特征函数讲解
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T
i tx1
i tx2
| e 1|| e d x | | eix |d x 由于对于>0, 0 0 对于 0，取共轭即知也成立
i ix
| e 1||| e 1|| e
i
i
i
因而
| ei 1 || |
1|| e d x | | eix |d x
| (e 1) | dF ( x )
ihx
A | x| A A
| f (t h) f (t ) || (ei ( t h) x eitx )dF ( x ) |
| x| A
|e
ihx
-1|dF ( x ) | (eihx 1) | dF ( x)
为的特征函数(characteristic function)
由于 | eitx || cos tx i sin tx | 1,因而此积分是绝 对收敛的，因而对一切t 都有意义.
3. 离散情形与连续情形下的特征函数
设随机变量的分布列为P { xk } pk , k 1, 2, , n, 则其特征函数为 f ( t ) pk e itxk .
2. 定义
定义 4.5.1 如果与都是概率空间 (,F,P)上的 实值随机变量，则称=+i的复随机变量. 复随机变量=+i的数学期望为E()=E()+iE()
复随机变量 1 , 2 , , n相互独立，则 E ( 1 2 n ) E ( 1 ) E ( 2 ) E ( n )
(4) 性质4 两个相互独立的随机变量之和的特征函数 等于它们的特征函数之积
这是因为1和 2相互独立，则 e
推广
it (1 2 n )
it1
与e
it 2
相互
it n
独立，因而E (e it (1 2 ) ) E (e it1 ) E (e it2 ).
E (e
| f (t ) | f (0)
f ( t ) f ( t )
证明
f ( t ) e
itx
dF ( x ) eitx dF ( x ) f (t )
(2) 性质2
特征函数在(-,)上一致连续.
证明
| eitx || (eihx 1) | dF ( x )
{e
k 1 j 1
n it k x k 1
n
i ( tk t j ) x
n
k j }d F ( x )
it j x
( e
k )( e
2
j 1
j )d F ( x )
e itk x k d F ( x ) 0
k 1
n
此性质为特征函数的非负定性.
这是因为
d k itx (k ) k k itx f (t ) (e )d F ( x ) i x (e )d F ( x ) k d t
令t=0即可证明性质5. 关于广义积分的求导，这是因为
d itx k k itx | d t k (e ) | d F ( x ) | i x (e ) | d F ( x) k
ix 0 0
因此
|
e
i tx1
e it
i tx2
e
i tx
| x2 x1
经过交换积分次序我们可以得到
1 T e i tx1 e i tx2 i tx IT {T i t e d t }d F ( x ) 2π
1 T ei t ( x x1 ) ei t ( x x2 ) dt {0 2π it i t ( x x1 ) 0 e e i t ( x x2 ) d t }d F ( x ) T it
第4.5节
一、定义
特征函数
二、性质
三、逆转公式与唯一性定理 四、分布函数的再生性
五、多元特征函数
Fra Baidu bibliotek 一、定义
1. 问题的引出
随机变量的数字特征只反映了概率分布的某些 侧面，一般情况下，无法仅由数字特征确定分布函 数，因此需要引进随机变量的另一个指标，该指标 是可以反映随机变量的本质特征，可以唯一确定随 机变量的分布函数，该指标就是特征函数.
k 1
设连续型随机变量的密度函数为p(x),则其特征函 数为
f (t ) eitx p( x )dx
同时我们注意到，连续型随机变量的特征函数f(t) 是密度函数p(x)的傅立叶变换.
4. 常见分布的特征函数
【退化分布】
f (t ) p j e
k 1
itxk
e
itc
lim g (T , x , x1 , x2 ) D( x x1 ) D( x x2 )
由此可以得到引例的结论
定理4.5.1的证明： 设x1 x2 , 记
1 e e IT T i t f (t )d t 2π i tx1 i tx2 T e 1 e i tx T i t e d F ( x )d t 2π
| xk | d F ( x)
应用
可以利用特征函数得到随机变量的各阶矩
由上述性质可知，特征函数f(t)的泰勒展开式为：
f ( k ) (0) k f (t ) t o( t ) k! k 0 k n (i t ) k f (t ) E ( ) o( t ) k 0 k !
1 T ei t ( x x1 ) ei t ( x x2 ) dt {0 2π it i z ( x x1 ) 0e e i z ( x x2 ) d z }d F ( x )(换元z - t ) T iz 1 T ei t ( x x1 ) e i t ( x x1 ) ei t ( x x2 ) e i t ( x x2 ) d t }d F ( x ) {0 2π it 1 T sin t ( x x1 ) sin t ( x x2 ) { [ ]d t }d F ( x ) π 0 t t
g(T , x, x1 , x2 )d F ( x )
由引理可知， | g(T , x , x1 , x2 ) | 有界，因此由勒贝格
控制收敛定理（即积分号与极限符号交换次序）以及 引理的结论可知
T
lim IT lim g(T , x , x1 , x2 )d F ( x )
2
x sin tx e
x2 2
dx
1
1 2π
2π
sin tx d e
x2 2
t cos tx e
x2 2
d x tf ( t )
t2 即 ln f ( t ) c 2 t2 又因为f (0) 1, 所以c 0,因而f (t ) e 2
A
A
2
dF ( x ) | (eihx 1) | dF ( x )
A
hx 2 dF ( x ) 2 | sin |dF ( x ) | x| A A 2 由此可以看到，A足够大时，第一部分可以任意 小，h的绝对值足够小时，第二部分也可以任意小. (3) 性质3 对于任意的正整数n以及任意实数t1 , t 2 , , t n ,
【二项分布】
f (t ) C p e q
k 0
n
k n
k
itk
nk
C ( pe ) q
k 0 k n it k
n
nk
( pe q )
it
n
【泊松分布】
f (t )
k 0
k
k!
e e itk
( e it )k eit (eit 1) e e e k! k 0
) E (e
it1
) E (e
it 2
) E (e
)
应用 独立随机变量和的分布函数可以用褶积的方 法去求解，但相当复杂，如果用特征函数去求，就相 对容易。 (5) 性质5 设随机变量 有n阶矩，则它的特征函
数可微分n次，且当k n时，f ( k ) (0) i k E ( k ).
征函数为f ( t ), 又x1 , x2是F ( x )的连续点，则
1 T e i tx1 e i tx2 F ( x2 ) F ( x1 ) lim T i t f (t )d t T 2 π
此定理的证明需要下面的引理
引理4.5.1 设x1 x2 ,
1 T sin t ( x x1 ) sin t ( x x2 ) g(T , x , x1 , x2 ) dt π 0 t t
以及复数1 , 2 , n , 成立
f (t
k 1 j 1
n
n
k
t j )k j 0
证明： f ( t k t j )k j
k 1 j 1
n
n
{ e
n
n
i ( tk t j ) x
k 1 j 1 n
d F ( x )}k j
n
(6) 性质6
设 a b, 这里a , b为常数，则f ( t ) e i bt f (at ).
这是因为
f ( t ) E (ei t ) E (ei t ( a b ) ) ei tb E (ei ta ) ei tb f (at )
例1(p227例5） 试求正态分布 N (a , 2 ) 的特征函数. 解 先求标准正态分布的特征函数，
x2 2
f (t )
1 1
2π
e e
i tx
dx dx 1
2π
1
cos tx e
x2 2
2π
i sin tx e
x2 2
dx
2π
cos tx e
x2 2
dx
由于
f (t )
'
1
x sin tx e 2
2π
而 a ,由性质6可知，f (t ) e
1 i at 2 t 2 2
其他常见的分布的特征函数参见p332附录一.
三、逆转公式与唯一性定理
特征函数可以由分布函数确定，相应的由特征 函数也可以唯一确定分布函数. 也就是说特征函数是 分布函数的本质特征 . 定理4.5.1 逆转公式） 设分布函数F ( x )的特 （
【分布】 G(,r)
f (t ) e
0
itx
r
( r )
x
r 1
x
r 1
e
x
dx (1 ) r
it
{ (1 )}r ( r )
it
0
e
it (1 ) x
dx (1 ) r
it
二、性质
(1) 性质1
f (0) 1
复随机变量函数的数学期望，设=g(),
E (e ) E (e
由此可以引出：
it
itg ( )
) e
itg ( x )
dF ( x )
定义4.5.2 若随机变量的分布函数为F ( x ), 则称
f (t ) E (e ) e dF ( x )
it itx
则
0, x x1或x x2 1 lim g (T , x , x1 , x2 ) , x x1或x x2 T 2 1, x1 x x2
证明 由狄利克雷积分可知
因而
T
1 , 0 2 1 sin t D( ) dt 0, 0 π 0 t 1 , 0 2
T
F ( x2 ) F ( x1 )
(分段积分得到此结论）
定理4.5.2 (唯一性定理） 分布函数由其特征函 数唯一确定.
证明 应用逆转公式，在F(x)的每一连续点上，当y沿 着F(x)的连续点趋于-∞ 时，有
i ty T e 1 e i tx F ( x) lim lim f ( t )d t 2 y T T it
i tx1
i tx2
| e 1|| e d x | | eix |d x 由于对于>0, 0 0 对于 0，取共轭即知也成立
i ix
| e 1||| e 1|| e
i
i
i
因而
| ei 1 || |
1|| e d x | | eix |d x
| (e 1) | dF ( x )
ihx
A | x| A A
| f (t h) f (t ) || (ei ( t h) x eitx )dF ( x ) |
| x| A
|e
ihx
-1|dF ( x ) | (eihx 1) | dF ( x)
为的特征函数(characteristic function)
由于 | eitx || cos tx i sin tx | 1,因而此积分是绝 对收敛的，因而对一切t 都有意义.
3. 离散情形与连续情形下的特征函数
设随机变量的分布列为P { xk } pk , k 1, 2, , n, 则其特征函数为 f ( t ) pk e itxk .
2. 定义
定义 4.5.1 如果与都是概率空间 (,F,P)上的 实值随机变量，则称=+i的复随机变量. 复随机变量=+i的数学期望为E()=E()+iE()
复随机变量 1 , 2 , , n相互独立，则 E ( 1 2 n ) E ( 1 ) E ( 2 ) E ( n )
(4) 性质4 两个相互独立的随机变量之和的特征函数 等于它们的特征函数之积
这是因为1和 2相互独立，则 e
推广
it (1 2 n )
it1
与e
it 2
相互
it n
独立，因而E (e it (1 2 ) ) E (e it1 ) E (e it2 ).
E (e
| f (t ) | f (0)
f ( t ) f ( t )
证明
f ( t ) e
itx
dF ( x ) eitx dF ( x ) f (t )
(2) 性质2
特征函数在(-,)上一致连续.
证明
| eitx || (eihx 1) | dF ( x )
{e
k 1 j 1
n it k x k 1
n
i ( tk t j ) x
n
k j }d F ( x )
it j x
( e
k )( e
2
j 1
j )d F ( x )
e itk x k d F ( x ) 0
k 1
n
此性质为特征函数的非负定性.
这是因为
d k itx (k ) k k itx f (t ) (e )d F ( x ) i x (e )d F ( x ) k d t
令t=0即可证明性质5. 关于广义积分的求导，这是因为
d itx k k itx | d t k (e ) | d F ( x ) | i x (e ) | d F ( x) k
ix 0 0
因此
|
e
i tx1
e it
i tx2
e
i tx
| x2 x1
经过交换积分次序我们可以得到
1 T e i tx1 e i tx2 i tx IT {T i t e d t }d F ( x ) 2π
1 T ei t ( x x1 ) ei t ( x x2 ) dt {0 2π it i t ( x x1 ) 0 e e i t ( x x2 ) d t }d F ( x ) T it
第4.5节
一、定义
特征函数
二、性质
三、逆转公式与唯一性定理 四、分布函数的再生性
五、多元特征函数
Fra Baidu bibliotek 一、定义
1. 问题的引出
随机变量的数字特征只反映了概率分布的某些 侧面，一般情况下，无法仅由数字特征确定分布函 数，因此需要引进随机变量的另一个指标，该指标 是可以反映随机变量的本质特征，可以唯一确定随 机变量的分布函数，该指标就是特征函数.
k 1
设连续型随机变量的密度函数为p(x),则其特征函 数为
f (t ) eitx p( x )dx
同时我们注意到，连续型随机变量的特征函数f(t) 是密度函数p(x)的傅立叶变换.
4. 常见分布的特征函数
【退化分布】
f (t ) p j e
k 1
itxk
e
itc
lim g (T , x , x1 , x2 ) D( x x1 ) D( x x2 )
由此可以得到引例的结论
定理4.5.1的证明： 设x1 x2 , 记
1 e e IT T i t f (t )d t 2π i tx1 i tx2 T e 1 e i tx T i t e d F ( x )d t 2π
| xk | d F ( x)
应用
可以利用特征函数得到随机变量的各阶矩
由上述性质可知，特征函数f(t)的泰勒展开式为：
f ( k ) (0) k f (t ) t o( t ) k! k 0 k n (i t ) k f (t ) E ( ) o( t ) k 0 k !
1 T ei t ( x x1 ) ei t ( x x2 ) dt {0 2π it i z ( x x1 ) 0e e i z ( x x2 ) d z }d F ( x )(换元z - t ) T iz 1 T ei t ( x x1 ) e i t ( x x1 ) ei t ( x x2 ) e i t ( x x2 ) d t }d F ( x ) {0 2π it 1 T sin t ( x x1 ) sin t ( x x2 ) { [ ]d t }d F ( x ) π 0 t t
g(T , x, x1 , x2 )d F ( x )
由引理可知， | g(T , x , x1 , x2 ) | 有界，因此由勒贝格
控制收敛定理（即积分号与极限符号交换次序）以及 引理的结论可知
T
lim IT lim g(T , x , x1 , x2 )d F ( x )
2
x sin tx e
x2 2
dx
1
1 2π
2π
sin tx d e
x2 2
t cos tx e
x2 2
d x tf ( t )
t2 即 ln f ( t ) c 2 t2 又因为f (0) 1, 所以c 0,因而f (t ) e 2
A
A
2
dF ( x ) | (eihx 1) | dF ( x )
A
hx 2 dF ( x ) 2 | sin |dF ( x ) | x| A A 2 由此可以看到，A足够大时，第一部分可以任意 小，h的绝对值足够小时，第二部分也可以任意小. (3) 性质3 对于任意的正整数n以及任意实数t1 , t 2 , , t n ,
【二项分布】
f (t ) C p e q
k 0
n
k n
k
itk
nk
C ( pe ) q
k 0 k n it k
n
nk
( pe q )
it
n
【泊松分布】
f (t )
k 0
k
k!
e e itk
( e it )k eit (eit 1) e e e k! k 0
) E (e
it1
) E (e
it 2
) E (e
)
应用 独立随机变量和的分布函数可以用褶积的方 法去求解，但相当复杂，如果用特征函数去求，就相 对容易。 (5) 性质5 设随机变量 有n阶矩，则它的特征函
数可微分n次，且当k n时，f ( k ) (0) i k E ( k ).
征函数为f ( t ), 又x1 , x2是F ( x )的连续点，则
1 T e i tx1 e i tx2 F ( x2 ) F ( x1 ) lim T i t f (t )d t T 2 π
此定理的证明需要下面的引理
引理4.5.1 设x1 x2 ,
1 T sin t ( x x1 ) sin t ( x x2 ) g(T , x , x1 , x2 ) dt π 0 t t
以及复数1 , 2 , n , 成立
f (t
k 1 j 1
n
n
k
t j )k j 0
证明： f ( t k t j )k j
k 1 j 1
n
n
{ e
n
n
i ( tk t j ) x
k 1 j 1 n
d F ( x )}k j
n
(6) 性质6
设 a b, 这里a , b为常数，则f ( t ) e i bt f (at ).
这是因为
f ( t ) E (ei t ) E (ei t ( a b ) ) ei tb E (ei ta ) ei tb f (at )
例1(p227例5） 试求正态分布 N (a , 2 ) 的特征函数. 解 先求标准正态分布的特征函数，
x2 2
f (t )
1 1
2π
e e
i tx
dx dx 1
2π
1
cos tx e
x2 2
2π
i sin tx e
x2 2
dx
2π
cos tx e
x2 2
dx
由于
f (t )
'
1
x sin tx e 2
2π
而 a ,由性质6可知，f (t ) e
1 i at 2 t 2 2
其他常见的分布的特征函数参见p332附录一.
三、逆转公式与唯一性定理
特征函数可以由分布函数确定，相应的由特征 函数也可以唯一确定分布函数. 也就是说特征函数是 分布函数的本质特征 . 定理4.5.1 逆转公式） 设分布函数F ( x )的特 （
【分布】 G(,r)
f (t ) e
0
itx
r
( r )
x
r 1
x
r 1
e
x
dx (1 ) r
it
{ (1 )}r ( r )
it
0
e
it (1 ) x
dx (1 ) r
it
二、性质
(1) 性质1
f (0) 1
复随机变量函数的数学期望，设=g(),
E (e ) E (e
由此可以引出：
it
itg ( )
) e
itg ( x )
dF ( x )
定义4.5.2 若随机变量的分布函数为F ( x ), 则称
f (t ) E (e ) e dF ( x )
it itx
则
0, x x1或x x2 1 lim g (T , x , x1 , x2 ) , x x1或x x2 T 2 1, x1 x x2
证明 由狄利克雷积分可知
因而
T
1 , 0 2 1 sin t D( ) dt 0, 0 π 0 t 1 , 0 2
T
F ( x2 ) F ( x1 )
(分段积分得到此结论）
定理4.5.2 (唯一性定理） 分布函数由其特征函 数唯一确定.
证明 应用逆转公式，在F(x)的每一连续点上，当y沿 着F(x)的连续点趋于-∞ 时，有
i ty T e 1 e i tx F ( x) lim lim f ( t )d t 2 y T T it