随机存储模型

7 e −6 6τ e −6 6τ F(6) = ∑ = 0.6063, F(7) = ∑ = 0.7440 τ =0 τ ! τ =0 τ ! 6
k – 因 F(6) < < F(7) 故订货量应为7单位时损失期望值最小。 k+h
• 例9 上题中如缺货损失为10元，滞销损失为20元。在这种 情况下该店订货量应为若干? – 解 利用(15-13)式，其中k=10,h=20 k 10 = ≈ 0.333 h + k 30 查统计表，找与0.3333相近的数。 4 5 e−6 6τ e−6 6τ F(4) = ∑ = 0.2851 F(5) = ∑ , = 0.4457 τ =0 τ! τ =0 τ! – F(4)＜0.3333＜F(5)，故订货量应为甲商品5个单位。 – 答 该店订货量为5个单位甲商品。
0 700 1400 2100 1700 1300
0 700 1400 2100 2800 2400
0 700 1400 2100 2800 3500
• 获利期望值最大者标有(*)记号，为1440元。经比较 后可知该店订购3000张日历画片可使获利期望值最 大。
• 从相反的角度考虑求解
– 当订货量为Q时，可能发生滞销赔损(供过于求的情况)， 也可能发生因缺货而失去销售机会的损失(求过于供的情 况)。把这两种损失合起来考虑，取损失期望值最小者所 对应的Q值。 – 当该店订购量为2千张时，计算其损失的可能值： – 供货大于需求时滞销损失为：(-400)×2 +(-400)×1+ 0 =1200(元) – 供货小于需求时缺货损失为：(-700)×1 +(-700)×2 +(700)×3=-4200(元) – 当订货量为2千张时，缺货和滞销两种损失之和的期望值： – E[C(2)]=(-800)×0.05+(-400)×0.10+0×0.25+(700)×0.35+(-1400)×0.15+(-2100)×0.10=-745(元) – 按此算法列出表9-3。
∑ (r - Q)P(r) ≤ h ∑ (Q + 1 − r)P(r) + k ∑ (r - Q -1)P(r)
Q
r =0 r =Q+ 2
∞
Q +1
∞
• 经化简后得 ( k + h ) ∑ P ( r ) − k ≥ 0 即
k ∑ P(r) ≥ k + h r =0
Q
r=0
• 由②出发进行推导有：
需求量r(千张) 概率P(r) 0 1 2 3 4 5 0.05 0.10 0.25 0.35 0.15 0.19
• 订购量为4千张时获利的期望值： E[C(4)]=(-1600)×0.05+(-500)×0.10+600×0.25+ 1700×0.35+2800×0.15+2800×0.10 =1315(元)
• (9-26)式表明了赢利最大与损失极小所得出的Q值相同。 • (9-27)式表明最大赢利期望值与损失极小期望值之和是常数。 从表9-2与表9-3中对应着相同的Q，去掉9-3表中数据的负 号后，两者期望值之和皆为19.25，称为该问题的平均盈利。 • 根据上面的分析，求赢利极大可以转化为求E[C(Q)](损失期 望值)极小。当Q可以连续取值时，E[C(Q)]是Q的连续函数。 可利用微分法求最小。
Q d d ∞ E[C(Q)] = P ∫ (r − Q)φ (r )dr + C1 ∫ (Q − r )φ (r )dr + KQ 0 dQ dQ Q
= −P ∫ φ (r )dr + C1 ∫ φ (r )dr + K = 0
Q 0
∞
Q
Q dE[C(Q)] = 0, 记 F(Q) = ∫ φ (r )dr • 令 0 dQ
h ∑ (Q − r ) P ( r ) + k
r =0 Q r = Q +1
∑ (r - Q)P (r ) ≤ h ∑ (Q - 1 − r )P(r ) + k ∑ (r - Q + 1)P(r )
r =0 r =Q
∞
Q -1
∞
• 经化简后得 ( k + h ) ∑ P ( r ) − k ≤ 0
∞
• 由于报童订购报纸的份数只能取整数，r是离散变量，所以 不能用求导数的方法求极值。为此设报童每日订购报纸份数 最佳量为Q，其损失期望值应有： – ① C(Q)≤C(Q+1) – ② C(Q)≤C(Q-1) • 从①出发有：
h ∑ (Q − r ) P ( r ) + k
r =0 Q r =Q +1
补充： 随机性存储模型
• 随机性存储模型的特点
– 需求为随机的，其概率或分布为已知。
• 可供选择的三种主要策略：
– (1) 定期订货，但订货数量需要根据上一个周期末剩下货物 的数量决定订货量。这种策略可称为定期订货法。 – (2) 定点订货，存储降到某一确定的数量时即订货，不再考 虑间隔的时间。这一数量值称为订货点，每次订货的数量 不变，这种策略可称之为定点订货法。 – (3) 把定期订货与定点订货综合起来的方法，隔一定时间检 查一次存储，如果存储数量高于一个数值s，则不订货。小 于s时则订货补充存储，订货量要使存储量达到S，这种策 略可以简称为(s,S)存储策略。
C1 (Q) = 0 r>0
• 货物的成本为KQ，本阶段订购量为Q赢利为W(Q)，
• 赢利的期望值记作E[W(Q)]，
W(Q) = P min[r Q] − KQ − C1 (Q)
(赢利)=(实际销售货物的收入)−(货物成本)−(支付的存储费用) • 赢利的期望值：
E[ W (Q)] = ∫ Prφ (r )dr + ∫ PQφ ( r )dr − KQ − ∫ C1 (Q - r)φ (r)dr
• 按上述算法列出表9-2。
需求量 获利 订货量 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 获利的 期望值 0 645 1180 1440* 1315 1025
0 -400 -800 -1200 -1600 -2000
0 700 300 -100 -500 -900
0 700 1400 1000 600 200
• 利用公式(13-25)解例7的问题。 已知：k=7,h=4,
k ≈ 0.637 k+h
P(0)=0.05，P(1)=0.10，P(2)=0.25，P(3)=0.35
∑ P(r) = 0.40 < 0.637 < ∑ P(r) = 0.75
r =0 r =0
2
3
知该店应订购日历画片3千张。
• 例8 某店拟出售甲商品，每单位甲商品成本50元，售价70元。 如不能售出必须减价为40元，减价后一定可以售出。已知售货 量r的概率服从泊松分布 e − k λτ P(r ) = τ! 根据以往经验，平均售出数为6单位(λ=6)。问该店订购量应为若 干单位? 解 该店的缺货损失，每单位商品为70-50=20。滞销损失，每单 位商品50-40=10，利用(9-13)式，其中k=20，h=10 Q k 20 e −6 6τ = ≈ 0.667, P(τ ) = , F ( Q ) = ∑ P (τ ) k + h 20 + 10 τ! τ =0
0 Q 0
Q
∞
Q
= ∫ Prφ (r )dr − ∫ Prφ ( r )dr + ∫ PQφ (r )dr − KQ − ∫ C1 (Q - r)φ (r)dr
0 Q Q 0
∞
∞
∞
Q
= PE (r ) − { P ∫ (r − Q)φ (r )dr +
Q 常量（平均盈利）
∞
∫
Q
0
C1 (Q - r)φ (r )dr + KQ
∑
r =0
• 当需求r＞Q时，报童因为只有Q份报纸可供销售，赢利的期望 ∞ 值为∑ kQP ( r ) ，无滞销损失。
r = Q +1
• 由以上分析知赢利的期望值：
C(Q) = ∑ krP(r ) − ∑ h (Q − r )P(r ) + ∑ kQP(r )
r =0 r =0 r =Q +1 Q Q ∞
∑ h(Q - r)P(r )
r =0
Q
– 供不应求时(r＞Q)，因缺货而少赚钱的损失，其期望值为：
r =Q +1
∑ k(r - Q)P(r)
∞
• 综合两种情况，当订货量为Q时，损失的Hale Waihona Puke Baidu望值为：
C( Q ) = h ∑ ( Q − r ) P ( r ) + k
r =0 Q r =Q +1
∑ (r - Q)P(r)
• 与确定性模型不同的是不允许缺货的条件只能从概率意义下 理解，存储策略的优劣通常以赢利的期望值作为衡量标准。 – 例7 某商店拟在新年期间出售一批日历画片，每售出一千 张可赢利700元。如果在新年期间不能售出，必须削价处 理，作为画片出售。由于削价，一定可以售完，此时每千 张赔损400元。根据以往的经验，市场需求的概率见表9-1。 每年只能订货一次，问应订购日历画片几千张才能使获利 的期望值最大? ?
r=0
Q -1
即 r=0 • 报童应准备的报纸最佳数量Q应按下列不等式确定：
k P (r) < ≤ ∑0 k+h r=
Q -1
∑ P(r) ≤
Q -1
k k+h
Q
∑ P (r )
r=0
( 9 − 25 )
• 从赢利最大来考虑报童应准备的报纸数量。设报童订购报纸数 量为Q，获利的期望值为C(Q) 。 • 当需求r≤Q时，报童只能售出r份报纸，每份赚k(元)，共赚 k•r(元)。未售出的报纸，每份赔h(元)，滞销损失为h(Q-r)(元)。 Q • 此时赢利的期望值为： [kr − h (Q − r )]P(r )
因滞销受到损失的期望 值
}
) 因缺货失去销售机会损 失的期望值
常量
记 E[C(Q)] = P ∫Q (r − Q)φ ( r )dr + C1 ∫0 (Q − r )φ ( r )dr + KQ
∞
Q
• 为使赢利期望值极大化，有下列等式：
maxE[ W (Q)] = PE ( r ) − minE[C(Q)] maxE[ W (Q)] + minE[C(Q)] = PE (r ) (9 − 26) (9 − 27)
• 为使订购Q赢利的期望值最大，应满足下列关系式：
– ① C(Q+1)≤C(Q) – ② C(Q-1)≤C(Q)
Q +1 r =0 Q Q +1 r =0 Q ∞
• 从①式推导， rP(r ) − h (Q + 1 − r )P(r ) + k k∑ ∑
k ∑ rP(r ) − h ∑ (Q − r )P(r ) + k
订货量(千张) 损失的期望值 0 -1925 1 -1280 2 -745 3 -485* 4 -610 5 -900
• 模型五：需求是随机离散的 • 模型六：需求是连续的随机变量 • 模型七：(s,S)型存储策略
模型五：需求是随机离散的
• 报童问题：报童每日售报数量是一个随机变量。报童每售出一 份报纸赚k元。如报纸未能售出，每份赔h元。每日售出报纸份 数r的概率P(r)根据以往的经验是已知的，问报童每日最好准备 多少份报纸? • 解 设售出报纸为r，概率P(r)为已知，订购报纸数量为Q。 – 供过于求时(r≤Q)，报纸因不能售出而承担损失，期望值为：
r =0 ∞
r =Q + 2
∑ (Q + 1)P(r) ≤
• 经化简后得 同理从②推导出
k ∑ P(r ) ≥ k + h r =0
Q
r =0
r =Q +1
∑ Q ⋅ P( r )
k ∑ P(r ) ≤ k + h r =0
Q −1
• 用以下不等式确定Q的值，这一公式与(9-25)式完全相同。 Q −1 Q k ∑ P( r ) < k + h ≤ ∑ P( r ) r =0 r =0
模型六：需求是连续的随机变量
• 设货物单位成本为K，货物单位售价为P，单位存储费为C1， 需求r是连续的随机变量，密度函数为Φ(r)，Φ(r)dr表示随机变 量在r与r+dr之间的概率，其分布函数 a F ( a ) = ∫ φ ( r ) dr , ( a > 0 ) 0 生产或订购的数量为Q，问如何确定Q的值使赢利期望最大? • 解 首先我们来考虑当订购数量为Q时，实际销售量应该是 min[r,Q]。也就是当需求为r而r小于Q时，实际销售量为r；r≥Q 时，实际销售量只能是Q。 • 需支付的存储费用 C1 (Q − r ) r ≤ Q
• 即 C1F(Q) − P[1 − F(Q)] + K = 0
F(Q) = P−K C1 + P