等差等比数列的性质20条

1

等差数列和等比数列的性质

1、等差数列的性质：（11条）

（1）首尾项性质：在有穷等差数列中，距首末两项等距离的两项之和就等于首末两项之和，即：n n n a a a a a a --+=+=+=

1213

2

特别的，若总项数为奇数，则等于中间项的两倍，即：n a a a +=12中 推广：1、若(),,,*p q r s p q r s N +=+∈，则P q r s a a a a +=+ 2、若m n p +=2，则m n p a a a +=2

（2）若{}{},n n a b 均为等差数列，则{}{}(),,n n n ma ma kb m n R ±∈也为等差数列；依次将等差数列{}n a 中间隔相同的项抽取出来所得新数列仍为等差数

列；依次将等差数列{}n a 中连续的间隔相同的项作和所得新数列仍为等差数列；

（3）{}n a 是有限项公差为d 的等差数列，则

1、若总项数为n -21，则

()(),-,+-,n n n S na S n a S S n a ===121奇偶奇偶

,

-,

n S n S S a S n ==

-1

奇奇偶偶（其中n a 为中间项） 2、若总项数为n 2，则

(),,+,n n n n S na S na S S n a a ++===+11奇偶奇偶 ,

-,n n S a S S nd S a +==1

奇偶奇偶（其中n a 和n a +1为中间两项）

（4）顺次n 项和性质：若{}n a 为等差数列，则其前n 项和n S 、次n 项和

n n

S S -2、末

n

项和n n

S S -32仍成等差数列，即

()()n n n n n S S S S S -=+-2322

（5）若等差数列{}n a 和等差数列{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，则有

,

n n n n a S b T --=2121

（6）若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若有()()m n m S

S n ---=-2

212

212121，则有

,m n a m a n -=-2121

（7）若{}n a 为等差数列，且,p q a q a p ==，则p q a +=0

（8）若{}n a 为等差数列，且,p q S q S p ==，则()p q S p q +=-+ （9）若{}n a 为等差数列，若()p q S S p q =≠，则p q S +=0 （10）若{}n a 为等差数列，则{}(),n

a C

c c >≠01是等比数列。

（11）若{}n a 是公差为d 的等差数列，则n S n ⎧⎫

⎨⎬⎩⎭

仍是公差为d 2的等差数列。

2．等比数列的性质： （9条）

（1）首尾项性质：若{}n a 是有穷等比数列，则距首末两项等距离的两项之积就等于首末两项之积，即 =⋅=⋅=⋅--23121n n n a a a a a a 推广：若n m p q +=+，则q p n m a a a a =；

若2n m p +=，则2

m n p a a a =。

（2）若{}n a 是等比数列，则n n a a +⋅>20（同号） （3）已知{}{}n n b a ,是项数相同的等比数列，则

2

{}(){}{}{},,,,,k

n n n n n n n n a a a a b a a b λλ⎧⎫⎧⎫≠⋅⎨

⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭

10仍为等比数列；依次将等比数列{}n a 中间隔相同的项抽取出来所得新数列仍为等比数列；依次将等比数列{}n a 中连续的间隔相同的项作和所得新数列仍为等比数列；

（4）顺次n 项和性质：若{}n a 为等比数列，则其前n 项和n S 、次n 项和

n n

S S -2、末

n

项和n n

S S -32仍成等比数列，即

()()n n n n n S S S S S -=⋅-2

232

（5）若{}n a 是公比为q 的等比数列，则

1、当,q a >>110或,q a <<<1010时，{}n a 是递增数列。

2、当,q a ><110或,q a <<>1010时，{}n a 是递减数列。

3、当q =1，{}n a 是非零常数列。

4、当q <0时，{}n a 是摆动数列。 （6）若{}n a 是总项数为n 2的等比数列，则

S q S =偶

奇

。 （7）在等比数列{}n a 中，若(),,,,*m n p m n p N ∈成等差数列，则,,m n p a a a 成等比数列。

（8）若{}n a 是等比数列，则

()n n

n

S q q S =+≠210。 （9）若数列{}n a 是正项等比数列，则数列{}()log 0,1c n a c c >≠为等差数列。