多元主成分分析论文

0.37929
0.14766
0.14227
0.15495
总资产
0.28856
0.92085
-0.02194
-0.03204
0.15899
股东权益
0.29300
0.91987
0.00240
-0.02989
0.11839
投资收益
0.06676
0.10680
0.01514
-0.00757
1960 年 Renyi 对熵的定义进行了补充，他指出对数的底数也可以用 e 10 或 其它实数。
2．熵值法的原理 熵是无序的量度，它可以解释为接触随机事件的不肯定性所需要的信息量。 当一个事件的随机性越强，它们相对应的熵值就越大；反之，若一个事件为必然 事件，则其熵值为 0。根据熵值的特性，我们可以通过计算熵值来判断一个事件 的随即性及无序程度，也可以用熵值来判断某个指标的离散程度。一般而言，指 标的离散程度越强，熵值就越大；反之，熵值就越小。 在利用多个指标对事物进行综合评价时，对某个指标，若各个个体的值没有 太大的区别，则该指标在综合分析中所起的作用不大；反之，若对某个指标而言， 各个个体的值有很大的波动，即该指标在综合分析中有很重要的影响，所以可以 利用熵值作为确定指标权数的一个依据。 3．熵值法的步骤 设有 n 个个体，p 个指标，则 Xij 为第 i 个个体的第 j 个指标的指标值， （I=1，。。。n，；j=1，。。。p，）。 （1） 计算第 j 项指标下第 i 个个体的址在此指标中所占的比重；
表 10-3 各因子对对方差的解释
因子 贡献
因子 1 5.080806
因子 2 2.090139
因子 3 1.053703
因子 4 0.745954
因子 5 0.665303
由特征向量可以看到因子 1 作为第一主成分，主要反映了主营业务收入`主 营利润`利润总额`税后利润，总资产，股东权益的状况。而对其他几个指标的信 息的反映不是很明显。因子 2 作为第二主成分主要反映了每股收益，每股权益和 净资产收益率的状况，第三主成分反映的是投资收益，第四主成分和第五主成分
分别进行综合评价、，判断其优劣。用只成分分析法进行分析，步骤如下 （1） 计算出这 p 个指标的协方差阵或相关系数矩阵 A。 （2） 计算出矩阵 A 的特征根 及相应的特征向量 ，此时可得到新指标 Z1，。。。Zp，且 Zj= j，其中，X=（X1，。。。，Xp），j=1，。。。。p，X（i I=1，。。。 p）为第 i 个原始指标向量。 （3） 选择主成分 Y1，。。。Yk。对于新指标 Z1，。。。Zp 不必全部选取，可根 据它们对原指标的信息的反映程度来确定新指标的个数，这可用贡献率 和累计贡献率来衡量。第 K 个新指标的贡献率为：
2．综合序数法的步骤 （1） 先分别对不同方法的计算结果求出相应的序列。假设有两中方法，设用
这两种方法进行评价得到的结果序列为 X1，X2。 （2） 计算这两个序列的相关系数 r12，具体计算时根据实际情况选则不同的
相关系数公式。 （3） 将 X1，X2 用某中方法转换为可直接相加的序列 Y1，Y2。 （4） 将 Y1 与 Y2 相加得 Z1，对 Z1 进行分析，得到最终的综合分析结果
（Xi1，。。。，Xip），Xij 为第 I 个个体的第 j 个原指标的值，Sij 为第 i 个个体的第 j 个只成分的因子得分，I=1，。。。，n；j=1，。。。，p， j 为第 j 个特征值对应的特征向量。 （5） 取各主成分对原来指标的信息的反映程度作为权数，计算所有主成分的 综合得分 Si：
其中，dj 为第 j 个主成分的权数；Si 为第 i 个个体的综合得分 （6） 根据这 n 个个体的综合得分 S1，。。。Sn，对它们进行比较 分析 评价。
（三）熵值法 1．熵的定义
根据香农的信息模型，熵的定义如下： 设一个实验有 n 个结局 X=X（i I=1，。。。n），出现结局 X=Xi 的概率 P（X=Xi） =Pi，则实验的熵或随即变量的熵可定义为
2．求相关系数矩阵 A 及其特征根 对标准化后的数据求 10 个指标的相关系数矩阵，在对这个相关系数矩阵求 特征根，结果参见表 10-1。 表 10-1 相关系数矩阵的特征值及个因子的贡献率
因子 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
特征 5.080 2.090 1.053 0.746 0.665 0.158 0.133 0.062 0.007 0.002
因子 4 0.5818 -0.06556 -0.09663 -0.09466 0.11638 0.13609 -0.17014 0.03879 -0.50943 0.63082
因子 5 0.18211 -0.29550 -0.28686 -0.28095 0.30140 0.30316 -0.04642 0..05324 0.43402 0.07978
1.000 0
观察个特征根的累计贡献率，可以发现：当取 K= 4 时，及取 4 个主成分时， 累计贡献率 〉85%，但由于因子 5 的累计贡献率与因子 4 的累计贡献率有较大 差距，说明因子 5 在对原来信息的反映中也占有相当的比重，为了更充分的反映 原指标的信息，本案例选取了 5 个主成分，即 K=5。
若一共选取了 L 个新指标，则这 L 个新指标的累计贡献率为
在选择主成分时，一般取累计贡献率>=85%即可。 在具体操作时，先观察新指标 Z1 的贡献率，若贡献率>=85%，则取 Z1 作为 主成分即可。该主成分为原来 p 个指标的线形组合。它已从粉地反映了原指标的 信息。若 Z1 的贡献率<85%，则考虑再选入第二个新指标 Z2 作为主成分，观察 这两个主成分的累计贡献率是否已经超过 85%，若超过了，则取 Z1 和 Z2 作为 主成分，若仍低于 85%。则继续，直到选出所有的主成分的累计贡献率朝过 85% 为止，设共选出 K 个主成分。 （4） 主成分选定后，可计算各主成分的因子得分 Sij，Sij=Xi* j，其中 Xi=
在上述各种方法中，比重评分法主要是利用主观判断的方法，分析所得到的 评价结果缺乏客观性。在一定程度上影响了计算结果的科学性 准确性。主成分 分析发是通过在多个指标中寻找之成分，用住成分来充分反映原来的信息，并通 过因子得分来确定权数，降 维作用较明显，且所得的结果客观性强，但有时用此方法得到的主成分对原指标 的信息的反映较分散，即个主成分无明显的实际意义。熵值法主要是从数据间的 差异出发，在分析过程中通过熵值法确定各指数的权数，对所有指标进行加权， 从而得到综合评价的结果。熵值法具有一定的客观性和科学性，但这种方法不能 很好的地反映相关指标间的关系。综合序数法是主成分分析法和熵值法的结果的 综合，但在综合的过程中还是使用了主观定权的办法，使结果仍带有主观性。另 外，在使用综合序数法时受到一定的条件约束。
每股收益
0.47554
每股权益 净资产收益
率
0.31290 0.26679
因子 2 -0.27041 0.08512 0.05743 0.08160 -0.46431 -0.44558 -0.13721 0.82209 0.65596 0.67879
因子 3 -0.22285 -0.23816 0.02402 0.03062 0.07512 0.03897 0.94683 0.05195 -0.05252 0.19157
因子 1
因子 2
因子 3
因子 4
因子 5
主营业务收 入
0.48757
0.79794
0.00356
0.08177
-0.1233
主营利润
0.90265
0.36529
0.11023
0.12792
-0.11404
利润总额
0.88746
0.38937
0.12942
0.12812
0.15168
税后利润
0.88587
根据上述分析认为该进后的主成分分析法是最佳方法。
三 具体解决问题的方法 （一） 主成分分析法
1．数据标准化 由于个指标带有不同的量纲，不利于综合比较。在分析时可先将数据标准化， 以消除量纲的影响，公式如下：
其中，Xij 为第 i 个上市公司的第 j 项指标的指标值;Xj 为第 j 项指标下所有 上市公司该指标值的平均值； 为所有上市公司第 j 项指标的指标值的标准差。
1. 求相关系数矩阵 A 的特征向量 观察前 5 个因子对应的特征向量，结果参见表 10-2 表 10-3
表 10-2 旋转前的特征向量
主营业务收 入
主营利润
因子 1 0.85849 0.91332
利润总额
0.94861
税后利润
0.94766
总资产
0.79523
股东权益
0.79778
投资收益
0.21844
通过对以上方法的优缺点的分析，决定采用主成分分析法，尽管它有自己的缺 点，但考虑到主成分分析法为因子分析法的一个特例。在因子分析法中，当各公 共因子对原指标反映不明显时，可以采用因子旋转的方法，使得公共因子的贡献 较分散，即第一公共因子明显代表一部分变量，第二公共因子明显的代表另一部 分变量……这样的处理使各公共因子有明显的实际含义有利于分析。所以在对主 成分分析的方法中，可以考虑将因子旋转的方法引入，一般是采用最大方差法进 行旋转。
对原指标的信息的反映不是很明显。根据以上情况我们认为：这五个主成分对原 指标信息的反映不是很清晰，且各主成分对原指标的反映也不够分散，无明显侧 重性，使得各主成分缺乏明显的实际意义，故考虑进行改进。
2. 主成分分析法的改进（因子旋转） 用最大方差法进行因子旋转，旋转后的特征向量状况参见表 10-4、表 10-5 观察旋转后的特征向量可以发现：各主成分对原指标的反映有明显的侧重性。其
值
9
1
7
0
3
9
0
1
5
6
贡献 率
0.5Fra Baidu bibliotek8 1
0.209 0
0.105 4
0.074 6
0.665
0.015 9
0.013 3
0.006 2
0.000 7
0.000 3
累计 贡献 率
0.058 1
0.717 1
0.822 5
0.897 1
0.963 6
0.979 5
0.992 8
0.999 0
0.999 7
案例 10 上市公司综合评价分析
一、教学目的 通过对本案例的介绍，使学生了解多指标综合评价问题的处理方法，掌握主 成分分析，因子分析，熵值分析和综合序数法的基本概念几基本原理，并能熟练 运用这些方法解决实际问题。
二 解决问题的思路 在对上市公司进行综合分析的过程中可以采用下述方法： （一） 比重评分法 比重评分法最初是由亚历山大·沃尔提出的。沃尔选择了７种财务比率：流 动比率、净资产／负债，资产/固定资产，销售成本/存货，销售额/应收账款，销 售额/固定资产，销售额/净资产，并分别规定了他们在综合评价中所占的比重， 总和为 100。然后确定标准比率，并将实际的比率之与其相比较，评出每项指标 的得分，最后利用个指标的比重作为权数求出最终的综合得分。 我国财政部也于 1995 年公布了一套企业经济效益评价指标体协，该体系提出 了 10 个指标，分别设定个指标的比重，该体系与未标体系的计算方法类似，均 为根据给定的比重计算综合评分。 （二） 主成分分析法 1 ．主成分分析法 主成分分析法为多元统计分析的一种方法，它是因子分析的特例，适用于解 决多指标的综合评价问题。主成分分析法主要是通过寻找一些新的数量较少的指 标来代替原来较多的指标，这些新的指标均为原指标的线性组合，使得新指标不 但能充分体现原指标的信息，而且起到了降维的作用。另外，由于主成分分析法 确定的革新指标为彼此不相关的，这有利于对被评价对象的分析。并且，由于主 成分分析法自身的特点，在计算过程中能相应的求出各新指标对原来信息的反映 程度，可以用这个反应程度作为权数对事物进行综合评定，这解决了主观赋权的 问题，使权数的确定具有客观性，科学性。 2．主成分分析法步骤 设有 n 个个体，对每个个体均列出了 p 个指标的数值，现要求对这 n 个个体
（2） 计算第 j 项指标的熵值：
（3） 以熵值为权数计算各项指标的综合得分：
（4） 根据综合得分进行综合分析 评价
（四）综合序数法 1．综合序数法的原理
在对多个指标的问题进行分析时，可以运用各种不同的方法，若各方法得到 的结果彼此一致，有较强的相关性，可将不同方法的结果综合考虑，并对不同的 方法用加权求和的方法求出最终结果。