选修42矩阵与变换教案

24
5. 已知平面内矩形区域为 x1 i x2 j （0≤ x 1≤ 1,0 ≤x 2≤ 2） , 若一个线性变换将该矩形变为正方形区域，则该线性变换对应的矩阵为
x2
6.将椭圆
3
y2 1 绕原点顺时针旋转
4
10
7.在
对应的线性边变换作用下，圆
10
ｏ
45
后得到新的椭圆方程为
(x+1) 2+(y+1) 2=1 变为
由以上两题，总结一般矩阵
ab
A＝
可逆的必要条件。
18
4
2
2
13. ｘ＝ 2/3 14.(5,y) 15.
1
xo
5, 3
yo
2
2
第二讲 线性变换的性质·复合变换与二阶矩阵的乘法
一、 数乘平面向量 与 平面向量的加法 运算
x
x
1.数乘平面向量 ：设
， 是任意一个实数，则
y
y
2.平面向量的加法： 设
x1 ， y1
x2 ，则 y2
x1 x2 y1 y2
11 22 11 22
练习 1：
x3
1y
1.已知 A
,B
，若 A=B ，试求 x, y, z
42
z2
x
，在本书中 规定 所有的平面向量均写成列向量
y
x
的形式。
y
2. 设 A
2x ，B
y3
mn x y
，若 A=B，求 x,y,m,n 的值。
2x y m n
概念二：
由 4 个数 a,b,c,d 排成的正方形数表
ab
称为二阶矩阵。 a,b,c,d 称为矩阵的元素。
1 15.函数 y 先后经过怎样的变换可以得到
x
x2 y2 1？写出相应的矩阵。
44
答案： 1.Ａ 2.y=-1 3.3x-y+3=0
4.y=-x
10
5.
1
0
2
6. 7 x2 7 y2 2 xy 24 0 7.y=x （－ 2≤ x≤ 0） 8.
21 3
9.
10.
01 5
1 11. y
3
sin( x ) 23
1. 下列线性变换中不会使正方形变为其他图形的是（
A. 反射变换
B. 投影变换
C. 切变变换
） D. 伸缩变换
2. 在切变变换
10
：
作用下，直线 y=2x-1 变为
21
0.5 1
3. 在 A ＝
作用下，直线 l 变为 y=-2x-3, 则直线 l 为
21
10
4. 在
对应的线性边变换作用下，椭圆
10
x2 y2 1 变为
P(2,1) 的像的坐标为
10. 已知点 A（ 2，－ 1）， B（－ 2， 3），则向量 AB 在矩阵
1
1
2
对应的线性变换下得到的向量坐标为
0
2
11. 向量 a 在矩阵 A
12
的作用下变为与向量
01
1 平行的单位向量，则 a ＝
1
12. 已知 A
51
1
3
2 ，a＝
， b ＝ ，设
3 4
2
4
a b，
性质 1：设 A 是一个二阶矩阵， , 是平面上的任意两个向量，
是任意一个实数，则① 数乘结合律 ： A(
A( ) A A
【探究 1】对以上的性质进行证明，并且说明其几何意义。
9.（ 0，5） 10.（ 2，8）
) A ；② 分配律 ：
二、 直线在线性变换下的图形
研究 y kx b 分别在以下变换下的像所形成的图形。
乙
86
88
③
2x 3y mz 1,
3x 2y 4z 2
23 m 3 －2 4
2
简记为
3
3m 24
概念一：
2 象
3
80 90 86 88
23m
的 矩 形 数 字 （ 或 字 母 ） 阵 列 称 为 矩 阵 . 通 常 用 大 写 的 拉 丁 字 母 A 、 B 、 C… 表 示 ，
3 24
横排叫做矩阵的 行 , 竖排叫做矩阵的 列 .
a b ，①求 A ， A ；
13. 已知 A
1
0 ，a＝
1
， b＝
x ，若 A a 与 A b 的夹角为 135o，求 x.
12
1
1Biblioteka Baidu
14. 一种线性变换对应的矩阵为
10
。①若点 A 在该线性变换作用下的像为（
10
5，－ 5） , 求电 A 的坐标；②解释该线性变换的几何意义。
15. 在平面直角坐标系中， 一种线性变换对应的二阶矩阵为 在该变换作用下的像。
名称介绍： ①上述三个矩阵分别是 2× 1 矩阵， 2×2 矩阵（二阶矩阵） ， 2× 3 矩阵，注意 行的个数在前。
②矩阵相等：行数、列数相等，对应的元素也相等的两个矩阵，称为 ③行矩阵： [a 11,a 12] （仅有一行）
A＝ B。
a11
④列矩阵：
（仅有一列）
a21
⑤向量 a ＝（ x,y ），平面上的点 P（ x,y ）都可以看成行矩阵 [ x, y] 或列矩阵
cd
①零矩阵：所有元素均为
00
0，即
，记为 0。
00
②二阶单位矩阵：
10
，记为 E2.
01
二、二阶矩阵与平面向量的乘法
ab
定义： 规定二阶矩阵 A=
，与向量
cd
练习 2：
x 的乘积为 A
y
ax by
ab
，即 A ＝
cx dy
cd
1 23
1.（ 1）
＝
0 11
1 21
（ 2）
＝
0 13
x ax by
＝
① 恒等变换：
01
cos sin
②旋转变换：
sin cos
1k
③切变变换：
01
10
④反射变换：
01
10
⑤投影变换：
00
【练习： P27】 【应用】
2
试研究函数 y
1
在旋转变换
2
x
2
2
2 作用下得到的新曲线的方程。 2
22
四、复合变换与二阶矩阵的乘法
1.研究任意向量
3
x
先在旋转变换
y
R30o ：
2 1
第一讲 二阶矩阵、二阶矩阵与平面向量的乘法、二阶矩阵与线性变换
。
一、二阶矩阵
1. 矩阵的概念
① →OP (2, 3) ，将 →OP的坐标排成一列，并简记为 2
y
3
P( 2, 3)
— 2
3 2
—
3
3
O
2x
—
②某电视台举办歌唱比赛，甲、乙两名选手初、复赛成绩如下：
初赛 复赛
甲
80
90
80 90 86 88
0
在复合变换下的像；③在复合变换下单位正方形变成什么图形？
5. 试研究椭圆 x 2
y2
0.5 0
1 ①伸缩变换：
②旋转变换：
34
01
31
2
2 ；③切变变换：
12
；④反射变换：
1
0
；⑤投影变换：
10
13
01
01
00
五种变换作用下的新曲线方程。 进一步研究在④②，①④等变换下的新曲线方程。
22
【练习： P35】 【第二讲 . 作业】 A.B.C.D.
2
1
2 作用，再经过切变变换 3
2
2.二阶矩阵的乘积
定义：设矩阵 A ＝ a1 b1 ， B＝ a2 b2 ，则 A 与 B 的乘积
c1 d1
c2 d2
AB＝ a1 b1 c1 d1
a2 b2 ＝ c2 d2
【应用】
1.计算
1 2
-1 1
1 2
0 1
＝
cos
2.A ＝
sin
-sin
cos
，B＝
cos
，
y' 0 x y
问题 2. P （x,y ）绕原点逆时针旋转 30o 得到 P’(x ’,y ’), 试完成以下任务①写出象 P’； ②写出这个旋转变换的方程组形式；③写出矩阵形式
.
问题 3. 把问题 2 中的旋转 30o 改为旋转 角，其结果又如何30？o
2. 反射变换
定义：把平面上任意一点 P 对应到它关于直线 l 的对称点 P’的线性变换叫做 关于直线 l 的反射。
符号、记法： A 1 ，读作Ａ的逆。
【应用】 1.试寻找Ｒ 30o 的逆变换。
，使得 是 的逆变换。
BA=AB=E 2,则称 矩阵Ａ可逆 ，其中Ｂ为Ａ的逆矩阵。
【应用】
31
1. A＝
，问 A 是否可逆？若可逆，求其逆矩阵
42
21
2. A ＝
，问 A 是否可逆？若可逆，求其逆矩阵
42
A 1。 A 1。
1 13
11
、
、
2 18 0 1
x2
12.
y2
1
3
11
13.
10
14.y=-2x( － 2≤ x ≤ 2) 、 y=0( － 2≤ x ≤2) 、 x2 y 2 1 15.
20 02
二、 矩阵乘法的性质
01
1. 设Ａ＝
，Ｂ＝
11
结论 ：
第三讲 矩阵乘法的性质·逆变换、逆矩阵
11
01
，Ｃ＝
由 A、B、 C 研究矩阵是否满足，①结合律；②交换律；③消去律。
5. 切变变换
定义： 将每一点 P（ x,y ）沿着与 x 轴平行的方向平移 ky 个单位， 称为平行于 x 轴的 切变变换。 将每一点 P（ x,y ）沿着与 y 轴平行的方向平移 kx
个单位，称为平行于 y 轴的 切变变换。 研究：这两个变换的坐标公式和二阶矩阵。 练习： P10 1.2.3.4
10
①伸缩变换：
02
31
②旋转变换： 2
2
13
③切变变换：
22 12 01
④特别地：直线 x=a 关于 x 轴的投影变换？
性质 2：二阶矩阵对应的变换（线性变换）把平面上的直线变成
.
（证明见课本 P19）
三、平面图形在线性变换下的像所形成的图形
分别研究单位正方形区域在线性变换下的像所形成的图形。
10
sin
-sin
，求 AB
cos
12
x'
：
作用的向量
01
y'
1
10
12
3.求
在经过切变变换 ： A=
，及切变变换 ： B=
两次变换后的像 。
3
21
01
1
0
01
2
x
4.设压缩变换
：A ＝ 2 1 ，旋转变换 R90o ：B＝ 1 0 ，将两个变换进行复合
R90o ，①求向量
在复合变换下的像； ②求
3
y
23
10
22
2
2
1
＝
1
22
11
22
2. 由结合律研究矩阵Ａ的乘方运算。
3. 单位矩阵的性质
【应用】 1. 设Ａ＝
01
，求Ａ 8
11
2. 【练习： P41】
二、 逆变换与逆矩阵
1.逆变换： 设 是一个线性变换，如果存在一个线性变换
＝ ＝ I ，（ I 是恒等变换）则称变换
可逆 ，其中
2.逆矩阵：设Ａ是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵Ｂ，使得
4. 平面内的一种线性变换使抛物线 y x2 的焦点变为直线 y=x 上的点，则该线性变换对应的二阶矩阵可以是
5. 平面上一点 A 先作关于 x 轴的反射变换，得到点 则该反射变换对应的二阶矩阵是
A1, 在把 A1 绕原点逆时针旋转 180o，得到点 A2，若存在一种反射变换同样可以使
A 变为 A2，
研究： P（ x,y ）关于 x 轴的反射变换下的象 P’(x ’,y ’) 的坐标公式与二阶矩阵。
3. 伸缩变换
定义：将每个点的横坐标变为原来的 k1 倍，纵坐标变为原来的 k 2 倍，（ k1 、 k 2 均不为 0），这样的几何变换为
试分别研究以下问题： ① . 将平面内每一点的纵坐标变为原来的 2 倍，横坐标不变的 伸缩变换 的坐标公式与二阶矩阵 .
四、简单应用
10
1. 设矩阵 A=
，求点 P(2,2) 在 A 所对应的线性变换下的象。
01
练习： P13 1.2.3.4.5
【第一讲 . 作业】 1. 关于 x 轴的反射变换对应的二阶矩阵是 2. 在直角坐标系下，将每个点绕原点逆时针旋转
120o 的旋转变换对应的二阶矩阵是
3. 如果一种旋转变换对应的矩阵为二阶单位矩阵，则该旋转变换是
3
01
1 先后经过反射变换
01
和伸缩变换
10
10
的反射变换后的函数是
01
10
后得到的曲线方程为
0 0.5
21
12
13. 已知Ｍ＝
，且ＭＮ＝
，求矩阵Ｎ。
11
01
1 0 0.5 0 1 0
14. 分别求出在
、
、
对应的线性边变换作用下，椭圆
20 0 1 00
x 2 y2 1 变换后的方程，并作出图形。 4
8.计算：
13
①
24
11
＝
04
21 1 0
②
＝
11 1 1
1 0 21
③
＝
1 1 11
1
11 10
9. 向量 经过
和
两次变换后得到的向量为
2
01 11
10.向量 3 先逆时针旋转 45o，再顺时针旋转 15o 得到的向量为 1
11.函数 y sin( x
2
2
xy
12. 椭圆
43
20
) 的图像经过
的伸缩变换，和
y cx dy
10
2.
12
x
1
x
=
，求
y1
y
三、二阶矩阵与线性变换 1.旋转变换
问题 1: P（ x,y ）绕原点逆时针旋转 180o 得到 P’(x ’,y ’), 称 P’为 P 在此旋转变换作用下的象。 其结果为 x' y'
x'
10 x
即
＝
＝
y'
0 1y
x
怎么算出来的？
y
x
，也可以表示为
y
x' x 0 y
伸缩变换 。
② . 将每个点的横坐标变为原来的 k1 倍，纵坐标变为原来的 k 2 倍的 伸缩变换 的坐标公式与二阶矩阵 .
4. 投影变换
定义：将平面上每个点 P 对应到它在直线 l 上的投影 P’ （即垂足），这个变换称为关于直线 l 的 投影变换。
研究： P（ x,y ）在 x 轴上的（正）投影变换的的坐标公式与二阶矩阵。
0 1 1 。求①点 A（ 1/5,3 ）在该变换作用下的像； ②圆 x2 y2 1上任意一点 P( x0 , y0 ) 0
2
13
10
答案： 1.
2.
01
22 31
0a 3. R360o 4. 0 a
10
x' x
5.
6.
7. －1 8.
01
y' 2x y
22
2
2
11. 2 ，
2
7 19
12.
、
2
2
6.P （ 1， 2）经过平行于 y 轴的切变变换后变为点 P1(1,-5) ，则该切变变换对应的坐标公式为
7. 设 A
1x ，B
2x 1 y
z x2 4
x2
，且 A=B.则 x＝
2
8. 在平面直角坐标系中，关于直线 y=-x 的正投影变换对应的矩阵为
9. 在矩阵 A
12
对应的线性变换作用下，点
21