最新第七讲机器人动力学
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第四章
机器人动力学
4.1 动力学模型
4.2 牛顿——欧拉方程法
习题
2018年12月3日星期一
第四章
动力学研究的问题：
机器人动力学
机器人各个关节的运动与关 节需要的驱动力（矩）之间的关 系。 正问题：已知关节运动，求 关节驱动力（矩）。
逆问题：已知关节驱动力（矩）
， 求关节运动。
2018年12月3日星期一
τ1=0
f1=mg
2018年12月3日星期一
4.1
动力学模型
1、力学分析
（1）静力学分析 机器人各个关节处于静止状态。 考虑杆件自重时： 关节承受的力和力矩： 关节需要的驱动力（矩）：
mg m1=mg(l1+l2) l1 m2=mgl2 m2 g l2 τ2=mgl2 f2=mg m3 g f3=mg τ3=mg
2018年12月3日星期一
4.1
动力学模型
2、拉格朗日方程法
例：已知二关节机器人如图所示，机器人的两个 连杆长度分别为l1和l2，质量分别为m1和m2，且集 中在各连杆的端部。若将机器人直接悬挂在加速 度为g的重力场中，试用拉格朗日方程建立该机器 人的动力学方程。 y 关节1 解：① 选取连杆绕关节的转角 x 为变量θ1和θ2 ，则系统的广义 坐标就可以选为 qi (i 1,2) ，即 θ1 q1 1 , q2 2 关节2 m1 ② 转动关节对应的是力矩， θ2 所以广义力就选为 Fi (i 1,2) ， m2 即 F1 M1 , F2 M2 。
m1 g
τ1=0
f1=mg
2018年12月3日星期一
4.1
动力学模型
1、力学分析
（2）动力学分析
机器人各个关节处于运动状态。 当负载为一重物时： 关节承受的力和力矩：
,
1
m1
1
2 , 2
m2 l1 l2
,d d 3 3
τ3 m3
τ1
f1
τ2 f2
f3
关节需要的驱动力（矩）：
(m1 m2 ) gl1 cos1 m2 gl 2 cos( 1 2 )
2018年12月3日星期一
4.1
动力学模型
2、拉格朗日方程法
④ 求出机器人动力学方程： 先将拉格朗日函数对 1 和 1 进行微分，即：
2018年12月3日星期一
4.1
动力学模型
2、拉格朗日方程法
对给定的机器人，可以按以下几个步骤建立拉 格朗日动力学方程： （1）选取完全并独立的广义坐标；qi q1 , q2 ,, qn ; （2）选定广义力；Fi F1 , F2 ,, Fn ; （3）求出系统的动能T和势能U，并用其构造拉格 朗日函数L=T-U； （4）将以上结果代入拉格朗日方程式中，即可求 得机器人的动力学方程。
2018年12月3日星期一
4.1
动力学模型
2、拉格朗日方程法
③ 求出各连杆的动能和势能： 1 T 连杆l1的动能为： 1 2 m1l1212 U1 m1 gl1 cos1 连杆l1的势能为： 对连杆l2求动能和势能时，要先写出其质心在直 角坐标系中的位置表达式：
1 2 ) x2 l1 sin1 l 2 sin( 1 2 ) y2 l1 cos1 l 2 cos(
2018年12月3日星期一
4.1
动力学模型
1、力学分析 2、拉格朗日方程法 3、动力学模型
2018年12月3日星期一
4.1
动力学模型
1、力学分析
（1）静力学分析 机器人各个关节处于静止状态。 当负载为一重物时： 关节承受的力和力矩： 关节需要的驱动力（矩）：
mg m1=mg(l1+l2) l1 m2=mgl2 l2 τ2=mgl2 f2=mg f3=mg τ3=mg
势能为： U 2 m2 gl1 cos1 m2 gl 2 cos( 1 2 )
则可构造出拉格朗日函数为：
L 1 2 1 m l 2 ( 2 2 2 ) m l l cos ( 2 ( m1 m2 )l12 1 2 2 1 1 2 2 2 1 2 2 1 1 2) 2 2
由此可得连杆的速度平方值为：
2018年12月3日星期一
4.1
动力学模型
2、拉格朗日方程法
③ 求出各连杆的动能和势能： 从而连杆l2的动能为：
T2 1 2 1 m l 2 ( 2 2 2 ) m l l cos ( 2 m2 l12 1 2 2 1 1 2 2 2 1 2 2 1 1 2) 2 2
第四章
数学模型：
机器人动力学
i , q i 关节运动→位移、速度、加速度变化→ qi , q
关节驱动力（矩）→驱动力或驱动力矩→τi
动力学方程：
i , q i ) i f (qi , q
， i=1，…，n
i , q i，求τi。 正问题：已知 qi , q
i , q 。 逆问题：已知τi ，求 qi , q i
然后求微分，则其速度就为：
l cos( ) 2 l1 cos 1 1 2 )( x 1 2 1 2 ) 1 2 )( 1 2 y2 l1 sin 1 l 2 sin(
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 v2 x y l1 1 l 2 (1 2 1 2 2 ) 2l1l 2 cos 2 (1 1 2 )
m(l1 l2 ) 1
2 m(l1 l2 ) 1
mg md 3
2018年12月3日星期一
4.1
动力学模型
2、拉格朗日方程法
拉格朗日方程的一般形式为：
d L L Fi i qi dt q
i 1,2,, n
式中，Fi ——广义力，它可以是力，也可以是力矩； q i ——系统选定的广义坐标； i ——广义坐标对时间的一阶导数，即速度； q L ——拉格朗日函数，又称为拉格朗日算子， 它被定义为系统的动能与势能之差L=T-U。
机器人动力学
4.1 动力学模型
4.2 牛顿——欧拉方程法
习题
2018年12月3日星期一
第四章
动力学研究的问题：
机器人动力学
机器人各个关节的运动与关 节需要的驱动力（矩）之间的关 系。 正问题：已知关节运动，求 关节驱动力（矩）。
逆问题：已知关节驱动力（矩）
， 求关节运动。
2018年12月3日星期一
τ1=0
f1=mg
2018年12月3日星期一
4.1
动力学模型
1、力学分析
（1）静力学分析 机器人各个关节处于静止状态。 考虑杆件自重时： 关节承受的力和力矩： 关节需要的驱动力（矩）：
mg m1=mg(l1+l2) l1 m2=mgl2 m2 g l2 τ2=mgl2 f2=mg m3 g f3=mg τ3=mg
2018年12月3日星期一
4.1
动力学模型
2、拉格朗日方程法
例：已知二关节机器人如图所示，机器人的两个 连杆长度分别为l1和l2，质量分别为m1和m2，且集 中在各连杆的端部。若将机器人直接悬挂在加速 度为g的重力场中，试用拉格朗日方程建立该机器 人的动力学方程。 y 关节1 解：① 选取连杆绕关节的转角 x 为变量θ1和θ2 ，则系统的广义 坐标就可以选为 qi (i 1,2) ，即 θ1 q1 1 , q2 2 关节2 m1 ② 转动关节对应的是力矩， θ2 所以广义力就选为 Fi (i 1,2) ， m2 即 F1 M1 , F2 M2 。
m1 g
τ1=0
f1=mg
2018年12月3日星期一
4.1
动力学模型
1、力学分析
（2）动力学分析
机器人各个关节处于运动状态。 当负载为一重物时： 关节承受的力和力矩：
,
1
m1
1
2 , 2
m2 l1 l2
,d d 3 3
τ3 m3
τ1
f1
τ2 f2
f3
关节需要的驱动力（矩）：
(m1 m2 ) gl1 cos1 m2 gl 2 cos( 1 2 )
2018年12月3日星期一
4.1
动力学模型
2、拉格朗日方程法
④ 求出机器人动力学方程： 先将拉格朗日函数对 1 和 1 进行微分，即：
2018年12月3日星期一
4.1
动力学模型
2、拉格朗日方程法
对给定的机器人，可以按以下几个步骤建立拉 格朗日动力学方程： （1）选取完全并独立的广义坐标；qi q1 , q2 ,, qn ; （2）选定广义力；Fi F1 , F2 ,, Fn ; （3）求出系统的动能T和势能U，并用其构造拉格 朗日函数L=T-U； （4）将以上结果代入拉格朗日方程式中，即可求 得机器人的动力学方程。
2018年12月3日星期一
4.1
动力学模型
2、拉格朗日方程法
③ 求出各连杆的动能和势能： 1 T 连杆l1的动能为： 1 2 m1l1212 U1 m1 gl1 cos1 连杆l1的势能为： 对连杆l2求动能和势能时，要先写出其质心在直 角坐标系中的位置表达式：
1 2 ) x2 l1 sin1 l 2 sin( 1 2 ) y2 l1 cos1 l 2 cos(
2018年12月3日星期一
4.1
动力学模型
1、力学分析 2、拉格朗日方程法 3、动力学模型
2018年12月3日星期一
4.1
动力学模型
1、力学分析
（1）静力学分析 机器人各个关节处于静止状态。 当负载为一重物时： 关节承受的力和力矩： 关节需要的驱动力（矩）：
mg m1=mg(l1+l2) l1 m2=mgl2 l2 τ2=mgl2 f2=mg f3=mg τ3=mg
势能为： U 2 m2 gl1 cos1 m2 gl 2 cos( 1 2 )
则可构造出拉格朗日函数为：
L 1 2 1 m l 2 ( 2 2 2 ) m l l cos ( 2 ( m1 m2 )l12 1 2 2 1 1 2 2 2 1 2 2 1 1 2) 2 2
由此可得连杆的速度平方值为：
2018年12月3日星期一
4.1
动力学模型
2、拉格朗日方程法
③ 求出各连杆的动能和势能： 从而连杆l2的动能为：
T2 1 2 1 m l 2 ( 2 2 2 ) m l l cos ( 2 m2 l12 1 2 2 1 1 2 2 2 1 2 2 1 1 2) 2 2
第四章
数学模型：
机器人动力学
i , q i 关节运动→位移、速度、加速度变化→ qi , q
关节驱动力（矩）→驱动力或驱动力矩→τi
动力学方程：
i , q i ) i f (qi , q
， i=1，…，n
i , q i，求τi。 正问题：已知 qi , q
i , q 。 逆问题：已知τi ，求 qi , q i
然后求微分，则其速度就为：
l cos( ) 2 l1 cos 1 1 2 )( x 1 2 1 2 ) 1 2 )( 1 2 y2 l1 sin 1 l 2 sin(
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 v2 x y l1 1 l 2 (1 2 1 2 2 ) 2l1l 2 cos 2 (1 1 2 )
m(l1 l2 ) 1
2 m(l1 l2 ) 1
mg md 3
2018年12月3日星期一
4.1
动力学模型
2、拉格朗日方程法
拉格朗日方程的一般形式为：
d L L Fi i qi dt q
i 1,2,, n
式中，Fi ——广义力，它可以是力，也可以是力矩； q i ——系统选定的广义坐标； i ——广义坐标对时间的一阶导数，即速度； q L ——拉格朗日函数，又称为拉格朗日算子， 它被定义为系统的动能与势能之差L=T-U。