第一章 1.1集合的概念及运算

§1.1集合的概念及运算

1．集合与元素

(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．

(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．

(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．

(4)常见数集的记法

2.集合间的基本关系

A B (或B A ) 3.集合的基本运算

概念方法微思考

1．若一个集合A 有n 个元素，则集合A 有几个子集，几个真子集． 提示 2n ，2n －1.

2．从A ∩B ＝A ，A ∪B ＝A 可以得到集合A ，B 有什么关系？ 提示 A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ，A ∪B ＝A ⇔B ⊆A .

题组一 思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)任何一个集合都至少有两个子集．( × )

(2){x |y ＝x 2＋1}＝{y |y ＝x 2＋1}＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}．( × )

(3)若{x 2，1}＝{0,1}，则x ＝0,1.( × ) (4){x |x ≤1}＝{t |t ≤1}．( √ ) (5)若A ∩B ＝A ∩C ，则B ＝C .( × ) 题组二 教材改编

2．[P7练习2]若集合A ＝{x ∈N |x ≤ 2 020}，a ＝22，则下列结论正确的是( ) A ．{a }⊆A B ．a ⊆A C ．{a }∈A D ．a ∉A

答案 D

3．[P44A 组T5]已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为________． 答案 2

解析 集合A 表示以(0,0)为圆心，1为半径的单位圆上的点，集合B 表示直线y ＝x 上的点，圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝x 相交于两点⎝⎛⎭⎫22，

22，⎝⎛⎭⎫－22，－2

2，则A ∩B 中有两个元素． 题组三 易错自纠

4．(2018·湖南长郡中学月考)已知集合A ＝{x ∈N |0≤x ≤4}，则下列说法正确的是( ) A ．0∉A B ．1⊆A C.2⊆A D ．3∈A

答案 D

解析 集合A ＝{x ∈N |0≤x ≤4}，∴0∈A,1∈A ，2∉A,3∈A ，故选D.

5．已知集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |22}

解析 由已知可得集合A ＝{x |12}．

6．已知集合M ＝{x |x －a ＝0}，N ＝{x |ax －1＝0}，若M ∩N ＝N ，则实数a 的值是________． 答案 0或1或－1

解析 易得M ＝{a }．∵M ∩N ＝N ，∴N ⊆M ， ∴N ＝∅或N ＝M ，∴a ＝0或a ＝±1.

题型一 集合的含义

1．已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{(x ，y )|x ≥y ，x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( ) A ．1 B ．3 C ．6 D ．9 答案 C

解析 当x ＝0时，y ＝0；当x ＝1时，y ＝0或y ＝1； 当x ＝2时，y ＝0,1,2.

故集合B ＝{(0,0)，(1,0)，(1,1)，(2,0)，(2,1)，(2,2)}，即集合B 中有6个元素．

2．已知集合A ＝⎩

⎪⎨⎪⎧⎭

⎪⎬⎪

⎫x ⎪

⎪

x ∈Z ，且32－x ∈Z ，则集合A 中的元素个数为( )

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5 答案 C 解析 因为

3

2－x ∈Z ，所以2－x 的取值有－3，－1,1,3，又因为x ∈Z ，所以x 的值分别为5,3,1，－1，故集合A 中的元素个数为4.

3．已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________． 答案 －3

2

解析 由题意得m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3， 则m ＝1或m ＝－3

2

，

当m ＝1时，m ＋2＝3且2m 2＋m ＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意； 当m ＝－32时，m ＋2＝12，而2m 2＋m ＝3，故m ＝－3

2

.

思维升华 (1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合．

(2)如果是根据已知列方程求参数值，一定要将参数值代入集合中检验是否满足元素的互异性．

题型二 集合间的基本关系

例1 (1)集合M ＝⎩

⎨⎧⎭

⎬⎫x ⎪⎪ x ＝n 2＋1，n ∈Z ，N ＝⎩

⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪

⎪

y ＝m ＋1

2，m ∈Z ，则两集合M ，N 的关系为( ) A ．M ∩N ＝∅ B ．M ＝N C ．M ⊆N D ．N ⊆M

答案 D

解析 由题意，对于集合M ，当n 为偶数时，设n ＝2k (k ∈Z )，则x ＝k ＋1(k ∈Z )，当n 为奇数时，设n ＝2k ＋1(k ∈Z )，则x ＝k ＋1＋1

2

(k ∈Z )，∴N ⊆M ，故选D.

(2)已知集合A ＝{x |x 2－2 019x ＋2 018<0}，B ＝{x |x

解析 由x 2－2 019x ＋2 018<0，解得1

又B ＝{x |x

引申探究

本例(2)中，若将集合B 改为{x |x ≥a }，其他条件不变，则实数a 的取值范围是____________． 答案 (－∞，1]

解析 A ＝{x |1

思维升华 (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．

(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题．

跟踪训练1 (1)已知集合A ＝{y |0≤y

解析 B ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈N }＝{x |－1≤x ≤3，x ∈N }＝{0,1,2,3}，当a 分别取1,2,3时，所得集合A 分别为{0}，{0,1}，{0,1,2}，均满足A B ，当a ＝4时，A ＝{0,1,2,3}，不满足A B ，