概率作业纸第三章答案

第三章 随机变量的数字特征

第一节 数学期望

一、选择

1. 掷6颗骰子，令X 为6颗骰子的点数之和，则()E X =（ D ）

（A ）42 （B ）21/2 （C ）7/2 （D ） 21

2. 对离散型随机变量X ，若有()k k P X x p == (1,2,3,)k = ，则当（ B ）时，

1

k

k k x

p ∞

=∑称为X 的数学期望。

（A ）

1

k

k k x

p ∞=∑收敛 （B ）1

k k k x p ∞

=∑收敛 （C ）{}k x 为有界函数 （D ）lim 0k k k x p →∞

=

二、填空

1. 设随机变量X 的概率密度为1,10,()1,01,0,x x f x x x +-≤≤⎧⎪

=-<≤⎨⎪⎩

其它，则()E X = 0 。

2. 设连续型随机变量X 的概率密度为,01,

()0,,

kx x f x α⎧<<=⎨⎩其它 其中,0k α>，又已知

()0.75E X =，则k = 3 ，α= 2 。 三、简答题

1.把4个球随机地放入4个盒子中去，设X 表示空盒子的个数，求()E X 。

解： ()4

446

0464A P X ===，()1234434361464C C A P X ===

()2444(22)212464C P X -===，()344

1

3464

C P X === 所以 ()6362118101236464646464

E X =⨯

+⨯+⨯+⨯= 2.设(,)X Y 的联合概率密度为212,01,

(,)0,

y y x f x y ⎧≤≤≤=⎨⎩其它，，求()(),E X E Y 。

解：()120

01

4

(,)125

x

y x E X xf x y dxdy xdx y dy ≤≤≤=

==

⎰⎰⎰⎰，同理()35E Y =。

第二节 随机变量函数的数学期望

一、填空

1. 设随机变量X 服从参数为1的指数分布，则数学期望()

2X

E X e

-+=4/3 。

2. 设随机变量X 服从二项分布(3,0.4)B ，则()

2

E X = 2.16 。

二、简答题

1.设随机变量X 和Y 相互独立，概率密度分别为

,0,()0,0,x X e x f x x -⎧>=⎨≤⎩ ,0,

()0,0,y Y e y f y y -⎧>=⎨≤⎩

求随机变量函数Z X Y =+的数学期望。

解：因为X 和Y 相互独立，所以,0,0,

(,)()()0,,x y X Y e x y f x y f x f y --⎧>>==⎨⎩其它

()()0

()x y E Z E X Y x y e dxdy +∞+∞

--=+=+⎰

⎰

x y x y xe dx e dy e dx ye dy +∞+∞

+∞

+∞

----=+⎰

⎰⎰⎰

112=+=。

2.按季节出售某种应时商品，每售出1 kg 获利润6元,如到季末尚有剩余商品，则每kg 净亏损2元，设某商店在季节内这种商品的销售量X （以kg 计）是一随机变量，X 在区间

()8,16内服从均匀分布，为使商店所获得利润最大，问商品应进多少货？

解： 设t 表示进货量，易知应取816t <<，进货t 所得利润记为()t W X ，且有

62(),8,()

()6,

16,()t X t X X t W X t t X --<<⎧=⎨

<<⎩有积压，无积压 利润()t W X 是随机变量，如何获得最大利润？自然取“平均利润”的最大值，即求t 使

得[]()t E W X 最大。X 的概率密度为1

,016,

(,)80,

x f x y ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它，

[]16

81()()()()8

t t t E W X W x f x dx W x dx +∞

-∞==

⎰⎰ []16

82

1162()688

1432

2t t x t x dx tdx t t =

--+=--⎰⎰

令

[]()140,t d W X t dt

=-= 得 14t =。

而

[]22

()10,t d E W X dt

=-<

故知当14t =时，[]()t E W X 取得极大值，且可知这也是最大值。 所以，进货14kg 时平均利润最大。

第三节 关于数学期望的定理

一、填空

1. 已知离散型随机变量X 服从参数为2的泊松分布2

2(),0,1,2,,!

k k e P X x k k -=== 则随机变量32Z X =-的数学期望()E Z = 4 。

2. 设X 服从泊松分布，已知[](1)(2)1E X X --=，则()E X = 1 。

3.设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数，，每次射中目标的概率为0.4，则2

X 的

数学期望()

2

E X = 18.4 。