数学建模-差分方程

2 常系数线性差分方程求解举例
形如：
yi n P yi n 1 Pn yi ri 1
（1）
的方程为 n 阶常系数方程。其中 P1 , , Pn 为常数， ri 为函数。 若 ri =0，则称为齐次方程，即
y i n P1 y i n 1 Pn y i 0 i
分 析
• 体重变化由体内能量守恒破坏引起 • 饮食（吸收热量）引起体重增加
• 代谢和运动（消耗热量）引起体重减少
模型假设
1）体重增加正比于吸收的热量— —每8000千卡增加体重1千克； 2）代谢引起的体重减少正比于体重—— 每周每公斤体重消耗200千卡 ~ 320千卡(因人而异), 相当于70千克的人每天消耗2000千卡 ~ 3200千卡； 3）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动 形式有关； 4）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过1.5 千克，每周吸收热量不要小于10000千卡。
G ( x , y i , y i 1 , , y i n ) 0 或
H ( x , yi , yi , , n yi ) 0
的方程都是差分方程。 方程中所含未知函数角标的最大值与最小值的差数称为差分 方程的阶。 若一个函数代入差分方程后，方程两端恒等，则称此函数为 差分方程的解。如果解中所含相互独立的任意常数的个数等于方 程的阶数，则称该解为差分方程的通解。满足初始条件的解称为 特解。
二阶线性常系数差分方程 x0为平衡点 研究平衡点稳定，即k, xkx0的条件
模型的推广 2xk 2 xk 1 xk 2(1 ) x0
k xk c11 c2 k (c1, c2由初始条件确定) 方程通解 2
1, 2~特征根，即方程 2 0 的根
r ri r ， r 为常数时，其平衡点 y* 是稳定的条 1 P Pn 1
件与对应的齐次方程（2）完全相同。
此外，对于 n 维向量 yi 和 n m 常数矩阵 A 构成的一阶线性差分方程组
yi 1 Ayi 0
其 平 衡点 稳 定的 条 件是 矩阵 A 的特 征 根
减函数
供应函数 xk 1 h( yk ) 增函数
yk g ( xk 1 )
f g P0 x0
f与g的交点P0(x0,y0) ~ 平衡点 一旦xk=x0，则yk=y0,
x
y0 0
xk+1,xk+2,…=x0, yk+1,yk+2, …=y0
P P P P P P P P 0 1 2 3 1 2 3 0
P0是不稳定平衡点
P3 f P0 P1 x0 x
曲线斜率
P3
K f Kg
P1 x1 x
g
P4
y0 P2 0
K f Kg
x2 x0 x3
方程模型
在P0点附近用直线近似曲线
yk f ( xk )
yk y0 ( xk x0 ) ( 0) xk 1 x0 ( yk y0 ) ( 0)
2 3
i
（4） 方程对应的特征方程为 2 4 4 0 ，其特征根为重根
1, 2 2 ，于是齐次方程的通解为： yi (C1 C2i ) 2i
又由于 2 是特征方程的二重根，可设特解为： yi* Ai 2 2i B 5i 将其代入原方程可解得 A 故原方程的通解为
1 经济稳定
结果解释
经济不稳定时政府的干预办法
y y0 0 y g f g f x
1. 使 尽量小，如 =0 需求曲线变为水平
以行政手段控制价格不变
2. 使 尽量小，如 =0
供应曲线变为竖直
靠经济实力控制数量不变
0 x0 x
模型的推广 生产者管理水平提高
• 生产者根据当前时段和前一时 段的价格决定下一时段的产量。
i i i
常系数线性差分方程的求解与微分方程相 类似，下面仅举例说明，感兴趣的同学可 参考其他书籍。 例 1 求下列差分方程的通解： 1 5 i （1） yi 1 yi ( ) ； 2 2 （2） yi 1 yi sin i ； 2 （3） y i 2 y i 1 y i 0 ； （4） yi 2 4 yi 1 4 yi 2 5
P0是稳定平衡点
y y2 y0 y3 y1 0 f g P4 P0 P2 y
蛛 网 模 型 yk f ( xk ) xk 1 h( yk ) yk g ( xk 1 ) x1 y1 x2 y2 x3 设x1偏离x0 xk x0 , yk y0 xk x0 , yk y0
i i i
时 （ 2） 的通解 可表 为 y i C11 C n n 。若 （ 3） 有重根 ，比 如
i i
1 2 k 是（3）的 k 重根，则只要将 Y1 (i ), Y2 (i ), , Yk (i ) 换为
Y1 (i ) 1 , Y2 (i ) i1 , , Yk (i ) i k 11 即可。
y (i ) C1Y1 (i ) C nYn (i ) y * (i )
是非齐次方程（1）的通解。因此，欲求（1）的通解， 只需求出相应齐次方程的通解和非齐次方程的一个 特解。
要求齐次方程（2）的通解，只要求出其 n 个线性无关的解。设 （2）具有形如 y i 的解，代入方程即得 满足
xk 1 h( yk )
yk yk 1 xk 1 h 2
设供应函数为 xk 1 x0 [( yk yk 1 ) / 2 y0 ]
需求函数不变
yk y0 ( xk x0 )
2xk 2 xk 1 xk 2(1 ) x0 , k 1,2,
i
n P1 n 1 Pn 1 Pn 0
（3）
方程（3）称为（2）的特征方程。若 1 , 2 , , n 是（3）的 n 个不同的根， 则 Y1 (i ) 1 , Y2 (i ) 2 , , Yn (i ) n 就是（2）的 n 个线性无关的解，此
数量与价格在振荡 增加产量 价格上涨 供不应求
减少产量
现 象
问 题
描述商品数量与价格的变化规律 商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定
当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定
蛛网模型
xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格
消费者的需求关系
生产者的供应关系
y
需求函数
yk f ( xk )
（2）方程对应的特征方程为 1 0 ，其特征根为 1 ，于是齐次方
* 程的通解为 yi C 。设方程的特解为： yi A cos i B sin i 2 2
将其代入原方程可解得 A B 1 2 故原方程的通解为
yi C 1 (cos i sin i ) 2 2 2
i ( i 1,2, , n ) 均有 i 1 。 即均在复平面上的
单位圆内。此结果可由将 A 化为对角阵（或若 当阵）得到。
4、差分方程模型
1 市场经济中的蛛网模型 2 减肥计划——节食与运动 3 差分形式的阻滞增长模型 4 按年龄分组的种群增长
1 市场经济中的蛛网模型
供大于求 价格下降
差分方程建模
差分方法不仅广泛用于建立离散的数学模 型过程中，而且在连续模型化为离散模型 的数值计算中也有着十分重要而广泛的应 用。如微分方程与偏微分方程的数值解法。 今天仅就有关差分方程的知识作简要介绍, 并介绍几个实例.
1 基本概念
我们把含有未知函数的差分或表示成未知函数若干不同时期 值的符号的方程称为差分方程。 形如：F ( x , yi , yi 1 , , yi n ) 0 或
2
平衡点稳定，即k, xkx0的条件:
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1, 2 1

2
( ) 8 1, 2 4
2
1, 2
平衡点稳定条件
2
比原来的条件
1 放宽了
2 减肥计划——节食与运动
背 景
• 体重指数BMI=w(kg)/l2(m2). 18.5<BMI<25 ~ 正常； BMI>25 ~ 超重; BMI>30 ~ 肥胖. • 多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持 • 通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体 的前提下，达到减轻体重并维持下去的目标
1 8
,
B
1 9
yi (C1 C2i ) 2i
i2 8
2 i 1 5i 9
3 差分方程的平衡点及稳定性简介
差分方程的平衡点及稳定性的概念与微分方程的有关概 念是一致的。这里仅就前面几节内容中涉及的情形说明如下： 齐次方程（2）的平衡点 y* 0 是稳定的，当且仅当其特征 方程的全部根 i ( i 1,2, , n) 均有 i 1 ；非齐次方程（1）当
（2）
否则称为非齐次方程。
常系数线性差分方程是在应用中经常用到的 一类方程，且由于线性差分方程解的结构上与 线性微分方程相类似，即有： （1） 若 y i Y (i ) 是方程（2）的解，则 CY (i ) 也
是（2）的解，其中 C 为任意常数。 （2） 若 Y1 (i ) 、 Y2 (i ) 是方程（2）的解，则它们
的线性组合 C1Y1 (i ) C 2Y2 (i ) 也是（2）的解。
（3） 若 Y1 (i ) ，…，Yn (i ) 是方程（2）n 个线性无关的解， 则它们的线性组合 C1Y1 (i ) C nYn (i ) 就是（2）的通解。 Y1 (i ) ，…， Yn (i ) 称为（2）的一组基本 解。 （4） 若 C1Y1 (i ) C nYn (i ) 是（2）的通解， y * (i ) 是 非齐次方程（1）的一个特解，则
i i
解 （1） 方程对应的特征方程为
i
1 2
0， 其特征根为 1 ， 2
于是齐次方程的通解为 yi C ( 1 ) ， 为任意常数。 C 又由于 5 不是特征根， 2 2 可设特解：
yi* A( 5 ) i ，将其代入原方程可解得 A 2
1 2
故原方程的通解为
yi C ( 1 ) i 1 ( 5 ) i 2 2 2
（3）
方程对应的特征方程为 2 1 0 ，其特征根为
3 2
共轭复根 1, 2 1 j 2 故其通解为：
，且模 r 1 ，幅角 2 ， 3
yi C1r i cos i C 2 r i sin i C1 cos 23 i C 2 sin
xk 1 h( yk )
xk 1 x0 ( ) k ( x1 x0 ) xk 1 x0 ( xk x0 )
1 ( 1 / )
xk x0 xk
P0稳定 K f K g P0不稳定 K f K g
1 ( 1 / )
方程模型与蛛网模型的一致
Kf
1/ K g
结果解释 结果解释
考察 , 的含义
xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格
yk y0 ( xk x0 )
~ 商品数量减少1单位, 价格上涨幅度
xk 1 x0 ( yk y0 )
~ 价格上涨1单位, (下时段)供应的增量 ~ 消费者对需求的敏感程度 ~ 生产者对价格的敏感程度 小, 有利于经济稳定 小, 有利于经济稳定
减肥计划
某甲体重100千克，目前每周吸收20000千卡热量， 体重维持不变。现欲减肥至75千克。
1）在不运动的情况下安排一个两阶段计划。 第一阶段：每周减肥1千克，每周吸收热量逐渐减 少，直至达到下限（10000千卡）； 第二阶段：每周吸收热量保持下限，减肥达到目标 2）若要加快进程，第二阶段增加运动，试安排计划。 3）给出达到目标后维持体重的方案。