ，则Z的特征值： 已知平均值μ 和均方差σ 的特征值：
µZ = µR − µS
R
µZ = µln R − µln S σz = σ 2 ln R + σ 2 ln S µln R − µln S µZ β= = σZ σ 2 ln R + σ 2 ln S
若Ｘ服从对数正态分布，则 服从对数正态分布，
µln X = ln µ X − σ 2 ln X
1 2
σ 2ln X = ln(1 + δ 2 X )
结构抗力Ｒ、荷载效应Ｓ Ｒ、荷载效应 2 结构抗力Ｒ、荷载效应Ｓ服从对数正态分布
R、S分布大多呈偏态，按正态分布计算存在较大的误差，有人建议采 分布大多呈偏态，按正态分布计算存在较大的误差， 用对数正态分布 R、S服从对数正态分布，则lnR、lnS服从正态分布， = ln R − ln S = ln( ) 服从对数正态分布， lnR、lnS服从正态分布， 服从正态分布 Z S 也服从正态分布
2 多个正态分布随机变量
极限状态功能函数中含多个相互独立的随即变量， 极限状态功能函数中含多个相互独立的随即变量，均符合正态分布 Z=g(X1,X2,….,Xn)＝0 ＝ 对Xi作标准化变换
X − µi ˆ Xi = i
σi
ˆ X i = σ i X i + µi
ˆ ˆ Z = g (σ 1 X 1 + µ1 , …， σ n X n + µn ) = 0
4 结构的可靠指标
一般要通过多维积分得到、难以求解，为此引入可靠指标β Ps(Pf)一般要通过多维积分得到、难以求解，为此引入可靠指标β来度 量结构的可靠程度
µZ 1 β= = σ Z δZ
β值与Pf值也一一对应， β值越大则Pf值越小，结构可靠度越高 值与P 值也一一对应， 值越大则P 值越小，
二 中心点法
验算点法 三 验算点法
为使设计模式符合客观实际，拉克维茨、菲斯莱等人提出当量正态变 为使设计模式符合客观实际，拉克维茨、 量概念，把极限状态函数推广到多个变量的非线性的情况， 量概念，把极限状态函数推广到多个变量的非线性的情况，建立了验 算点法， 算点法，这种设计模式对任何分布类型都适用
两个相互独立的正态分布变量R 1 两个相互独立的正态分布变量R和S
8—20
ex ≈ 1 + x
µR 1+ δ 2S ln 2 lnµR − lnµS µS 1+δ R β= ≈ ln( + δ 2R ) + ln( + δ 2S ) 1 1 δ 2R +δ 2S
8—23
某钢拉杆正截面强度计算极限状态方程为Z=R-S=0已知 R=135kN， 已知µ 例8-1 某钢拉杆正截面强度计算极限状态方程为 已知 ， µS=60kN，δR=0.15，δS=0.17，在下列情况： ， ， ，在下列情况： 服从正态分布,按中心点法计算拉杆可靠指标β （1）R、S服从正态分布,按中心点法计算拉杆可靠指标β及相应失效概率 （2）R、S服从对数正态分布，按中心点法计算拉杆可靠指标β 服从对数正态分布，按中心点法计算拉杆可靠指标β
Xi =σiβ cos i + µi θ
*
①
− cosθi =
∂g ∂X i
⋅σi
p*
n ∂g ∑ ( i =1 ∂X i
⋅σi ) p*
2
1 2
②
g ( X *1 , X *2 …，X
*
n
)=0 ③
设计验算点应为极限状态曲面上与结构最大可能失效概率相对应的 点，也即结构极限状态方程中各基本随机变量在设计验算点处取值 时结构失效概率最大。 时结构失效概率最大。此点为对结构最不利的各随机变量的取值点 故称之为结构设计验算点
−∞ 0 0
1 2π σ Z
−∞
e
dz
将随机变量标准化： 将随机变量标准化：把Z由正态分布变换成标准正态分布
t=
µ − Z σZ
Z − µZ
σZ
f (Z) f (t) 1
Pf = ∫
−∞
µZ 1 e dt = Φ ( − ) σZ 2π
t2 − 2
σz
式中 Φ (⋅) —标准正态函数 标准正态函数
(2)设计验算点 (2)设计验算点
在标准正态化坐标系中，结构的极限状态直线上距离原点最近的点 在标准正态化坐标系中，结构的极限状态直线上距离原点最近的点 P*称为结构的设计验算点
ˆ ˆ P ( S * , R* )
*
ˆ R
极限状态线
θR
θS
ˆ S * = β cos θ s
ˆ R * = β cos θ R