利息的基本概念

得：
d1 d2
第一节 利息度量 三、实际贴现率 案例分析：1.1.6 某人存5000元进入银行，若银行分别以2%的单贴现计息、复贴现计息 ，问此人第5年末分别能得到多少积累值？
解依题意得：
单贴现：
a (t ) 1 dt
1
a 得： (t ) 1 dt
1
所以： A(5) 5000 复利：
1 d 1
12
12 0.08 1 0.9229 12
12
又因为：
i 1 0.9229 1 i 1 i
所以：
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i 0.08358
第一节 利息度量 四、名义利率与名义贴现率 案例分析：1.1.8 求10000元按照每年计息4次的年名义利率6%投资三年后的积累值。
解依题意得：
A(3) 10000 1 i
3
i 4 10000 1 4
12
43
0.06 10000 1 （元） 11956.2 12
第一节 利息度量 四、名义利率与名义贴现率 课堂练习：案例1.1.9 求与实际利率8%等价的每年计息2次的年名义利率，以及每年计息4次的 年名义贴现率。
得：
i1 i2
第一节 利息度量 二、实际利率 案例分析：1.1.2 某人投资1000元于某证券上，该证券年实际利率为10％，问：一年后 此人将得到多少金额？其中利息为多少？
解：由
in
A(n) A(n 1) A(n 1)
得：
A(n) A(n 1) 1 in
所以：
定时刻
的积累量。
注意： 是一个时间区间上所得的利息额，而 In A n
第一节 利息度量 二、实际利率 1、概念 实际利率是利息的第一种度量方式，某一度量期的实际利率是指该度量 期内得到的利息额与该度量期开始时投入的本金之比，用字母表示（表 示第n期的实际利率）。
A n A n 1 in A n 1
d 1 d
i
或
d
i 1 i
从前面学习知，v表示一期折现因子，即年末积累值为1，在年初投入的
本金，则有：
v a 1 1 1
a (1)

1 1 d 1 i
第一节 利息度量 三、实际贴现率 案例分析：1.1.5 某人存入银行1000元，第一年末他在存折上的余额为1050元，第二年 末他在存折上的余额为1100元，问：第一年和第二年的实际贴现率分 别是多少？
CHAPTER 1
□ 利息度量 □ 利息问题求解
第一节 利息度量 一、基本概念与基本函数 1、基本概念 本金：每项业务开始时投入的金额； 积累值：业务开始一段时间后回收的总金额（终值）； 现值：为了在t期末得到某个积累值，在开始时投入的本金额（折现值 ）； 利息：一段时间内，积累值和本金的差额； 度量期（期）：从投资业务开始日到积累值计算日之间的时间长度，
称t期
v
折现因子。特别的，把1期折现因子简称折现因子 a 1 t 1 a(t )
，
并记为 。
第一节 利息度量 一、基本概念与基本函数 2、基本函数（续） （4）利息金额 n I ：从投资日算起，第n个时期所得到的利息额度。 （对于整数n≥1） 则是在一特
In A n A n 1
复利：
500 1 i 500 120
3
得：i
0.0743
所以： A(5) 800
（元） 1 0.0743 1144.97
5
第一节 利息度量 三、实际贴现率 1、概念 一个度量期的实际贴现率为该度量期内取得的利息额与期末的投资回收 金额之比，用字母d表示（ dn 表示第n期的实际贴现率）。
A(3) A(2) (100 10 3) (100 10 2) i3 0.0833 A(2) 100 10 2 i5 A(5) A(4) (100 10 5) (100 10 4) 0.0714 A(4) 100 10 4
i (m) 1 m
1 i
上述右式表明了名义利率和实际利率之间的关系 。
第一节 利息度量 四、名义利率与名义贴现率 实际利率和名义利率关系式推导示意图
1
1
i
( 4)
4
i ( 4) 1 4
2
i ( 4) 1 4
3
i ( 4) 1 4
（对于整数n≥1）
第一节 利息度量 二、实际利率（续 ） 2、单利与复利 单利：考虑本金为1，如果在t时的积累值为：
a(t ) 1 i t
那么，我们就说这笔投资以每期单利i计息，将这样产生的利息称为 单利； 复利：同样考虑本金为1，如果在t时的积累值为：
a (t ) 1 i
； 2、假设A(n) 100(1.1)n
； 3、已知投资500元，3年后得到120元的利息，分别确定以相同的单利、
复利投资800元在5年后的积累值。
第一节 利息度量 课堂练习： 1、假设A(t ) 100 10t ，确定 i2，i ， i1 3
；
解：
i1
A(1) A(0) (100 10) (100 0) 0.1 A(0) 100 0
A n A n 1 a n a n 1 1 i 1 i in n 1 A n 1 a n 1 1 i
n n 1
单利
：
复利 ：
i
可见，单利关于n单调递减，而复利意味着常数的实际利率。
第一节 利息度量 二、实际利率 案例分析：1.1.1 某人存入银行1000元，第一年末他在存折上的余额为1050元，第二年 末他在存折上的余额为1100元，问：第一年和第二年的实际利率分别 是多少？
解：依题意得：
A(0) 1000
A(1) 1050
A(2) 1100
由：
dn
A(n) A(n 1) A(n) A(1) A(0) 1050 1000 0.04762 A(1) 1050 A(2) A(1) 1100 1050 0.0455 A(2) 1100
1 0.02 5
1
555.56 （元）
t
a 1 (t ) 1 d
所以：
t
得：a (t ) 1 d
5
A(5) 5000 1 0.02 5531.46 （元）
第一节 利息度量 四、名义利率与名义贴现率
前面讨论的实际利率和实际贴现率，“实际”的含义在于利息在每个度量
4
0
1
i
1
1 i
第一节 利息度量 四、名义利率与名义贴现率
2、名义贴现率
记 d (m) 为在一个度量期内利息支付m次的名义贴现率，则有：
d 1 m
(m)
m
1 d
上述右式表明了名义贴现率和实际贴现率之间的关系 ，用图示表示为：
d ( 4) 1 4
解依题意得：
单利：
A(t ) K 1 i t
得：
A(5) 5000 1 0.06 5 6500 （元）
t
复利：
A(t ) K 1 i
得：
A(5) 5000 1 0.06 6691.13 （元）
5
第一节 利息度量 二、实际利率 案例分析：1.1.4 已知年实际利率为8％，求4年后支付10000元的现值。
解：依题意得：
A(0) 1000
A(1) 1050
A(2) 1100
由：
in
A(n) A(n 1) A(n 1) A(1) A(0) 1050 1000 0.05 A(0) 1000 A(2) A(1) 1100 1050 0.04762 A(1) 1050
最常见的是“年”。
第一节 利息度量 一、基本概念与基本函数 2、基本函数 （1）积累函数 (t ) ：本金为1的投资在t时刻的积累值，也称t期积累因子 a ；
a(0) 1
At
（2）总量函数
a1 t
：本金为k的投资在t时刻的积累值； A t k a t


（3）折现函数
：为了使t期末积累值为1，在开始时应投入的本金又 a1 1
第一节 利息度量 课堂练习： 3、已知投资500元，3年后得到120元的利息，分别确定以相同的单 利、复利投资800元在5年后的积累值。
解依题意得： 单利：
500 1 3i 500 120
得： i 0.08 所以： (5) 800 A
（元） 1 0.08 5 1120
t
那么，我们就说这笔投资以每期复利i计息，将这样产生的利息称为 复利；
第一节 利息度量 二、实际利率（续 ） 2、单利与复利（续） 单利与复利下每期的实际利率：
A n A n 1 a n a n 1 1 in 1 i n 1 i in A n 1 a n 1 1 i n 1 1 i n 1
A(1) A(0) 1 i 10001.1 1100(元）
I1 A(1) A(0) 1100 1000 100 （元）
第一节 利息度量 二、实际利率 案例分析：1.1.3 某银行以单利计息，年息6％，某人存入5000元，问5年后的积累值是 多少？如果以复利计息，积累值又是多少呢?
课堂练习：案例1.1.10
以年计息2次的年名义贴现率10%，在6年后支付5万元，求其现 值。
第一节 利息度量 四、名义利率与名义贴现率 课堂练习：案例1.1.9 求与实际利率8%等价的每年计息2次的年名义利率，以及每年计息4次的 年名义贴现率。
第一节 利息度量 课堂练习： 2、假设A(n) 100(1.1)n ，确定 i2，i ， i1 3
；
解：
A(1) A(0) 100 1.11 100 1.10 i1 0.1 0 A(0) 100 1.1 A(3) A(2) 100 1.13 100 1.12 i3 0.1 2 A(2) 100 1.1 A(5) A(4) 100 1.15 100 1.14 i5 0.1 4 A(4) 100 1.1
dn
2、单贴现与复贴现
A n A n 1 A n
（对于整数n≥1）
（1）单贴现：每一时期产生的贴现金额为常数d，有：t 1 dt a1
a 1 （2）复贴现：每一时期的贴现率是常数d，有：t vt 1 d
t
第一节 利息度量 三、实际贴现率 3、实际利率与实际贴现率的关系 如果某人以实际贴现率d借款1，则实际的本金为1－d，利息额为d，若 这笔业务的实际利率为i，则有：
解：由
A(t ) K 1 i
t
得：
A(4) A(0) 1 i
4
4
所以：
10000 A(0) 1 0.08
A(0) 7350.3 （元）
第一节 利息度量 二、实际利率 课堂练习： 1、假设A(t ) 100 10t ，确定 i2，i ， i1 3 ，确定 i2，i ， i1 3
0
4
d ( 4) 1 4
3
d ( 4) 1 4
2
d ( 4) 1 4
1
1
1 d
d
1
第一节 利息度量 四、名义利率与名义贴现率 案例分析：1.1.7 已知每年计息12次的年名义贴现率为8%，求等价的实际利率。
d 解依题意得：1 d 1 12
期内支付一次，或在期初，或在期末。但是，现实中往往在一个度量期内 利息不只支付一次，所以我们便引入名义利率和名义贴现率的概念。
1、名义利率
假设在一个度量期内（如1年）利息支付m次，每次支付利息的利率为j，整 个度量期的实际利率为i，名义利率记为 i (m ) ，则有以下两个式子成立：
m
i ( m) m j