正态逆高斯扩散模型的MCMC估计

　第15卷第2期　2006年4月

系统工程理论方法应用

SY ST EM S EN GI NEER IN G-T HEO RY M ET HO DO LO G Y A PP L ICA T IO N S

Vol.15No.2　Apr.2006　

文章编号:1005-2542(2006)02-0133-06

正态逆高斯扩散模型的MCMC 估计

胡素华,　张　彤,　张世英

(天津大学管理学院,天津300072)

【摘要】使用贝叶斯方法估计了正态逆高斯扩散模型,该方法首先使用Euler 方法对连续过程进行离散化,用离散过程的似然函数做为模型参数的近似似然函数。证明了MCM C 方法是分析正态逆高斯扩散模型的有效工具,由M CMC 方法抽样所得的后验分布可以用来进行统计推断。模拟试验表明:正态逆高斯扩散能够体现资产收益的许多经验特征,如泰勒效应、尖峰厚尾等。

关键词:MCM C;正态逆高斯扩散;广义抛物线扩散;贝叶斯方法中图分类号:F 830.91 文献标识码:A

Estimation of Normal Inverse Gaussian Diffusion

Using MCMC Method

H U Su -hua ,　ZH A N G T ong ,　ZH A N G Shi -ying

(Scho ol o f Management,T ianjin Univ.,Tianjin 300072,China)

【Abstract 】In this paper w e propose a Bay esian method to estimate the normal inverse Gaussian (NIG )dif-fusion model .T he approach is based o n the Markov chain M onte Carlo (M CMC )m ethod w ith the likeli-ho od of the discredited pro cess as the appr oxim ate posterio r likeliho od.We demo nstrate that the M CM C metho d provides a useful too l in analyzing NIG diffusion.In particular,quantities of posterior distribu-tio ns obtained fro m the M CMC outputs can be used for statistical inference .T he MCM C m ethod is based on Euler schem e.Our simulation study show s that the NIG diffusio n exhibits many of the stylized facts abo ut asset retur ns docum ented in the discrete-time financial eco nom etrics literature,such as the Taylor effect ,a slo wly declining autocorrelation function of the squar ed retur ns ,and thick tails .

Key words :M ar ko v chain M onte Car lo ;normal inv er se Gaussian diffusion ;generalized hy perbolic diffu-sion;Bayes metho d

收稿日期:2004-11-05

基多项目:国家自然科学基金资助项目(70301006)

作者简介:胡素华(1977-),男,博士生。主要从事连续时间金融

模型研究与金融波动研究。

在金融学文献中,几何布朗运动被用来描述股票价格运动,虽然在期权定价和其他理论中具有重要的作用,但是几何布朗运动不能很好地描述股票收益的经验统计特征,如高峰、波动集聚和长记忆性。为了反映这些特征,有跳跃扩散模型、随机波动模型、随机波动加跳跃模型以及时变列维过程。作为非线性扩散过程,Bibby 和S rensen [1]的抛物线扩

散过程也得到了重视,NIG (正态逆高斯)扩散过程和抛物线扩散过程都是GH(广义抛物线)扩散过程

的特殊情况,Ry dberg [2]用NIG 扩散过程作为金融数据建模,在用NIG 模型拟合一些股票数据上取得了良好的效果,并将NIG 扩散模型运用到期权定价中。但是,目前国内使用非线性连续时间扩散过程为资产收益建模的研究还处在一个起步阶段,关于这方面的研究成果还不多。

虽然NIG 扩散过程的稳定分布服从抛物线分布并有封闭形式表达式,但是转移密度没有封闭形式的解。由于缺少转移密度的知识,使用准确似然方法进行模型的计量经济估计是不可行的。Ry dber g

采用鞅估计函数方程方法来估计NIG扩散过程,然而基于鞅函数估计方程的估计值存在且是非对称正态分布,同时估计值不是有效的;另外,估计值的标准差的计算非常复杂。

本文通过将扩散过程的离散似然作为近似后验,使用MCM C方法来估计抛物线扩散过程;与在经典框架中的M L方法一样,MCM C方法提供了一个基于贝叶斯分析的全似然推断。在抛物线扩散,离散化近似ML方法在数值收敛方面存在困难,然而,MCM C方法提供了从后验分布中抽取参数样本的方法避免了数值优化的问题,并使借助蒙特卡罗方法的准确有限样本的推断可行。

1　NIG模型

NIG分布和抛物线分布都是广义抛物线分布的两种特例,NIG扩散过程较抛物线扩散过程具有更厚的尾部,从而更有利于描述股票价格,为其建模[3]。

假定股票价格满足:

S t=ex p( t+X t)(1)式中: 为股票价格对数随时间变化系数;S t为股票价格;X t为股票价格对数除趋势项后的状态变量,

X t=X0+∫t0v(X s)d W s(2)通过伊藤公式,有

d S t=S t +1

2

v2(log S t- t)d t+

v(log S t+ t)d W t(3)

注意到,如果函数v(・)是一个常数,关于S t的模型是一个在B-S公式中使用的几何布朗运动。过程X t 是一个时变维纳过程,这样式(3)就是一个简单的B-S模型广义形式。关于lo g S t的漂移项是一个时间的线性函数 t的假定不是必须的,做这样的假定是为了简单和尽可能的不改变几何布朗运动模型。在本文中,要讨论的就是当log S t有一个确定性漂移时的情况。

通过选择合适的v(x)可以得到几个有趣的模型,但是在此仅仅考虑一个特殊而常见的情况,并推广到一般情况。经验研究表明,股票收益log S t+ -log S t的分布不是正态的,分布的尾部趋向于对数线性。若选择式(4)形式,就是Bibby和S rensen的抛物线扩散过程:

v(t)= ex p 1

2

2+(x- )2-1

2

(x- )

(4)

本文中,选择v(x)满足:

v(x)= exp-1

2

(x- )g (x- )

K1( g (x- ))

(5)

式中:g (x)= 2+x2; , , , 是分布参数,满足

> ≥0, >0。 是标度参数, 是位置参数, 决

定对称性, 决定分布的倾斜度。

用MCM C方法估计NIG模型时,首先总结在

众多金融文献中关于资产收益序列的经验特征,定

义r t为股票收益,Ry den[4]总结了r t的下列动态性

质:

(1)r t是不相关的;

(2) r t ,r2t的自相关函数缓慢衰减,衰减的速

度较稳定ARM A自相关函数要慢的多;

(3)收益绝对值的自相关在幂=1时最大,这

就是泰勒效应,即

corr( r t , r t-k )>co rr( r t , r t-k ) ≠1

(4)收益常常表现出厚尾的边际分布特征。

2　NIG扩散过程的离散化

使用广泛应用的Euler方法对广义扩散过程

d X t= (・)d t+ (・)近似,其表达式为:

X t+ t=X t+ (X t, ) t+ (X t, ) W t(6)

式中, W t= t t, t～iid N(0,1),给定X t的观测

值集合X={x t∶t=0,1,…,n},则参数 基于观测

值集合的对数似然函数为

log p E( X)=-

1

2

∑n

t=1

lo g( (x t, )2 t)-

1

2

∑n

t=1

(x t-x t-1- (x t, ) t)2

(x t, )2 t(7)

式中,p E( X)是基于Euler离散方法的似然函数。

3　借助MCMC方法估计NIG扩散

3.1　MCMC方法

M CM C方法已经成功应用到统计学中,且相对

于传统的独立取样方法具有很多优势,Gew eke[5]提

出了使用后验模拟方法完成贝叶斯推断,并强调了

基于贝叶斯推断的MCM C模拟的重要性。Gilks[6]

总结了M CM C算法的应用。M CM C方法在计量经

济学和金融学中的广泛应用可以参见文献[7～9]。

基于数据集合X参数向量 的贝叶斯推断后

验可以借助后验密度p( X)得到,通过贝叶斯原

理,有

( X)=cp( X) ( )(8)

134 系　统　工　程　理　论　方　法　应　用第15卷