数学模型-第04章(第五版)
数学模型(第五版)
2018年高等教育出版社出版的图书
01 成书过程
03 教材特色 05 作者简介
目录
02 内容简介 04 教学资源
《数学模型（第五版）》是由姜启源、谢金星、叶俊编写，高等教育出版社出版的 “十二五”普通高等教育 本科国家级规划教材，适合作为高等学校各专业学生学习数学建模课程的教材和参加数学建模竞赛的辅导材第五版）习题参考解答》是为配合《数学模型（第五版）》而编写的学习指导书，书号为9787-04--4，2018年5月23日由高等教育出版社出版，170千字、128页。
《数学模型（第五版）》开通有数字课程、MOOC课程的资源。
作者简介
《数学模型（第五版）》是由姜启源、谢金星、叶俊编写。 姜启源：同济大学应用数学系教授。 谢金星：清华大学数学科学系教授。 叶俊：清华大学数学科学系教授。
内容简介
《数学模型（第五版）》共11章，包括建立数学模型、初等模型、简单的优化模型、微分方程模型、微分方 程模型、差分方程与代数方程模型、离散模型、概率模型、统计模型、博弈模型。
教材特色
教材参考中国国内外数学建模教材和教学单元，第五版在保持前四版基本结构和风格的基础上，进行补充与 修订：增加了一些实用性较强、生活气息浓烈、数学推导简化的案例，改写、合并、调整了若干案例和章节，删 除了个别案例，并对习题作了相应的修订。
全书共11章，包括建立数学模型、初等模型、简单的优化模型、微分方程模型、微分方程模型、差分方程与 代数方程模型、离散模型、概率模型、统计模型、博弈模型。
成书过程
第五版在保持前四版基本结构和风格的基础上，进行增删与修订，新增和改编的案例接近案例总数的一半， 新版本于2018年5月由高等教育出版社出版（《即数学模型（第五版）》）。
感谢观看
数学模型第五版
数学建模的能力
想象力
洞察力
判断力
比较广博的数学知识
深入实际调查研究的决心和能力
创新意识
• 如何学习数学建模
学别人的模型学习 分析、改进、推广
做自己的模型实际题目;参加竞赛
学别人的模型
对于案例——椅子能在不平的地面上放稳吗; 在学懂的基础上可以作哪些研究
1 模型假设中哪些条件是本质的, 哪些是非本质的 地面高度连续 是 椅子至少三只脚着地 是
用 x 表示船速;y 表示水速，列出方程：
(x y)30750
x=20
(x y)50750 求解 y =5
答：船速为20km/h
航行问题建立数学模型的基本步骤
• 作出简化假设船速 水速为常数 • 用符号表示有关量x, y分别表示船速和水速 • 用物理定律匀速运动的距离等于速度乘以
时间列出数学式子（二元一次方程） • 求解得到数学解答x=20, y=5
章 13 建模示例之一 包饺子中的数学
14 建模示例之二 路障间距的设计
建
立 数 学
模
15 建模示例之三 椅子能在不平的 地面上放稳吗
16 数学建模的基本方法和步骤 17 数学模型的特点和分类
型 18 怎样学习数学建模——学习课程
和参加竞赛
1 1 从现实对象到数学模型
我们常见的模型
玩具 照片、飞机、火箭模型… ~ 实物模型
结论：在模型假设条件下;将椅子绕中心旋转， 一定能找到四只脚着地的稳定点
1 6 数学建模的基本方法和步骤
数学建模的基本方法
对客观事物特性的认识
机理分析
内部机理的数量规律
白箱
测试分析
对量测数据的统计分析 与数据拟合最好的模型
04 模型的校核、验证与确认
6.假设检验法
利用假设检验理论来判断仿真结果和参考结果
是否在统计意义下一致以及一致性的程度如何。有
不少作者采用这一方法对仿真模型进行验证和对仿
真精度进行评估。
7.时间序列与频谱分析
把仿真模型输出与相应的参考输出看作时间序
列，对它们进行某些处理后用时间序列理论和频谱
的、标准解已知的系统模型，将需要测试的仿真计算模型作适
当的调整，使其成为标准解已知的典型系统的仿真计算模型， 并将仿真结果同标准解相比较。以此来考核被测试的系统模型 的正确性。
七、将软件可靠性理论应用于模型校核
仿真计算模型是一类用于专门目的软件或计算机程序。 因而除了在设计过程中遵循软件工程的思想方法和要求以 外。对于已经设计出来的复杂系统仿真程序，也可以利用 软件可靠性的理论与方法对它进行诊断与查错。在70年代 Mills和Basin。利用超几何分布模型解决了软件系统错误
程序设计和实现阶段建立起来的；关于问题实体
(研究对象)的一些
结论，则是在仿真 实验过程中通过运 行计算模型而获得 的。
4.概念模型有效性(Conceptual Model Validity) 是指在形成概念模型的过程中所使用的理 论和假设是否正确，对问题实体的模型表达对 于该模型的指定用途和具体目的是否合情合理， 能否充分体现建模的预期目的。
分析方法考察二者在频域内的统计一致性。
8.综合方法 上述方法两种或两种以上的综合使用，以便 从多个侧面考察仿真模型有效性。
当然，模型验证方法远不止以上列出的几种。
还有其它一些方法，如基于Kalmal滤波理论的模
型检验与校正方法，决策理论在仿真系统概念模
型有效性确认中的应用。模糊数学在仿真模型验
数学模型第五版课程设计
数学模型第五版课程设计一、前言数学模型课程是数学学科体系中的一门应用性课程，主要涉及数学知识在现实生活中的应用，帮助学生了解数学如何应用于实际问题中，提高学生的数学建模能力。
本次课程设计旨在通过实例，详细介绍数学模型的建立过程，并帮助学生熟悉数学模型的应用。
二、课程内容1. 前期准备在开始课程设计前，需要学生具备大学线性代数和微积分等基础数学知识，并具有一定的编程能力。
2. 数学模型的定义和建立过程2.1 数学模型的定义数学模型是指利用数学方法对实际问题进行抽象化和形式化处理，以得到问题的数学表示式和解法的方法。
2.2 数学模型的建立过程•确定问题：首先要确定需要解决的实际问题。
•收集数据：通过实验或调查等方式收集与问题相关的数据。
•建立方程或模型：根据数据和问题的特征，建立数学模型或方程。
•解决问题：利用已经建立的数学模型或方程，解决实际问题。
3. 数学模型在实际问题中的应用3.1 核电站事故模拟分析假设某核电站有2个反应堆，采用钴60俘获模型，模拟事故情况下反应堆的输出功率，进而分析事故对反应堆的影响。
假设第一个反应堆关闭，第二个反应堆失去控制，建立以下方程：$$\\frac{dP}{dt}=k_1(P_0-P)-k_2(cN_2-P)$$其中，P表示反应堆的输出功率，P0表示反应堆的初始功率，c表示钴60的俘获截面积，k1和k2代表两个反应的系数，N2代表第二个反应堆的中子数。
通过求解上述方程，可以得到反应堆的输出功率随时间变化的情况。
3.2 股票价格预测根据股票的历史价格数据，建立股票价格变化的数学模型，预测未来的股票价格走势。
假设已知若干个时刻的股票价格，建立以下方程：$$y_t = \\beta_0+\\beta_1x_1+\\beta_2x_2+…+\\beta_nx_n+e_t$$其中，y t表示第t个时刻的股票价格，x1、x2、…x n为若干个自变量（如前几个时刻的股票价格），$\\beta_i$为关于自变量的系数，e t为误差项。
数学模型第五版教学大纲
数学模型第五版教学大纲
一、课程简介
本课程是数学专业和相关专业的必修课程之一，旨在帮助学生掌握数学模型的基本概念、建模过程和解题方法，培养学生的创新思维和实际问题解决能力。
二、教学目标
1.理解数学模型的基本概念和建模的思路；
2.掌握常用的数学模型和求解方法；
3.能够独立分析和解决实际问题；
4.培养学生的科学思维、创新精神和团队合作精神。
三、教学内容
第一章数学模型的概念和基本要素
1.数学模型的概念和基本要素；
2.数学模型的分类和应用；
3.数学建模的基本流程和方法。
第二章常用数学模型
1.线性规划模型；
2.非线性规划模型；
3.最优化模型；
4.动态规划模型；。
第04章电力系统负荷及数学模型
(
)
(
)
有时，上述方程中也可以两个或多个不同指数的项。这种模型的参数由指数 np,nq 和负荷的功率因素组成。 值得注意的是， 只要令其指数分别等于 0、 1 或 2， 负荷就可以分别表示为恒定功率， 恒定电流和恒定阻抗模型。其它指数可用来表 示不同类型负荷元件的集结效应。 对于某些类型的负荷，大于 2 或小于 0 的指数 模型也许是合适的； （3）频率相关负荷模型（Frequency-dependent load model): 是一种含频率相 关项的， 静态模型， 它通常由负荷多项式模型或幂函数模型与下述因子相乘而得：
母线负 荷 P Q 电阻电热 工业 0. 负荷类 型 成分 p.f .
dP dV
dQ dV dP dt
dQ dt
Motor Parameters
1.
2. .
0.
0.
空调 商业
.02 2.8
.5 etc
2.5
0.5
照明
1. 0.
1.54 .
0.
0.
居民 热水器 1. 0. 2. . 0. 0.
图 4.2
4.
3
负荷模型（load model):
是指反映母线电压（大小和频率）和功率（有功和无功）之间或者和注入母 线负荷的电流之间相互关系的一种数学描述。“负荷模型”这条术语可以用来指 模型表达式本身， 也可以用来指表达式及表达式参数的特定值 （如系数、 指数等） 。 虽然在某一特定的应用程序中，这些表达式有不同的计算方式，因此，负荷功率 或电流也许难以显式地计算出来，但用这种形式来考虑负荷模型是可行的； 静态负荷模型（static load model): 表示某一时刻负荷所吸收的有功和无功与 同一时刻母线电压幅值和频率之间的函数关系。 静态负荷模型既可用来表示本质 上是静态的负荷元件， 如电阻负荷和照明负荷等；也可以用来表示近似动态负荷 元件，如电动机驱动的负荷等； 动态负荷模型 (Dynamic load model): 表示某一时刻有功和无功和前几个时 刻， 通常还包含当前时刻的母线电压幅值和频率之间的函数关系。常用微分方程 和差分方程来表示； 恒定阻抗负荷模型（constant impedance load model): 是一种静态模型，其功 率直接与电压幅值的平方成正比。它特可以称为导纳恒定模型； 恒定电流负荷模型（constant current load model): 是一种静态模型，其功率直 接与电压幅值成正比； 恒定功率负荷模型（constant power load model): 是一种静态模型，其功率不 随电压幅值的变化而变化。它也可以称为恒定 MVA 模型。由于恒定功率负荷设 备，如电动机和电子设备等，在电压低于某些值时（一般为 80%～90%），它的 特性就很难维持， 因此在许多负荷模型中都自动地将恒定功率负荷模型转换为恒 定阻抗负荷模型，或者在电压低于一定值时将那一部分负荷切除； （1）多项式负荷模型（polynomial load model): 是一种动态模型，它把功率与 电压和频率之间的函数关系用一多项式来表示。通常采用下述形式：
数学模型第五版课程设计
数学模型第五版课程设计一、课程设计目标本课程设计旨在通过对实例的分析与建模，培养学生使用数学知识进行实际问题建模与分析的能力，提高学生的数学应用能力和科研创新能力。
二、课程设计内容1. 实例选取本课程设计中选取一项实际问题作为研究对象，根据实际情况进行模型建立和求解。
2. 数学模型的建立在实例研究中，将通过以下步骤进行数学模型的建立：•实际问题建立问题数学模型；•对问题进行数学描述和变量定义；•进行假设和简化，确定模型结构和控制方程式。
3. 模型求解与分析建立好问题的数学模型后，需要通过适当的数学方法和计算手段对问题进行求解和分析。
4. 模型优化与应用模型求解和分析后，需要对模型进行优化和应用，以提高模型的准确性和实用性。
三、课程设计实施方案1. 教学方法本课程设计采用实例学习、案例分析、小组交流等多种教学方法，注重学生的实践能力和团队协作精神的培养。
2. 学时分配本课程设计共计30学时，按照以下方式进行学时分配：•实例选取和分析：2学时；•数学模型的建立：6学时；•模型求解与分析：16学时；•模型优化与应用：4学时；•结论撰写与报告：2学时。
3. 课程设计要求与评分标准本课程设计要求学生在规定时间内完成课程设计报告和结论，并在课堂上进行口头报告。
报告内容包括实例分析、数学模型的建立、模型求解与分析、模型优化与应用、结论和评价等。
课程设计报告和结论的评分标准包括内容准确完整性、时限内完成度、计算准确性、模型的可行性和实用性等方面。
四、师生互动环节本课程设计将设置师生互动环节，包括学生提问、师生互动讨论及问题解答、实践操作等，以促进师生之间的交流与合作。
五、课程设计评估本课程设计评估将主要从课程设计与报告、结论撰写、口头报告和交流及学生综合表现等方面进行评估，并根据评估结果对学生进行评定，并对整个课程进行总结与改进。
六、总结本课程设计旨在培养学生实际问题分析和解决的能力，在实践中提高数学应用和创新实践能力，增强学生对专业知识的掌握和理解。
第四章 整数规划整数规划数学模型运筹学基础及其应用胡运权第五版
§4.1 整数规划数学模型 Mathematical Model of IP
Ch4 Integer Programming
2012年12月31日星期一 Page 3 of 15
【例4.1 】某人有一背包可以装10公斤重、0.025m3的物品。他准备 用来装甲、乙两种物品，每件物品的重量、体积和价值如表5－1所 示。问两种物品各装多少件，所装物品的总价值最大？ 表4—1 重量 体积 价值 物品 （公斤/每件） （m3/每件） (元/每件)
甲 乙
1.2 0.8
0.002 0.0025
4 3
【解】设甲、乙两种物品各装x1、x2件，则数学模型为： max Z 4 x1 3 x 2
1.2 x1 0.8 x 2 10 2 x1 2.5 x 2 25 x , x 0, 且均取整数 1 2
(4.1)
Ch4 Integer Programming
2012年12月31日星期一 Page 7 of 15
（1） 由于所装物品不变，式(8.1)约束左边不变，整数规划数学 max Z 4 x1 3x 2 模型为 1.2 x1 0.8 x 2 10 y1＋12 y 2 2 x1 2.5 x 2 25y1 20 y 2 y1 y 2 1 xi 0, 且取整数, yi 0或1 i 1,2 （2） 由于不同载体所装物品不一样，数学模型为
j 1,2,3 x j My j x1 x 2 x3 2000 x1 600, x 2 800, x3 1200 x j 0, y j 1或0，j 1,2,3
式中 x j My j是一个特殊的约束条件，显然当xj>0时，yj=1, 当xj ＝0时，为使Z极小化，只有yj=0才有意义。 用QSB软件求解得到：X＝（0，800，1200），Y＝（0，1，1）， Z=8100.
数学模型第五版姜启源课件
数学模型第五版姜启源课件1. 引言数学模型是一种以数学方法描述、分析和解决实际问题的工具。
它是现代科学、工程和社会学科中不可或缺的一部分。
姜启源的《数学模型》是国内外广泛采用的教材之一，这份课件是对第五版《数学模型》的经典章节进行概要的总结和讲解。
2. 背景与目的数学模型的研究对象可以是自然界的现象、社会经济问题或工程技术等。
通过建立数学模型，我们可以更好地理解问题的本质，并探索解决问题的方法。
数学模型的建立需要一定的理论基础和技巧，本课件旨在帮助读者快速掌握数学模型的基本概念和建模方法。
3. 数学模型的基本概念数学模型是对实际问题进行抽象和描述的数学形式。
它由问题的假设、变量、关系和约束等要素组成。
本部分介绍了数学模型的基本概念，包括：3.1 假设与逼近数学模型的建立需要对实际问题进行适当的假设和逼近。
假设是对问题中不确定因素的简化和规定，而逼近是对问题中不精确因素的近似和描述。
3.2 变量与参数变量是数学模型中描述问题状态的符号，它可以是数值、向量、矩阵等。
参数是数学模型中的固定值，它们可以是已知的或未知的。
3.3 关系与方程关系是数学模型中描述变量之间相互关系的数学表达式。
方程是关系中等号左右两边相等的表达式。
3.4 约束条件与目标函数约束条件是数学模型中描述问题限制条件的不等式或等式。
目标函数是数学模型中描述问题目标的数学表达式。
4. 常见的数学模型本部分介绍了一些常见的数学模型及其应用场景，包括：4.1 线性模型线性模型是最简单的数学模型之一，它的关系和约束条件可以表示为线性方程或线性不等式。
线性模型广泛应用于经济学、管理学、物理学、工程学等领域。
4.2 非线性模型非线性模型是一类不满足线性关系的数学模型。
它的关系和约束条件可以表示为非线性方程或非线性不等式。
非线性模型常用于生物学、化学、地球物理学等领域的研究。
4.3 动态模型动态模型是描述系统随时间变化的数学模型。
它可以采用微分方程、差分方程或积分方程等形式进行建模。
数学模型姜启源第五版答案4
数学模型姜启源第五版答案4.1复习题1、x3??(m为正整数)可写成( ) [单选题] *A. x3＋x?B. x3－x?C. x3·x?(正确答案)D. x3?2、13．设x∈R，则“x3（x的立方）>8”是“|x|>2”的( ) [单选题] * A．充分而不必要条件(正确答案)B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3、14.不等式｜3-x｜＜2 的解集为（）[单选题] *A. x＞5或x＜1B.1＜x＜5(正确答案)C. -5＜x＜-1D.x＞14、30.圆的方程+=4,则圆心到直线x-y-4=0的距离是（）[单选题] *A.√2(正确答案)B.√2/2C.2√2D.25、21．如图，AB＝CD，那么AC与BD的大小关系是（）[单选题] * A．AC＝BD(正确答案)B．AC＜BDC．AC＞BDD．不能确定6、5．已知集合A={x|x=3k＋1，k∈Z}，则下列表示不正确的是( ) [单选题] * A．－2∈AB．2 022?AC．3k2＋1?A(正确答案)D．－35∈A7、49．若（x+2）（x﹣3）＝7，（x+2）2+（x﹣3）2的值为（）[单选题] * A．11B．15C．39(正确答案)D．538、f（x）=-2x+5在x=1处的函数值为（）[单选题] *A、-3B、-4C、5D、3(正确答案)9、若2? ＝3，2?＝4，则23??2?等于( ) [单选题] *A. 7B. 12C. 432(正确答案)D. 10810、下列计算正确的是（）[单选题] *A. a2+a2=2a?B. 4x﹣9x+6x=1C. （﹣2x2y）3=﹣8x?y3(正确答案)D. a6÷a3=a211、9、横坐标为3的点一定在（）[单选题] *A.与x轴平行，且与x轴的距离为3的直线上B.与y轴平行，且与y轴的距离为3的直线上C.与x轴正半轴相交，与y轴平行，且与y轴的距离为3的直线上(正确答案)D.与y轴正半轴相交，与x轴平行，且与x轴的距离为3的直线上12、12．如图，将一块三角形纸片剪去一部分后，发现剩余阴影部分的纸片周长要比原三角形纸片的周长大，能正确解释这一现象的数学知识是（）[单选题] *A．直线没有端点，向两端无限延伸B．两点之间，线段最短(正确答案)C．经过一点有无数条直线D．两点确定一条直线13、9. 如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边长为2，点A坐标为（-2，1），沿某一方向平移后点A1的坐标为（4，2），则点C1的坐标为（）[单选题]*A、（2，3）B、（2，4）(正确答案)C、（3，4）D、（3，3）14、8. 下列事件中，不可能发生的事件是(? ? )．[单选题] *A．明天气温为30℃B．学校新调进一位女教师C．大伟身长丈八(正确答案)D．打开电视机，就看到广告15、25.{菱形}∩{矩形}应（）[单选题] *A.{正方形}(正确答案)B.{矩形}C.{平行四边形}D.{菱形}16、49、如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠ABC＝50°，若△EDC≌△ABC，且A，C，D在同一条直线上，则∠BCE＝（）[单选题] *A．20°(正确答案)B．30°C．40°D．50°17、计算(2x－1)(5x＋2)的结果是() [单选题] *A. 10x2－2B. 10x2－5x－2C. 10x2＋4x－2D. 10x2－x－2(正确答案)18、2005°角是（）[单选题] *A、第二象限角B、第二象限角(正确答案)C、第二或第三象限角D、第二或第四象限角19、下列各角中，与300°终边相同的角是（）[单选题] *A、420°B、421°C、-650°D、-60°(正确答案)20、1．在0，，3，2π，﹣23%，2021这六个数中，非正数有（）个．[单选题] * A．2(正确答案)B．3C．4D．021、已知a+b=3,则代数式(a+b)(a-b)+6b的值是(? ????) [单选题] *A. -3B. 3C. -9D. 9(正确答案)22、若(x+m)(x2-3x+n)展开式中不含x2和x项，则m，n的值分别为( ) [单选题] *A. m=3,n=1B. m=3,n=-9C. m=3,n=9(正确答案)D. m=-3,n=923、已知sina<0且cota＞0，则是（）[单选题] *、第一象限角B、第一象限角C、第三象限角(正确答案)D、第四象限角24、4.一个数是25，另一个数比25的相反数大- 7，则这两个数的和为[单选题] *A.7B. - 7(正确答案)C.57D. - 5725、16、在中,则( ). [单选题] *A. AB<2AC (正确答案)B. AB=2ACC. AB>2ACD. AB与2AC关系不确定26、下列各式与x3? ?2相等的是( ) [单选题] *A. (x3) ? ?2B. (x ? ?2)3C. x2·(x3) ?(正确答案)D. x3·x ?＋x227、f（x）=-2x+5在x=1处的函数值为（）[单选题] *A、-3B、-4C、5D、3(正确答案)28、17．如图，若OC是∠AOB内部的一条射线，则下列式子中，不能表示“OC是∠AOB 的角平分线”的是（）[单选题] *A．∠AOC＝∠BOCB．∠AOB＝2∠BOCC．D．∠AOC+∠BOC＝∠AOB(正确答案)29、8．修建高速公路时，经常把弯曲的公路改成直道，从而缩短路程，其道理用数学知识解释正确的是（）[单选题] *A．线段可以比较大小B．线段有两个端点C．两点之间，线段最短(正确答案)D．过两点有且只有一条直线30、4．(2020·天津，1,5分)设全集U={－3，－2，－1,0,1,2,3}，集合A={－1,0,1,2}，B={－3,0,2,3}，则A∩(?UB)=( ) [单选题] *A．{－3,3}B．{0,2}C．{－1,1}(正确答案)D．{－3，－2，－1,1,3}。
数学建模参考答案第五版
数学建模参考答案第五版数学建模是一门将数学方法和技巧应用于实际问题解决的学科。
它将数学的抽象思维与实际问题相结合，通过建立数学模型来描述和分析问题，并提出相应的解决方案。
数学建模参考答案第五版是一本经典的数学建模参考书籍，本文将对该书的内容进行简要介绍和评价。
首先，数学建模参考答案第五版涵盖了广泛的数学建模领域，包括线性规划、整数规划、非线性规划、动态规划、图论、网络流、插值与拟合、微分方程、概率统计等。
每个领域都有详细的理论介绍和实际案例分析，使读者能够全面了解各种数学建模方法和应用场景。
其次，该书的解答部分给出了详细的解题思路和步骤，帮助读者更好地理解和掌握数学建模的方法。
解答中注重对问题的分析和建模过程的讲解，而不仅仅是给出最终的结果。
这种解答方式能够培养读者的问题分析和解决能力，提高他们的数学建模水平。
此外，数学建模参考答案第五版还提供了大量的习题和实例，供读者练习和巩固所学知识。
这些习题和实例既有基础的计算题，又有思考题和开放性问题，能够帮助读者培养问题解决的能力和创新思维。
同时，书中还附有习题的答案和解析，方便读者自我检验和纠正错误。
然而，数学建模参考答案第五版也存在一些不足之处。
首先，由于数学建模领域的发展迅速，该书的内容可能已经有些过时，无法覆盖最新的研究成果和方法。
其次，该书的篇幅较长，对于初学者来说可能有些冗长和晦涩。
因此，读者需要有一定的数学基础和耐心，才能充分理解和消化书中的知识。
综上所述，数学建模参考答案第五版是一本经典的数学建模参考书籍，它涵盖了广泛的数学建模领域，给出了详细的解题思路和步骤，提供了大量的习题和实例。
然而，读者需要注意该书的内容可能有些过时，而且篇幅较长，需要有一定的数学基础和耐心。
希望本文的介绍和评价能够对读者选择和使用数学建模参考书籍有所帮助。
《数学模型》(第五版)-姜启源-第2章
初等模型
• 研究对象的机理比较简单
• 用静态、线性、确定性模型即可达到建模目的
可以利用初等数学方法来构造和求解模型
如果用初等和高等的方法建立的模型，其应用效果
差不多，那么初等模型更高明，也更受欢迎.
尽量采用简单的数学工具来建模
第
二
章
初
等
模
型
双层玻璃窗的功效
划艇比赛的成绩
实物交换
汽车刹车距离与道路通行能力
外
T2
墙
T1 Ta
Ta Tb k Tb T2
Q1 k1
k2
1
d
d
l
T1 T2
k1
l
Q1 k1
, sh , h
d ( s 2)
k2
d
建模 记单层玻璃窗传导的热量Q2
T1 T2
T1 T2
Q1 k1
Q2 k1
d ( s 2)
2d
室
内
T1
2d
Q2
Q1
1
l
, h
Q2 8h 1
d
取 h=l/d=4, 则 Q1/Q2
即双层玻璃窗与同样多材
料的单层玻璃窗相比，可
减少97%的热量损失.
结果分析
Q1/Q2
0.06
0.03
0.02
O
2
4
Q1/Q2所以如此小，是由于层间空气的热传导系
数k2极低, 而这要求空气非常干燥、不流通.
房间通过天花板、墙壁、…损失的热量更多.
vm
vm=vf/2 ~最大流量时的速度
0
km
kj
密度k
0
解析数学模型（第五版）
解析数学模型（第五版）摘要就记录了少部分题解，主要是太懒了（下次补坑可能就到明年建模了吧哈哈）⽂章中⼀律以 BD 代替 Brief Description（题⽬简述），SAT 代替 Solve and Thinking（解法和思路）初等模型⼀、双层玻璃窗的功效在这⾥插⼊图⽚描述BD：单层玻璃窗和双层玻璃窗的热量传导进⾏对⽐，双层玻璃窗能减少多少热量损失？SAT：简单的，不考虑热对流和热辐射，在室内外温度恒定的假设下，⽤傅⾥叶热传导定律Q=k ΔTd，玻璃和空⽓厚度的⽐例h=ld，再对两者进⾏对⽐Q1Q2，最后列⼀张⽐例图在这⾥插⼊图⽚描述⼆、划艇⽐赛的成绩在这⾥插⼊图⽚描述BD：探究划艇⽐赛成绩和桨⼿数量的关系SAT：（物理⽼师见了要吐⾎的假设和模型），⾸先有两个假设：lb和w0n设为常数，因为它们的变化不⼤。
那么lb不变可以得出艇的形状是⼀样的，推出s∝A 23【艇浸没⾯积s和艇排⽔体积A成正⽐；w0n不变得出w0∝n【艇重w0和桨⼿数n成正⽐】，⼜由于w′=w0+nw【总质量等于艇重加桨⼿数的总质量】，推出w′∝n【艇重w0和桨⼿数量n成正⽐】SAT2：众所周知，空⽓阻⼒的公式F=12CρSV2【C为空⽓阻⼒系数，即常数；ρ是空⽓密度，⼀般情况也取常数；S为物体迎风⾯积；V为物体与空⽓的相对运动速度】，那么根据空⽓阻⼒的公式，可以类似的推导出艇的阻⼒公式f∝sv2【f是艇与⽔的摩擦阻⼒；s是艇浸没⾯积；v2是划艇速度的平⽅】SAT3：假设所有桨⼿的体重相同，划艇的速度是匀速的，那么根据功率公式P=FV，推导出np∝fv【np是所有桨⼿的总功率；f是艇与⽔的摩擦阻⼒；v是划艇速度】，⽽p∝w可以解释为：桨⼿的功率p与肌⾁体积、肺的提及成正⽐，对于⾝材均匀的运动员，肌⾁、肺的体积与体重w成正⽐STA4：⽐赛时间t与速度v成反⽐，把上述所有公式进⾏整合可得到t∝n−19，即划艇⽐赛成绩和桨⼿数量的关系模型三、实物交换BD：甲只有⼀定量的物品 X，⼄只有⼀定量的物品 Y，所以他们之间想进⾏交换，⽤作图的⽅法对双⽅交换实物建⽴⼀个模型STA：⽆差别曲线⽤于描述甲或⼄对物品X和Y的偏爱程度（但下图为甲的），甲有⽆数条⽆差别曲线（⼄也⼀样），越靠近右上⾓，代表甲的满意程度越⾼。
数学模型第五版姜启源
数学模型第五版姜启源简介数学模型是一门研究数学与实际问题应用的学科。
姜启源教授的《数学模型》系列教材是广大数学爱好者和学习者的宝贵资料。
本文将介绍数学模型第五版姜启源的内容和特点。
内容概述数学模型第五版姜启源这本书主要涵盖了以下方面的内容：1.数学模型的基本概念：介绍数学模型的定义、分类以及数学模型构建的基本步骤。
2.线性规划：介绍线性规划的基本概念、线性规划模型的建立和求解方法，以及线性规划在实际问题中的应用。
3.整数规划：介绍整数规划的基本概念、整数规划模型的建立和求解方法，以及整数规划在实际问题中的应用。
4.图论与网络优化：介绍图论的基本概念、常见图论模型的建立和求解方法，以及图论在实际问题中的应用。
5.随机模型：介绍随机模型的基本概念、常见随机模型的建立和求解方法，以及随机模型在实际问题中的应用。
6.动态规划：介绍动态规划的基本概念、动态规划模型的建立和求解方法，以及动态规划在实际问题中的应用。
特点分析数学模型第五版姜启源具有以下几个特点：综合性本书对数学模型的研究内容进行了系统的整理和，包括线性规划、整数规划、图论与网络优化、随机模型以及动态规划等多个方面。
这使得读者能够从不同角度了解数学模型的应用领域和解决方法。
理论与实践结合本书不仅介绍了数学模型的理论基础，还结合实际问题进行案例分析和求解过程。
通过实际案例的引入，读者能够更好地理解数学模型和解决实际问题的方法。
解题思路明确本书对每一类数学模型都给出了清晰的解题思路和求解方法，从数学模型的建立到求解过程，都有详细的讲解和示例演示。
这有助于读者掌握解题的方法和技巧，提高数学建模能力。
应用广泛性数学模型是一门跨学科的学科，本书所涉及的数学模型方法和应用领域非常广泛，适用于工科、理科以及经济管理等多个领域。
，无论是学生还是研究者，都能从本书中获得实用的知识。
数学模型第五版姜启源是一本内容丰富、方法全面的数学模型教材。
它系统地介绍了数学模型的基本概念、建立方法和求解技巧，以及在实际问题中的应用。
数学模型第04章第五版ppt课件
1 MILK TIME
3360.000 0.000000 0.000000
1.000000 48.00000
原料增加1单位, 利润增长48
2.000000 时间增加1单位, 利润增长2
CPCT 40.00000 0.000000 加工能力增长不影响利润
• 35元可买到1桶牛奶，要买吗? 35 <48, 应该买！ • 聘用临时工人付出的工资最多每小时几元? 2元！
函数 z=c (常数) ~等值线
100 l4
l5 : x2 0
O
c l5
l2 C z=3360 l3
D x1
z=0 z=2400
在B(20,30)点得到最优解.
目标函数和约束条件是线性函数 可行域为直线段围成的凸多边形 目标函数的等值线为直线
最优解一定在凸多边 形的某个顶点取得.
模型求解
软件实现
结果解释
Total solver iterations:
2
最优解下“资源”增加
Variable Value X1 20.00000
Reduced Cost 1单位“效益”的增量 0.000000
X2 30.00000
0.000000
Row Slack or Surplus Dual Price 影子价格
X2 168.0000
0.000000
X3 19.20000
0.000000
X4 0.000000
0.000000
X5 24.00000
0.000000
X6 0.000000
1.520000
Row Slack or Surplus Dual Price
1
3460.800
初中数学经典几何模型04-角平分线模型在三角形中的应用(含答案)
初中数学经典几何模型专题04 角平分线模型在三角形中的应用在初中几何证明中，常会遇到与角平分线有关的问题。
不少同学遇到这类问题时，不清楚应该怎样去作辅助线。
实际上这类问题是有章可循的，其策略是:明确辅助线作用，记清相应模型辅助线作法，理解作辅助线以后的目的。
能做到这三点，就能在解题时得心应手。
【知识总结】【模型】一、角平分线垂两边 角平分线+外垂直当已知条件中出现OP 为OAB ∠的角平分线、PM OA ⊥于点M 时，辅助线的作法大都为过点P 作PN OB ⊥即可.即有PM PN =、OMP ∆≌ONP ∆等，利用相关结论解决问题.【模型】二、角平分线垂中间 角平分线+内垂直当已知条件中出现OP 为AOB ∠的角平分线,PM OP ⊥于点P 时，辅助线的作法大都为延长MP 交OB 于点N 即可.即有OMN ∆是等腰三角形、OP 是三线等，利用相关结论解决问题.【模型】三、角平分线构造轴对称 角平分线+截线段等当已知条件中出现OP 为AOB ∠的角平分线、PM 不具备特殊位置时，辅助线的作法大都为在OB 上截取ON OM =，连结PN 即可.即有OMP ∆≌ONP ∆，利用相关结论解决问题.【模型】四、角平分线加平行线等腰现 角平分线+平行线当已知条件中出现OP 为AOB ∠的角平分线，点P 角平分线上任一点时，辅助线的作法大都为过点P 作PM //OB 或PM //OA 即可.即有OMP ∆是等腰三角形，利用相关结论解决问题.1、如图, ABN CBN ∠=∠, P 为BN 上的一点，并且PD BC ⊥于点D ,2AB BC BD +=,求证：180BAP BCP ∠+∠=︒.2、如图，在ABC ∆中，CD 是ACB ∠的平分线，AD CD ⊥于点D ,DE //BC 交AB 于点E ，求证:EA EB =.3、已知:如图7,2,,AB AC BAD CAD DA DB =∠=∠=，求证:DC AC ⊥.4、如图,AB //CD ,AE 、DE 分别平分BAD ∠和ADC ∠.探究:在线段AD 上是否存在点M ，使得2AD EM =.【基础训练】1、如图所示，在四边形ABCD中，DC//AB，∠DAB=90°，AC⊥BC，AC=BC，∠ABC的平分线交AD，AC于点E、F，则BFEF的值是___________.2、如图，D是△ABC的BC边的中点，AE平分∠BAC，AE⊥CE于点E，且AB =10，AC =16，则DE的长度为______3、如图所示，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ =13CE时，EP+BP =________.【巩固提升】1、如图，F，G是OA上两点，M，N是OB上两点，且FG =MN，S△PFG=S△PMN，试问点P是否在∠AOB 的平分线上？2、已知：在△ABC中，∠B的平分线和外角∠ACE的平分线相交于D，DG//BC，交AC于F，交AB于G，求证：GF =BG CF.3、在四边形ABCD中，∠ABC是钝角，∠ABC+∠ADC =180°，对角线AC平分∠BAD.（1）求证：BC =CD；（2）若AB +AD =AC，求∠BCD的度数；4、如图，在△ABC中，D、E、F分别为三边的中点，G点在边AB上，△BDG与四边形ACDG的周长相等，设BC =a、AC =b、AB =c.（1）求线段BG的长（2）求证：DG平分∠EDF.5、如图，BA⊥MN，垂足为A，BA=4，点P是射线AN上的一个动点（点P与点A不重合），∠B PC=∠BP A，BC⊥BP，过点C作CD⊥MN，垂足为D，设AP=x.CD的长度是否随着x的变化而变化？若变化，请用含x的代数式表示CD的长度；若不变化，请求出线段CD的长度.6、已知：平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点分别为0（0，0）、A（5，0）、B（m，2）、C（m-5，2）.（1）问：是否存在这样的m，使得在边BC上总存在点P，使∠OP A=90°？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.（2）当∠AOC与∠OAB的平分线的交点Q在边BC上时，求m的值.7、我们把由不平行于底边的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯形”。
数学建模教材(第四章)
第4章数学规划模型本章研究数学规划模型，其中包括：线性规划、整数规划、非线性规划、多目标规划与动态规划等内容．线性规划模型线性规划是运筹学的一个重要分支，随着计算机技术的发展，线性规划不仅在理论上已趋向成熟，而且在实际应用中也日益广泛与深入．本节将借助Lingo数学软件对线性规划模型进行求解．4.1.1问题的提出在生产管理和经营活动中经常提出一类问题，即如何合理地利用有限的人力、物力、财力等资源，以便得到最好的经济效果．引例1 普通生产计划安排问题某工厂在计划期内要安排生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的消耗，如表4-1所示．该工厂每生产一件产品Ⅰ可获利2元，每生产一件产品Ⅱ可获利3元，问应该如何安排计划使该工厂获利最多表普通生产计划安排问题ⅠⅡ设备原材料A 原材料B利润1422438台时16kg12kg引例2 奶制品的生产计划问题一奶品加工厂用牛奶生产A、B两种奶制品，1桶牛奶可以在甲类设备上用12小时加工成3公斤A，或者在乙类设备上用8小时加工成4公斤B，根据市场需求，生产的A、B全部能售出，且每公斤A获利24元，每公斤B获利16元．现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间为480小时，并且甲类设备每天最多能加工100公斤A，乙类设备的加工能力没有限制．试为该厂制定一个生产计划，使每天获利最大，并进一步讨论以下３个附加问题：⑴若用35元可以买到1桶牛奶，应否做这项投资若投资，每天最多购买多少桶牛奶⑵若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临时工人的工资最多是每小时几元⑶由于市场需求变化，每公斤A的获利增加到30元，应否改变生产计划4.1.2模型建立1.引例1普通生产计划安排问题的模型建立对于引例1，可以设x、y分别表示在计划期内产品Ⅰ、Ⅱ的产量．若用z表示利润，这时，23z x y =+．因为设备的有效台时为8，因此应有限制条件：28x y +≤；同理考虑原材料的不同限制，可得如下限制条件：416x ≤，412y ≤．综上所述，该计划问题可用数学模型表示为：目标函数：max 23z x y =+约束条件：28416412x y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≤⎩0,0x y ≥≥2.引例2奶制品生产计划问题的模型建立对于引例2，可以设每天用1x 桶牛奶生产A ，用2x 桶牛奶生产B ．类似引例1可得奶制品生产计划问题的数学模型：目标函数：12max 7264z x x =+约束条件：12121501284803100x x x x x +≤⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩120,0x x ≥≥从以上两例可以看出，他们都属于同一类优化问题，他们的共同特征： ⑴每一个问题都用一组决策变量12(,,,)n x x x 表示某一方案；这组决策变量的值就代表一个具体方案，一般这些变量取值都是非负的；⑵存在一定的约束条件，这些约束条件可以用一组线性等式或线性不等式来表示；⑶都有一个要求达到的目标，它可用决策变量的线性函数来表示，这个函数称为目标函数．满足以上三个条件的数学模型称为线性规划数学模型．其一般形式为：目标函数：1122max(min)n n z c x c x c x =+++约束条件：11112211211222221122(,)(,)(,)n n n n m m mn n ma x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b ++≤=≥⎧⎪++≤=≥⎪⎨⎪⎪++≤=≥⎩120,0,0n x x x ≥≥≥4.1.3模型求解1.引例1普通生产计划安排问题的模型求解使用Lingo 数学软件对引例１进行求解，编写程序如下：max =2*x+3*y; x+2*y<8; 4*x<16; 4*y<12; end求解结果为：目标函数的最大值14z =，即可获得最大利润１４元；最优生产计划方案是：生产产品Ⅰ4件，生产产品Ⅱ2件．2.引例2奶制品生产计划问题的模型求解使用Lingo 数学软件对引例2进行求解，编写程序如下：max =72*x1+64*x2;x1+x2<50;12*x1+8*x2<480; 3*x1<100; end求解结果为：每天用20桶牛奶生产A ，用30桶牛奶生产B ，最大利润是3360元．下面来回答三个附加问题：⑴针对附加问题1，可假设应投资购买x 桶牛奶，目标函数应修改为：12max 726435*z x x x =+-关于牛奶的约束条件也应作相应的修改：1250x x x +<+通过编程求解得：最大利润增加到3490元，因此，应作该项投资，每天最多购买10桶牛奶．⑵针对附加问题2，首先将劳动时间480小时增加1个小时，对原问题进行求解，可得最大利润由3360元增加到3362元，其中增加的2元就是劳动时间的影子价格．因此，若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临时工人的工资最多是每小时2元．其次，若还想知道以低于每小时2元的价格增加劳动时间，最多可购买多少劳动时间可以对目标函数以及关于劳动时间的约束条件作类似的修改，然后进行求解．例如，若以每小时元的价格聘用临时工人，最多可购买小时．⑶针对附加问题3，只需改变目标函数中的系数即可．将原来的目标函数改为：12max 9064z x x =+，约束条件不变．通过求解可得：最大利润有所增加，由原来的3360元增加到3720元，但生产计划没有改变，仍然是每天用20桶牛奶生产A ，用30桶牛奶生产B ． 4.1.4应用实例例1一个家庭有625英亩的土地可以用来种植农作物，这个家庭考虑种植的农作物有玉米、小麦和燕麦，预计可以有1000英亩-英尺的灌溉用水，农场工人每周可以投入的工作时间为300小时，其他的数据在表4-2中给出，为能够获得最大收益，每种作物应该种植多少表农场问题的有关数据玉 米 小 麦 燕 麦 现有量 灌溉用水（英亩-英尺） 劳力（人-小时/周） 收益（美元）4002002501000 300解 设应种植玉米1x 英亩，小麦2x 英亩和燕麦3x 英亩．可得如下线性规划模型：目标函数：123max 400200250z x x x =++约束条件：1231231233 1.510000.80.20.3300625x x x x x x x x x ++≤⎧⎪++≤⎨⎪++≤⎩1230,0,0x x x ≥≥≥使用Lingo 数学软件进行求解，编写程序如下：max =400*x1+200*x2+250*x3;x1+x2+x3<625; *x1+*x2+*x3<300; 3*x1+x2+*x3<1000; end程序运行结果为：应分别种植玉米187.5英亩，小麦437.5英亩和燕麦0英亩，获最大收益162500美元．例2 某市有甲、乙、丙、丁四个居民区，自来水由A 、B 、C 三个水库供应．四个区每天必须得到保证的基本生活用水量分别为30，70，10，10千吨，但由于水源紧张，三个水库每天最多只能供应50，60，50千吨自来水．由于地理位置的差别，自来水公式从各水库向各地区送水所需付出的引水管理费不同（见表4-3，其中C 水库与丁地区之间没有输水管道），其它管理费用都是450元／千吨．根据公司规定，各区用户按照统一标准900元／千吨收费．此外，四个区都向公司申请了额外用水量，分别为每天50，70，20，40千吨．该公司应如何分配供水量，才能获利最多为了增加供水量，自来水公司正在考虑进行水库改造，使三个水库每天的最大供水量都提高一倍，问那时供水方案应如何改变公司利润可增加多少表引水管理费引水管理费（元／千吨）甲 乙 丙 丁 A B C160 140 190130 130 200220 190 230170 150 ／解 决策变量应为A 、B 、C 三个水库(1,2,3)i =分别向甲、乙、丙、丁四个区(1,2,3,4)j =的供水量．设i 水库向j 区的日供水量为ij x 千吨，由于C 水库与丁区之间没有输水管道，即340x =，因此只有11个决策变量．于是可得如下线性规划模型： 目标函数：11121314max (450160)(450130)(450220)(450170)z x x x x =-+-+-+-21222324313233(450140)(450130)(450190)(450150)(450190)(450200)(450230)x x x x x x x +-+-+-+-+-+-+-约束条件：水库供应量限制可以表示为：1112131421222324313233506050x x x x x x x x x x x +++≤+++≤++≤ 各区基本用水量与额外用水量限制为：11213111213111213111213130807014010301050x x x x x x x x x x x x ≤++≤≤++≤≤++≤≤++≤0,1,2,3;1,2,3,4ij x i j ≥==使用Lingo 数学软件进行求解，编写程序如下：max =(450-160)*x11+(450-130)*x12+(450-220)*x13+(450-170)*x14+(450-140)*x21+(450-130)*x22+(450-190)*x23+(450-150)*x24 +(450-190)*x31+(450-200)*x32+(450-230)*x33; x11+x12+x13+x14<50; x21+x22+x23+x24<60; x31+x32+x33<50; x11+x21+x31<80; x11+x21+x31>30; x12+x22+x32<140; x12+x22+x32>70; x13+x23+x33<30; x13+x23+x33>10; x14+x24<50; x14+x24>10; end程序运行结果为：A 水库向乙区供水50千吨；B 水库向乙、丁区分别供水50，10千吨；C 水库向甲、丙分别供水40，10千吨．最大利润为47600元．对于本例来说，无论是目标函数还是约束条件都显得比较麻烦，特别是目标函数为多项相加．随着水库与居民区个数的增加，程序会更加复杂．下面来研究更一般的编程方法．为此，需假定C 水库向丁地区的引入管理费用为无穷大，本例可用1000元／千吨来代替．使用Lingo 数学软件中的高级编程技巧进行求解，编写程序如下：model:sets:sk/1..3/:g;dq/1..4/:sl1,sl2;link(sk,dq):c,x;endsetsdata:c=160 130 220 170140 130 190 150190 200 230 1000;g=50 60 50;sl1=30 70 10 10;sl2=80 140 30 50;enddata[obj] max=@sum(link(i,j):x(i,j)*(450-c(i,j)));@for(sk(i):@sum(dq(j):x(i,j))<g(i));@for(dq(j):@sum(sk(i):x(i,j))>sl1(j));@for(dq(j):@sum(sk(i):x(i,j))<sl2(j));end程序运行结果完全相同．如果三个水库每天的最大供水量都提高一倍，只需将数据段中的供水量修改成：g=100 120 100；或者对第一个约束条件作简单修改，在小于号后面将供水量扩大2倍，其它条件不变．最后的运行结果为：A水库向乙区供水100千吨；B水库向甲、乙、丁区分别供水30，40，50千吨；C水库向甲、丙分别供水50，30千吨．总利润为88700元．评注：本例考虑的是将某种物资从若干供应点运往一些需求点，在供需量约束条件下使总费用最少，或总利润最大．这类问题一般称为运输问题．注意：本例目标函数采用的是最大利润，而非最小成本．一般来说，成本最小，未必利润最大．当总收入是常数时，最小成本与最大利润是等价的；若总收入随决策变量的改变而变化时，最小成本与最大利润并不等价．通常追求的目标应该是最大利润，而非最小成本．非线性规划在工程技术、经济管理、交通运输和日常生活等诸多领域中，很多实际问题可以归结为线性规划问题，其目标函数和约束条件都是自变量（决策变量）的一次函数（线性函数）．但是，还有另外一些问题，其目标函数和（或）约束条件很难用线性函数表达．如果目标函数或约束条件中包含有非线性函数，就称这种规划问题为非线性规划问题．由于计算机技术的快速发展，使非线性规划的理论及其应用在近几十年来得以长驱进展．特别是Lingo数学软件的开发与应用，对非线性规划模型的求解提供了很大的帮助．4.2.1问题的提出1.引例1液体原料混合问题某公司将4种不同含硫量的液体原料（分别记为甲、乙、丙、丁）混合生产两种产品（分别记为A 、B ）．按照生产工艺的要求，原料甲、乙、丁必须首先倒入混合池中混合，混合后的液体再分别与原料丙混合生产A 和B ．已知原料甲、乙、丙、丁的含硫量分别是3，1，2，1（%），进货价格分别为6，16，10，15（千元／吨）；产品A 、B 的含硫量分别不能超过，（%），售价分别为9，15（千元／吨）．根据市场信息，原料甲、乙、丙的供应没有限制，原料丁的供应量最多为50吨；产品A 、B 的市场需求量分别为100、200（吨），问应如何安排生产2.引例2最佳选址问题某乡镇由12个主要的自然村组成，每个自然村的位置（用平面坐标x ，y 表示，距离单位：km ）和自然村的人口数（R ）如表4-4所示． 试根据需要解决如下问题：⑴ 目前准备在该乡镇建一个服务网点为各村提供各种服务，那么服务网点应该建在何处⑵ 假设各村人口增长了一倍，需要建两个服务网点，确定其位置．表最佳选址问题0 1234567 89101112X y R0 0 600 1000 800 1400 1200 700600800 1000 1200 1000 11004.2.2模型建立1.引例1液体原料混合问题的模型建立设11,y z 分别是产品A 中来自混合池和原料丙的吨数；22,y z 分别是产品B 中来自混合池和原料丙的吨数；混合池中原料甲、乙、丁所占的比例分别为124,,x x x ，优化目标是总利润（z ）最大．目标函数为：11221212412max 9()15()10()(61615)()z y z y z z z x x x y y =+++-+-+++1241124212(961615)(1561615)(910)(1510)x x x y x x x y z z =---+---+-+-约束条件为：⑴原料最大供应限制：412()50x y y +≤⑵产品最大需求限制：1122100,200y z y z +≤+≤ ⑶产品最大含硫量限制：12411124221122(3)2(3)22.5, 1.5x x x y z x x x y z y z y z ++++++≤≤++⑷其它限制：12412411221,,,,,,,0x x x x x x y z y z ++=≥2.引例2最佳选址问题的模型建立 （1）模型一的建立设服务网点的坐标为：(,)a b ；自然村的位置坐标：(,),1,2,,12i i x y i =；自然村的人口数：,1,2,,12i r i =，服务网点到各自然村的距离为：,1,2,,12i d i =．以自然村的人口数作为距离的权重，优化的目标为总距离最小．目标函数为：121min i ii z rd==∑约束条件为：1,2,,12i d i ==（2）模型二的建立设两个服务网点的坐标分别为：(,),1,2i i a b i =；自然村的位置坐标：(,)j j x y ，1,2,,12j =；自然村的人口数：,1,2,,12j r i =；服务网点i 到自然村j 的距离为：,1,2;1,2,,12ij d i j ==；服务网点i 对自然村j 服务的人口数为：,1,2ij c i =；1,2,,12j =；(),1,2k i i =表示第i 个服务网点服务的人口数占人口总数的比例．以服务网点对自然村服务的人口数作为距离的权重，优化的目标为总距离最小．目标函数为：12211min (,)(,)j i z c i j d i j ===⋅∑∑约束条件：12112121(,)(,)()()=()2()(,)2()j j i d i j c i j e i e i k i r j c i j r j ===⎧=⎪⎪=⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪≥⎪⎩∑∑∑从以上两个引例可以总结出非线性规划的一般模型： 目标函数：12max(min)(,,,)n z f x x x =约束条件：1212(,,,)0,1,2,,(,,,)0,1,2,,i n j n h x x x i mg x x x j l ==⎧⎨≥=⎩目标函数为一般非线性函数，约束条件为一般非线性等式或非线性不等式．一般来说，目标函数与约束条件中只要有非线性项存在，即为非线性规划．特别地，若某非线性规划的目标函数为决策变量的二次函数，约束条件又全是线性的，就称这种规划为二次规划．4.2.3模型求解1.引例1液体原料混合问题的模型求解使用Lingo 数学软件进行求解，编写程序如下：max =(9-6*x1-16*x2-15*x4)*y1+(15-6*x1-16*x2-15*x4)*y2+(1-10)*z1+(15-10)*z2; x4*(y1+y2)<50;y1+z1<100;y2+z2<200;((3*x1+x2+x4)*y1+2*z1)/(y1+z1)<; ((3*x1+x2+x4)*y2+2*z2)/(y2+z2)<; x1+x2+x4=1; end用Lingo 求解时，如果怀疑不是全局最优解，用＂LINGO|OPTIONS ＂菜单命令启动＂Global Solver ＂选项卡上的＂Use Global Solver ＂选项，然后求解，可以得到全局最优解如下：24220.5,100x x y z ====，其余为0；目标函数值为450．如果将产品最大含硫量限制的约束条件作简单修改后，也可直接进行求解，并得到相同的结果．修改后的程序如下：max =(9-6*x1-16*x2-15*x4)*y1+(15-6*x1-16*x2-15*x4)*y2+(1-10)*z1+(15-10)*z2; x4*(y1+y2)<50;y1+z1<100;y2+z2<200;!((3*x1+x2+x4)*y1+2*z1)/(y1+z1)<; (3*x1+x2+**z1<0;!((3*x1+x2+x4)*y2+2*z2)/(y2+z2)<; (3*x1+x2+*y2+*z2<0; x1+x2+x4=1; end2.引例2最佳选址问题的模型求解针对模型一，使用Lingo 数学软件进行求解，编写程序如下： model :title :最佳选址（一）; sets :point/1..12/:x,y,r,dis; endsets data :X=0 ; Y=0 ;r=600 1000 800 1400 1200 700 600 800 1000 1200 1000 1100; enddata@for (point(i): dis(i)=((x(i)-a)^2+(y(i)-b)^2)^(1/2)); min =@sum (point: dis*r); end用Lingo 求解得到结果为： 3.601, 6.514a b ==．针对模型二，若取(1)(2)0.5k k==，使用Lingo数学软件进行求解，编写程序如下：model:title:最佳选址（一）;sets:point/1..12/:x,y,r;weizhi/1..2/:a,b,e;link(weizhi,point):c;endsetsdata:X=0 ;Y=0 ;r=600 1000 800 1400 1200 700 600 800 1000 1200 1000 1100;enddatasubmodel xuanzhi:min=@sum(link(i,j): c(i,j)*((a(i)-x(j))^2+(b(i)-y(j))^2)^(1/2));@for(weizhi(i): @sum(point(j):c(i,j))=e(i));@for(point(j): @sum(weizhi(i):c(i,j))) >2*r(j));endsubmodelcalc:e(1)=@sum(point:r);e(2)=@sum(point:r);@solve(xuanzhi);@ole('选址.xls','最佳位置a')=a;@ole('选址.xls','最佳位置b')=b;@ole('选址.xls','最优方案')=c;EndcalcEnd用Lingo求解得到结果为：两个服务网点的位置坐标为：(1.92,7.70)；(5.70,5.00)各服务网点服务人数对照表见表4-5．表服务人数对照表（限制服务网点的服务人数相同）1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 人口总数（千人）网点1 网点2 02 00 020 2针对模型二，若不考虑服务网点服务人数的限制，使用Lingo数学软件进行求解，编写程序如下：model:title:最佳选址（一）;sets:point/1..12/:x,y,r;weizhi/1..2/:a,b,e;link(weizhi,point):c;endsets data :X=0 ; Y=0 ;r=600 1000 800 1400 1200 700 600 800 1000 1200 1000 1100; enddatasubmodel xuanzhi:min =@sum (link(i,j): c(i,j)*((a(i)-x(j))^2+(b(i)-y(j))^2)^(1/2)); !@for(weizhi(i): @sum(point(j):c(i,j))=e(i)); @for (point(j): @sum (weizhi(i):c(i,j))>2*r(j)); endsubmodel calc :!e(1)=@sum(point:r); !e(2)=@sum(point:r); @solve (xuanzhi);@ole ('选址.xls','最佳位置a')=a; @ole ('选址.xls','最佳位置b')=b; @ole ('选址.xls','最优方案')=c; endcalc用Lingo 求解得到结果为：两个服务网点的位置坐标为：(6.434,3.411)；(2.540,7.936)，各服务网点服务人数对照表见表4-6．表服务人数对照表（服务网点服务人数不限制）1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 人口总数（千人）网点1 网点2 0 0 2 0 0 0 0 0 0 2 0 024.2.4应用实例例1求解二次规划：221212min 810z x x x x =+--12326x x +≤120,0x x ≥≥解 本例编写简单的Lingo 程序即可求解，编写Lingo 程序如下：max =8*x1+10*x2-x1^2-x2^2;3*x1+2*x2<6; 求解结果为：120.308, 2.538x x ==；目标函数值为：min 21.308z =例2 一个飞行管理问题在约10,000米高空的某边长160公里的正方形区域内，经常有若干架飞机作水平飞行．区域内每架飞机的位置和速度向量均由计算机记录其数据，以便进行飞行管理．当一架欲进入该区域的飞机到达区域边缘时，记录其数据后，要立即计算并判断是否会与区域内的飞机发生碰撞．如果会碰撞，则应计算如何调整各架（包括新进入的）飞机飞行的方向角，以避免碰撞．现假定条件如下：⑴不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于8公里；⑵飞机飞行方向角调整的幅度不应超过30度；⑶所有飞机飞行速度均为每小时800公里；⑷进入该区域的飞机在到达区域边缘时，与区域内飞机的距离应在60公里以上；⑸最多需考虑6架飞机；⑹不必考虑飞机离开此区域后的状况．请你对这个避免碰撞的飞行管理问题建立数学模型．列出计算步骤，对以下数据进行计算（方向角误差不超过度）．要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小．设该区域4个顶点的座标为(0,0)，(160,0)，(160,160)，(0,160)．记录数据为：飞机编号横座标x 纵座标y 方向角（度）1 150 140 2432 85 85 2363 150 1554 145 50 1595 130 150 230新进入 0 0 52注：方向角指飞行方向与x轴正向的夹角．试根据实际应用背景对你的模型进行评价与推广．解模型一：圆状模型下面是本例圆状模型建模的全过程．１.问题分析根据题目的条件，可将飞机飞行的空域视为二维xoy平面中的一个正方形区域，顶点(0,0)，(160,0)，(160,160)，(0,160)．各架飞机的飞行方向角为飞行方向与x 轴正向夹角（转角）．根据两飞机不碰撞的标准为二者距离大于8km，可将每架飞机视为一个以飞机坐标点为圆心、以4km为半径的圆状物体（每架飞机在空域中的状态由圆心的位置矢量和飞行速度矢量确定）．这样两架飞机是否碰撞就化为两圆在运行过程中是否相交的问题．两圆是否相交只要讨论它们的相对运动即可．2.模型假设⑴飞机进入区域边缘时，立即作出计算，每架飞机按照计算后的指示立即作方向角改变；⑵每架飞机在整个过程中至多改变一次方向；⑶忽略飞机转向的影响(转弯半径和转弯时间的影响)；⑷新飞机进入空域时，已在空域内部飞行的飞机的飞行方向已调合适，不会碰撞；⑸对每架飞机方向角的相同调整量的满意程度是一样的．3.模型的建立符号说明：i，j表示第i，第j架飞机的圆心；表示第i架飞机与第j架飞机的碰撞角，是两圆公切线的夹角中指向圆的那个ij角的一半，ij ji αα=；ij v 表示第i 架飞机相对于第j 架飞机的相对飞行速度； ij r 表示第i 架飞机与第j 架飞机的圆心距；ij β表示第i 架飞机对于第j 架飞机的相对速度与两架飞机圆心连线的夹角．规定以第i 架飞机为原点，i →j 连线从i 指向j 为正方向，逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角；AB ，CD 为两圆的公切线，//,//im AB in CD ． 另外再引入记号：i θ表示第i 架飞机的飞行方向与x 轴正向的夹角（转角）；(,)i i x y 表示第i 架飞机在坐标系中的位置矢量； i v 表示第i 架飞机的飞行速度矢量．由前面的分析将飞机作为圆状模型进行研究．两圆不相交，则表明不会发生碰撞事故；若两圆相交，则表明会发生碰撞事故．为了研究两飞机相撞问题，采用相对速度作为研究对象，因为飞机是否相撞的关键是相对速度，图4-1给出任意两架飞机间的关系．图4-1 第i 架飞机与第j 架飞机的碰撞角由图4-1中的关系得到两飞机不相撞（两圆不相交）的充要条件是||||ij ij βα>．当||||ij ij βα≤时，则通过调整两架飞机的方向角i θ，j θ，使飞机不相撞．首先讨论相对飞行速度的方向角ij β的改变量ij β∆与第i 、第j 架飞机方向角的改变量i θ∆， j θ∆的关系．由题目条件知，对于第i 架飞机：||800i v km A ==．设第i ，j 架飞机改变飞行方向前的速度分别为：i 1i i v Ae θ=，i 1j j v Ae θ=；改变飞行方向后的速度分别为：i()2i i i v Ae θθ+∆=，i()2j j j v Aeθθ+∆= ．则飞行方向改变前后的相对速度分别为：i i 111()j i ij i j v v v A e e θθ=-=- i()i()222()j j i i ij i j v v v A e e θθθθ+∆+∆=-=-2i()i()i 1i ()()j j i i j i ijij v A e e v A e e θθθθθθ+∆+∆-=-cos()isin()cos()isin()cos isin cos isin i i i i j j j j i j j jθθθθθθθθθθθθ+∆++∆-+∆-+∆=+--2sin(sin i cos)222sin(sini cos)222i i j ji i j ji i j ji j i ji jθθθθθθθθθθθθθθθθθθ+∆--∆+∆++∆+∆++∆-=-++-i2sin 2sin 2i ji i j ji jeθθθθθθθθ∆+∆+∆--∆=-即2ij v 与1ijv 辐角相差2i jθθ∆+∆．将其归纳为：定理 对第i ，j 架飞机，其相对速度方向角的改变量ij β∆等于两飞机飞行方向角的改变量之和的一半2i jθθ∆+∆．由题目的要求调整飞行方向角时不能超过30°，即|i θ∆|≤30 , i=1,2,…,6． 要保证调整飞行方向后飞机不碰撞，应有： ||ij ij ij ββα+∆≥ 于是可得如下非线性规划模型： 目标函数：621min ||i i θ=∆∑约束条件：||,,1,2,,6,2||301,2,,6ij ij ij i j ij i i j i j i ββαθθβθ+∆≥=≠⎧⎪∆+∆⎪∆=⎨⎪∆≤=⎪⎩， 其中ij β，ij α可由题中已知的参数计算得到：=arcsin(8/)ij ji ij r αα=；ij r =22sin sin arctan arctan cos cos i j j i ij i jj iy y x x θθβθθ--=--（）-（）； 其中，2arctan b a （）与arctan b a （）的区别为：2arctan ba（）表示取值位于π-到π之间的辐角：可根据点(,)a b 所在的象限确定．由此计算得到的ij β取值位于2π-到2π之间，还需要将它转换到π-到π之间（超过π时就减去2π；小于π-就加上2π）．4.模型求解计算任两架飞机间的参数ij β，编写Matlab 指令如下： clear,clcx=[ 150 140 243;85 85 236;150 155 ;... 145 50 159;130 150 230;0 0 52]; x0=x(:,1); y0=x(:,2);xita=x(:,3)*pi/180; b=zeros(6); for i=1:6for j=i+1:6x11=cos(xita(i))-cos(xita(j)); x12=sin(xita(i))-sin(xita(j)); if x11>=0b(i,j)=atan(x12/x11); elseif x12>=0b(i,j)=pi+atan(x12/x11); elseif x12<0b(i,j)=-pi+atan(x12/x11); endx21=x0(j)-x0(i); x22=y0(j)-y0(i); if x21>=0b(i,j)=b(i,j)-atan(x22/x21); elseif x22>=0b(i,j)=b(i,j)-atan(x22/x21)-pi;elseif x22<0b(i,j)=b(i,j)-atan(x22/x21)+pi;endif b(i,j)>pib(i,j)=b(i,j)-2*pi;elseif b(i,j)<-pib(i,j)=b(i,j)+2*pi;endendendb=b*180/pi;save beta b计算结果见表4-7．β的值表使用Matlab计算得到的ij1 2 3 4 5 612３４５６α可以在Lingo中直接计算．编写求解该问题的Lingo程序如下：对于ijmodel:title:飞行管理问题的非线性规划模型一;sets:plane/1..6/:x0,y0,d_cita;! d_cita为调整的角度;link(plane,plane)|&1#lt#&2:alpha,beta;endsetsdata:x0,y0=150 14085 85150 155145 50130 1500 0 ;beta=; enddata !计算alpha;@for (link(i,j):@sin (alpha*3./180)=8/((x0(i)-x0(j))^2+(y0(i)-y0(j))^2)^.5); @for (link(i,j):@abs (beta(i,j)+*d_cita(i)+*d_cita(j))>alpha(i,j);); @for (link:@bnd (0,alpha,90));@for (plane:@bnd (-30,d_cita,30)); [obj]min =@sum (plane:(d_cita)^2); end5.结果检验对题目所给实例进行计算得如下调整方案：10θ∆=， 20θ∆=， 3 2.062465θ∆=， 4-0.4954514θ∆=， 50θ∆=， 6 1.567013θ∆=．各飞行方向角按此方案调整后，系统各架飞机均满足||ij ij βα>（即不会相撞）．其中有些飞机对可能会有||0.01ij ij βα-<（°是题目要求的计算精度）．如果希望||0.01ij ij βα≥+，只须将模型中的ij α用0.01ij ij αα=+代替即可．6.模型评价与改进此模型采用圆状模型分析碰撞问题是合理的，同时采用相对速度作为判断标准，既体现了碰撞的本质（相对运动），又简化了模型的计算．题目要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小，这个尽量小是针对每架飞机而言的，同时也要求整体满意程度（即对管理层而言，应使每架飞机的调整都尽量的小）．因此构造目标函数时，也可以认为若对方向角调整量最大的飞机而言，其调整量可满意，则由假设（5）对其余飞机调整量均可满意．即要求每架飞机的调整量都小于某个数θ(0)θ≥．故目标函数也可取：min θ．于是可得如下线性规划模型：目标函数：min θ约束条件：||,,1,2,,6,2||301,2,,6||1,2,,6ij ij ij i j iji i i j i j i i ββαθθβθθθ+∆≥=≠⎧⎪∆+∆⎪∆=⎪⎨⎪∆≤=⎪∆≤=⎪⎩，， 模型二： 最短距离模型１.问题分析目标函数的选取与模型一相同．进入该区域的飞机在到达该区域边缘时，与区域内的飞机的距离应在60km 以内，很容易验证目前所给数据是满足的，因此，约束条件只需要限制任意两架位于该区域内的飞机的距离应大于8km ．但这个问题的难点在于飞机是动态的，这个约束不好直接描述．为此，可以考虑在飞行过程中任意两架飞机的最短距离大于8km 即可．飞行时间可以只考虑一架飞机飞越该区域所需的最长时间，若超过这个时间，即使两架飞机的最短距离小于8km ，由于飞机已经离开该区域，因此不再予以考虑．2.模型假设 与模型一相同．3.模型的建立 符号说明：i θ表示第i 架飞机的飞行方向与x 轴正向的夹角（转角）；00(,)i i x y 表示第i 架飞机在调整前的位置坐标； (,)t t i i x y 表示第i 架飞机t 时刻的位置坐标； t 表示飞机的飞行时间； v 表示飞机的飞行速度；i T 表示第i 架飞机飞出区域的时刻；max T 表示任意一架飞机在该区域内停留的最长时间； min{,}ij i j T T T =；*ijt 表示第i 架飞机与第j 架飞机距离最短的时刻； i θ表示第i 架飞机的飞行方ij r 表示第i 架飞机与第j 架飞机的距离；2()[]64ij ij f t r =-记飞机飞行速率为v ，以当前时刻为0时刻，设第i 架飞机在调整前的位置坐标为00(,)i i x y ，t 时刻的位置坐标(,)t t i i x y ，即00cos ,sin t t i i i i i i x x vt y y vt θθ=+=+如果要严格表示两架位于该区域内的飞机的距离应大于8km ，则需要考虑每架飞机在区域内到为飞行时间的长度．记i T 为第i 架飞机飞出区域的时刻，即00min{0:cos 0,160;sin 0,160}i i i i i T t x vt y vt θθ=>+=+=记t 时刻第i 架飞机与第j 架飞机的距离为ij r ，并记2()[]64ij ij f t r =-，这时在区域内飞机不相撞的约束条件就变成了2()[]640,(0)ij ij ij f t r t T =-≥≤≤ 其中min{,}ij i j T T T = 此外，经过计算可以得到：002002()(cos cos )(sin sin )64ij i i j j i i j j f t x vt x vt y vt y vt θθθθ=+--++---2ij ij ij ij z b z c =++其中2sin2i jij z vt θθ-=00002[()sin()cos22i ji jij i j i j b x x y y θθθθ++=--+-002002()()64ij i j i j c x x y y =-+--所以，()ij f t 是一个关于ij z 的二次函数，当2ij ij b z =-，即/4sin2i jij t b v θθ-=-（记为*ij t ）时，函数()ij f t 取最小值2/4ij ij b c -+．若*0ij t <，只要初始时刻不相撞即可，此时满足条件，不需要限制； 若*ij ij t T ≥，只需要()0ij ij f T ≥即可；若*0ij ij t T <<，*2()/40ij ij ij ij f t b c =-+≥即可，即．实际上，()0ij ij f T ≥在*0ij ij t T <<时也成立，因此，可以不再附加*ij ij t T ≥的条件，于是可得如下非线性规划模型：目标函数：621min ||i i θ=∆∑约束条件：2*||301,2,,6()040,(0)i ij ij ijij ij ij i f T b c t T θ⎧∆≤=⎪≥⎨⎪-≤<<⎩，4.模型求解由于ij T 的计算相当复杂，求解时可进一步简化：不单独考虑每架飞机在区域内停留的时间，而以最大时间max 0.283()T h ==代替，此时所有max =ij T T ．实际上强化了问题的要求，即考虑了有些飞机可能已经飞出区域，但仍不允许两架飞机的距离小于8km ．这个简化的模型可以如下输入Lingo软件：model:title: 飞行管理问题的非线性规划模型二;sets:plane/1..6/:x0,y0,cita0,cita1,d_cita;!cita0表示初始角度，cita1为调整后的角度，d_cita为调整的角度;link(plane,plane)|&1#lt#&2:b,c;endsetsdata:x0,y0,cita0=150 140 24385 85 236150 155145 50 159130 150 2300 0 52;max_cita=30;t_max=;v=800;pi=3.;enddatainit:d_cita=0 0 0 0 0 0;endinit@for(plane:cita1-cita0=d_cita);@for(link(i,j):b(i,j)=-2*(x0(i)-x0(j))*@sin((cita1(i)+cita1(j))*pi/360)+2*(y0(i)-y0(j))*@cos((cita1(i)+cita1(j))*pi/360);c(i,j)=(x0(i)-x0(j))^2+(y0(i)-y0(j))^2-64;);!避免碰撞的条件;!右端点非负;@for(link(i,j):[right](2*v*t_max*@sin((cita1(i)-cita1(j))*pi/360))^2+b(i,j)*(2*v*t_max*@sin((cita1(i)-cita1(j))*pi/360))+c(i,j)>0);!左端点非负;@for(link(i,j):c(i,j)>0);!最小点非负;@for(link(i,j):[minimum]@if(-b(i,j)/4/v/@sin((cita1(i)-cita1(j))*pi/360)#g t#0#and#-b(i,j)/4/v/@sin((cita1(i)-cita1(j))*pi/360)#lt#t_max,b(i,j)^2-4*c(i,j),-1)<0);!@for(link(i,j):b(i,j)^2-4*c(i,j)<0);@for(link:@free(b));。
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Global optimal solution found.
Objective value:
3360.000
Total solver iterations:
2
Variable Value
Reduced Cost
X1 20.00000
0.000000
X2 30.00000
0.000000
Row Slack or Surplus Dual Price
1 3360.000
1.000000
MILK 0.000000
48.00000
TIME 0.000000
2.000000
CPCT 40.00000
0.000000
20桶牛奶生产A1, 30桶生产A2，利润3360元.
结果解释
model:
Global optimal solution found.
max = 72*x1+64*x2; Objective value:
X2 30.00000
0.000000
Row Slack or Surplus Dual Price 影子价格
1 MILK TIME
3360.000 0.000000 0.000000
1.000000 48.00000
原料增加1单位, 利润增长48
2.000000 时间增加1单位, 利润增长2
CPCT 40.00000 0.000000 加工能力增长不影响利润
本节课题
例1 加工奶制品的生产计划
问 题
1桶 牛奶 或
12h
8h
3kgA1 4kgA2
获利24元/kg 获利16元/kg
每天： 50桶牛奶 时间480h
至多加工100kgA1
制订生产计划，使每天获利最大
• 35元可买到1桶牛奶，买吗？若买，每天最多买多少? • 可聘用临时工人，付出的工资最多是每小时几元? • A1的获利增加到 30元/kg，应否改变生产计划？
数 线性规划
学 规
非线性规划
划 整数规划
重点在模型的建立和结果的分析
第 4.1 奶制品的生产与销售
四 4.2 自来水输送与货机装运章 4.3 汽车生 Nhomakorabea与原油采购
数 4.4 接力队选拔和选课策略
学 4.5 饮料厂的生产与检修
规 4.6 钢管和易拉罐下料
划 4.7 广告投入与升级调薪
模 型
4.8 投资的风险与收益
x1 x2 50
线性 规划
劳动时间
12 x1 8x2 480
模型
加工能力
3x1 100
(LP)
非负约束
x1, x2 0
模型分析与假设
比 xi对目标函数的“贡 例 献”与xi取值成正比
性 xi对约束条件的“贡 献”与xi取值成正比
可 加
xi对目标函数的“贡 献”与xj取值无关
性 xi对约束条件的“贡 献”与xj取值无关
第四章 数学规划模型
实际问题中 min(或max) z f (x), x (x1, , x n )T
的优化模型
s.t. gi (x) 0, i 1, 2, , m
x~决策变量
f(x)~目标函数 gi(x)0~约束条件
多元函数 条件极值
决策变量个数n和 约束条件个数m较大
最优解在可行域 的边界上取得
end
Row Slack or Surplus Dual Price
三 原料无剩余
1 3360.000 MILK 0.000000
1.000000 48.00000
种 时间无剩余
TIME 0.000000
2.000000
资 加工能力剩余40
CPCT 40.00000
0.000000
源 “资源” 剩余为零的约束为紧约束（有效约束）
• 35元可买到1桶牛奶，要买吗? 35 <48, 应该买！ • 聘用临时工人付出的工资最多每小时几元? 2元！
连续性 xi取值连续
线性规划模型
A1,A2每千克的获利是与各自 产量无关的常数
每桶牛奶加工A1,A2的数量, 时 间是与各自产量无关的常数
A1,A2每千克的获利是与相互 产量无关的常数
每桶牛奶加工A1,A2的数量,时 间是与相互产量无关的常数
加工A1,A2的牛奶桶数是实数
模型求解
图解法
Ax2
约 x1 x2 50
4.1 奶制品的生产与销售
企业生产计划
空间层次
工厂级：根据外部需求和内部设备、人力、原料等
条件，以最大利润为目标制订产品生产计划；
车间级：根据生产计划、工艺流程、资源约束及费 用参数等，以最小成本为目标制订生产批量计划.
时间层次 若短时间内外部需求和内部资源等不随时间变化，可 制订单阶段生产计划，否则应制订多阶段生产计划.
Global optimal solution found.
Objective value:
3360.000
结果解释
Total solver iterations:
2
最优解下“资源”增加
Variable Value X1 20.00000
Reduced Cost 1单位“效益”的增量 0.000000
l1 : x1 x2 50
l1
束 12 x1 8x2 480
l2 :12 x1 8x2 480
B
条 件
3x1 100
x1, x2 0
l3 : 3x1
l4 : x1 0,
目标 max z 72 x1 64 x2
函数 z=c (常数) ~等值线
100 l4
l5 : x2 0
O
c l5
基本 1桶
12h
模型 牛奶 或
8h
3kgA1 4kgA2
获利24元/kg 获利16元/kg
每天 50桶牛奶 时间480h
至多加工100kgA1
决策变量 目标函数
约束条件
x1桶牛奶生产A1 x2桶牛奶生产A2
获利 24×3x1
获利 16×4 x2
每天获利 max z 72 x1 64 x2
原料供应
l2 C z=3360 l3
D x1
z=0 z=2400
在B(20,30)点得到最优解.
目标函数和约束条件是线性函数 可行域为直线段围成的凸多边形 目标函数的等值线为直线
最优解一定在凸多边 形的某个顶点取得.
模型求解
软件实现
LINGO
model: max = 72*x1+64*x2; [milk] x1 + x2<50; [time] 12*x1+8*x2<480; [cpct] 3*x1<100; end
3360.000
[milk] x1 + x2<50; Total solver iterations:
2
[time]
Variable Value
Reduced Cost
12*x1+8*x2<480;
X1 20.00000
0.000000
[cpct] 3*x1<100;
X2 30.00000
0.000000