第13章 非正弦周期电流电路和信号的频谱例题

3 3
20Ω
j80
j20
U 2 6045 V
I C12
I 2 I C12 0
U ad2 0
U1 j2L2
30 d c
U2
I L 22
I2
j20
j20
U 6045 V U cb2 2
I L 22 6045 j20
6
•
（b)基波作用
1
is1 100 sin 10 t μA
6
1C

1 10 1000 10
6 6 3 12
1kΩ
iS 1
R C L
u
1 L 10 10
1kΩ
XL>>R
Z (1 ) ( R jX L ) ( jX C ) R j( X L X C ) X L XC R L RC 50 kΩ
iS
Im
sin 5t )
0 T/2
t
T
代入已知数据：
I m 157 μA,
T 6.28μs
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•
直流分量：
基波最大值：
I0 Im 2
2I m

157 2
78.5 μA
100 A
I1 m
三次谐波最大值： I 3 m
五次谐波最大值： I 5 m 角频率：
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•
周期性方波波形分解 直流分量
t
三次谐波 五次谐波
基波
t
七次谐波
t
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•
直流分量+基波
直流分量 基波 直流分量+基波+三次谐波
三次谐波
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•
等效电源
iS
Im
IS0
t
is1
is 3
is 5
T/2
iS Im 2
T
2I m π (sin t 1 3 sin 3t 1 5 sin 5 t )
0 2I m kπ
K为偶数 K为奇数
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•
ak 2 π 2I m
0

2π
iS (t ) cos ktd (t ) 1 k sin kt 0 0
π
π
2

Ak
bk ak bK
2
2I m kπ
（k为奇数）
is 的展开式为：
iS Im 2 2I m π (sin t 1 3 sin 3t 1 5 sin 5t )
iS i1
i2
已知 :is 5 20 cos 1000t 10 cos 3000t A
C1
i3
C3
C2 200
100 L
解 C1中只有基波电流，说明L和C2对三次谐波发 生并联谐振。即： 1 1
C2
L
2

9 10
5
F
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•
iS i1
i2
C1
i3
C3 C2
100 L
0
60 j60
1.18 15 A
0
测的是u1 的功率
0
i 6.96 2 cos(t 18.4 ) 1.18 2 cos( 3t 15 )A
0
P 220 6.96 cos18.4 1452 .92 W
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• 例10
L=0.1H，C3＝1F，C1中只有基波电流，C3中 只有三次谐波电流，求C1、C2和各支路电流。
j40 并联谐振
+ a
120 0 j40

_ b
U 1200 V U ad1 1
I C11 jC1U1 390 A
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•
(3) u2=60cos(2000t+ /4)V作用
2L1 2000 40 10 80, 2L2 2000 10 10 1 1 1 20Ω 6 2C1 2C2 2000 25 10
2π T
1
3

2 1.57 3.14
I1m 33.3μA
1 5
I1m 20μA
10
6
2 3.14 6.28 10
6
rad/s
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•
电流源各频率的谐波分量为：
I S 0 78.5μA
is 3 100 3
6
is1 100 sin 10 t μA
6
sin 3 10 t μA
is 5
100 5
sin 5 10 t μA
6
（2） 对各次谐波分量单独计算： （a) 直流分量 IS0 作用
I S 0 78.5μA
IS 0
R
u
电容断路，电感短路
U 0 RIS 0 20 78.5 10 1.57mV
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例1 半波整流电路的输出信号
第13章 非正弦周期电流电路 和信号的频谱
例2 示波器内的水平扫描电压
周期性锯齿波
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• 例3 脉冲电路中的脉冲信号
t
T
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• 例4 交直流共存电路
+V
Es
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•
例5 周期性方波信号的分解
iS
Im
t
o 解
T/2 T 图示矩形波电流在一个周期内的表达式为：
6
208 .3 89.53


U 5 I s 5 Z (51 ) 20 10 4.166 2

208 .3 89.53 2
89.53 mV
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•
(3)各谐波分量计算结果瞬时值迭加：
U 0 1.57 mV
U1 5000 2 mV U3 12.47 2 89.2 mV
2
3
2
当u=12V作用时，电容 24 开路、电感短路，有：
i1 12 / 8 1.5A
u/V
12 o
0.5
u2 0
1
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t/ms
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•
当 u 12 cos( t )作用时
XC 1
C

π 2π 10 125 10
3 6
4Ω
X L L 2π 10
3
1 2π
10
3
1
振幅相量
I1 8
U2
8 j3A + + ++ j4 j4 * * j UU 120 -j4 0 120 j4 U1 U 120 V -j4 – –– – 1
I1 12
1
0 0
U
2 I1 :
I2
1 51C 1 5 10 1000 10
6 6 3 12
100 5
sin 5 10 t μA
6
0.2k
iS 5
R C L
u
51 L 5 10 10
5kΩ
Z (51 )
( R jXL 5)( jXC 5) R j(5 XL 5 XC 5)
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a+
_ b
并联谐振
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3 45 A

•
所求电压、电流的瞬时值为：
i=i0+ i1 + i2 =1A iC1= iC10 +iC11 +iC12 =3cos(1000t+90) A iL2= iL20 +iL21 +iL22 =1+3cos(2000t 45) A uad= uad0 + uad1 + uad2 =30+120cos1000t V ucb= ucb0 + ucb1 + ucb2 =30+60cos(2000t+45) V
kω1
矩形波的 相位频谱
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•
例6 方波信号激励的电路。求u, 已知：
R 20、 L 1mH、C 1000 pF I m 157 μA、 T 6.28μs
iS
C
R
u
L
解
(1) 方波信号的展开式为：
iS Im 2 1 5 2I m π (sin t 1 3 sin 3t
1kΩ
XL>>R
Z (1 ) ( R jX L ) ( jX C ) R j( X L X C ) X L XC R L RC 50 kΩ
U1 I1 Z (1 ）
100 10 2
6
50
5000 2
mV
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•
(d)五次谐波作用 is 5
表A1的读数： I 表A3的读数： 表V1的读数：
1A
1 (3 /
2
表A2的读数： / 3
2 ) 2.35A
2
2 2.12A
30 (120 /
2
2 ) 90 V
2
表V2的读数：
30 (60 /
2
2 ) 52.0V
2
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•
已知u(t)是周期函数，波形如图，L=1/2 H， 例8 C=125/ F，求理想变压器原边电流i1(t)及输 出电压u2的有效值。 8 i1 2 : 1 i + + 解 2π / T 2π 10 rad/s * * u L u u (t ) 12 12 cos( t ) – C –
1
2
n
0 U1 60 V
U2
6 2
4.243V
i1 1.5 3 cos( t 90 )A
0
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• 例9
已知 : u1 220 2 costV u2 220 2 cost 100 2 cos(3t 30 )V
0
求Uab、i、及功率表的读数。 解 U ab 440 100 451.22V
L2 1000 10 10
40Ω
3
10Ω
C1

1
C2

1 1000 25 10
j40
I C 11
j10 30 d c
U1 I L 21
U1 1200 V
I1 I L 21 0 U cb1 0
I1
j40
1 T 1
π
I m iS (t ) 0
0t T 2
T 2
t T
直流分量： I O 谐波分量： bK
Im π ( 1 k


T
0
2π
iS (t ) dt
1 T

T /2
0
I m dt
Im 2
0
iS (t ) sin ktd ( t )
π
cos kt ) 0
200
C3中只有三次谐波电流，说明L、C1、C2对一 次谐波发生串联谐振。即：
1 jC1 L C2 j(L 1 C2 ) 0
Baidu Nhomakorabea
C1
8 9 10
(1)u0=30V作用于电路，L1、L2短路，C1、C2开路。
i0= iL20 = u0/R =30/30=1A, iC10=0, uad0= ucb0 = u0 =30V
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•
(2) u1=120cos1000t V作用
L1 1000 40 10
1
3
40Ω
6
IS0
i s1
is3
is 5
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•
iS
Im
Akm
t
矩形波的 幅度频谱
T/2
T o 1
31 51 71 I m 2I m 1 1 iS (sin t sin 3t sin 5 t ) 2 π 3 5 k ~ k1
1
31 51 71
o -π/2
U1 I1 Z (1 ）
100 10 2
6
50
5000 2
mV
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•
（b)基波作用
1
is1 100 sin 10 t μA
6
1C

1 10 1000 10
6 6 3 12
1kΩ
iS 1
R C L
u
1 L 10 10
2 2
一次谐波作用：U ab(1) 4400 V
0
U1 U2
a * W* + 60 j20
I
I (1)
440 60 j20
– + – b
6.96 18.4 A
0
三次谐波作用：U ab( 3) 100300 V
I ( 3) 100 30


U5
4.166 2
89.53 mV
u U 0 u1 u3 u5 1.57 5000 sin t 12.47 sin( 3t 89.2 )

4.166 sin( 5t 89.53 ) mV

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• 例7
已知 : u 30 120 cos1000 t 60 cos(2000 t π 4 ) V.
求电路中各表读数(有效值) 。 L1 40mH A1 C1 A2 L2 A3 30 10mH c d C2 25F V2
25F V V11
a +
u
_
b
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•
解
L1 40mH L1 C1 i i0 a a ++
L2 L2 10mH
iC1 30 iL2L20 iC10 30 i c c dd C2 25F C2 25F C1 __ bb u0