离散数学论文 在1900年以前图论的起源和发展

在1900年以前图论的起源和发展

图论是组合数学的—个分支，与其他的数学分支，如群论、矩阵论、概率论、拓扑学、数值分析等有着密切的联系。图论中以图为研究对象，图形中我们用点表示对象，两点之间的连线表示对象之间的某种特定的关系。事实上，任何一个包含了某种二元关系的系统都可以用图形来模拟，而且它具有形象直观的特点。由于我们感兴趣的是两对象之间是否有某种特定关系，所以图形中两点间连接与否尤为重要，而图形的位置、大小、形状及连接线的曲直长短则无关紧要。

一、图论的起源

图论是一个古老的但又十分活跃的数学学科，也是一门很有实用价值的学科，它在自然科学、社会科学等各领域均有很多应用。近年来它受计算机科学蓬勃发展的刺激，发展极其迅速。应用范围不断拓广，已渗透到诸如语言学、逻辑学、物理学、化学、电讯工程、计算机科学以及数学的其它分支中。

1736年是图论的历史元年。这一年，欧拉研究了哥尼斯堡城的七桥问题，发表了图论的首篇论文。欧拉也因此被称为图论之父。

古老而美丽的哥尼斯堡城濒临蓝色的波罗的海，是著名的哲学家康德的出生地，城中有一条普莱格尔河，河的两条支流在这里汇合，然后横穿全城，流入大海。河水把城市分成4块，于是，人们建造了7座各具特色的桥，把哥尼斯堡城连成一体，如图1．1(a)所示。早在18世纪，这些形态各异的小桥吸引了众多的游客，游人在陶醉于美丽风光的同时，不知不觉间，脚下的桥触发了人们的灵感，一个有趣的问题在居民中传开。

谁能够从两岸A，B或两个小岛C，D中任一个地方出发一次走遍所有的7座桥，而且每座桥都只通过一次？这个问题似乎不难，谁都乐意用这个问题来测试一下自己的智力。可是，谁也没有找到一条这样的路线。这个问题极大的刺激了德意志人的好奇心，许多人热衷于解决这个问题，然而始终未能成功。“七桥问题”难住了哥尼斯堡城的所有居民。哥尼斯堡城也因“七桥问题”而出了名。这就是数学史上著名的七桥问题。问题看来不复杂，但谁也解决不了，也说不出其所以然来。

1736年，当时著名的数学家欧拉仔细研究了这个问题，他将上述四块陆地与七座桥间的关系用一个抽象图形来描述(见图1．1(b))，其中A、B、C、D分别用四个点来表示，而陆地之间有桥相连者则用连接两个点的连线来表示，这样，上述的哥尼斯堡七桥问题就变成了由点和边所组成的如下问题：试求从图中的任一点出发，通过每条边一次，最后返回到该点，这样的路径是否存在？于是问题就变得简洁明了多了，同时也更一般、更深刻。这样一来，七桥问题就转变为图论中的一个一笔画问题。即能不能一笔不重复的画出图1．1(b)中的这个图形。原先人们是要求找出一条不重复的路线，欧拉想，成千上万的人都失败了，这样的路线也许根本不存在。于是，欧拉接下来着手判断：这样不重复的路线究竟存不存在？由于这么改变了一下提问的角度，欧拉抓住了问题的实质。最后，欧拉认真考虑了一笔画图形的结构特征。欧拉发现，凡是能用一笔画成的图形，都有这样一个特点：每当用笔画一条线进入中间的一个点时，还必须画一条线离开这个

点。否则，整个图形就不可能用一笔画出。也就是说，单独考察图中的任何一点（起点和终点除外），这个点都应该与偶数条线相连；如果起点与终点重合，那么，连这个点也应该与偶数条线相连。

在七桥问题的几何图中，A、B、D三点分别与3条线相连，C点与5条线相连。连线都是奇数条。因此，欧拉断定：一笔画出这个图形是不可能的。也就是说，不重复地通过7座桥的路线是根本不存在的！天才的欧拉只用了一步就证明了这个难题，从这里我们也可以看到图论的威力有多么的强大！欧拉对七桥问题的研究，是拓扑学研究的先声。1750年，欧拉又发现了一个有趣的的现象。欧拉得到了后人以他的名字命名的“多面体欧拉公式”。正4面体有4个顶点、6条棱，它的面数加顶点数减去棱数等于2；正6面体有8个顶点、12条棱，它的面数加顶点数减去棱数也等于2。接着，欧拉又考察了正12面体、正24面体，发现都有相同的结论。于是继续深入研究这个问题，终于发现了一个著名的定理：这个公式证明了多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体五种。这个定理成为拓扑学的第一个定理，这个公式被认为开启了数学史上新的一页，促成了拓扑学的发展。

二、图论的发展

从19世纪中叶开始，图论进入第二个发展阶段。这一时期图论问题大量出现，诸如关于地图染色的四色问题、由“周游世界”游戏发展起来的哈密顿问题等。图的染色问题一直是图论研究的焦点问题。最早记载染色问题的是英国伦敦大学的数学教授德•摩根。

1852年，一位刚从伦敦大学毕业的学生费南西斯•古色利在研究英国地图时想到了一个奇怪的问题。这个问题被称为世界近代三大数学难题之一，这就是著名的“四色猜想”。问题的起源是这样的：古色利望着挂在墙上的英国地图发呆，他边数着英国的行政区域，边查找它们的位置，同时还注意各区域的地图着色，看着看着他突然发现，该地图仅用四种不同的颜色便可以将地图中相邻的区域分开。古色利无法解释这一现象，于是他写信给仍在大学读书的弟弟，让他向该校有名的数学家德•摩根请教。摩根首先注意到：区分地图上的不同区域少于四种颜色不行。但遗憾的是摩根本人也未能解决这个问题。于是向自己的好友、著名数学家哈密顿爵士请教。哈密顿接到摩根的信后，对四色问题进行论证。但直到1865年哈密顿逝世，问题也没有能够解决。

1878年，英国数学家凯莱在伦敦数学年会上正式提出该问题——平面或球面上的地图仅需四种颜色可以将任何相邻的两区域分开——且征求解答，人称“四色猜想”的问题便引起了世界数学界的重视。许多一流的数学家纷纷参加了四色猜想的大会战。1878—1880年，著名的律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理，大家都认为四色猜想从此也就解决了。但是数学家赫伍德仍然花费毕生精力致力于四色研究，前后整整60年，终于在1890年发表文章指出肯普证明中的错误，不过，赫伍德却成功地运用肯普的方法证明了五色定理，即一张地图能够用五种或者更少的颜色染色。不久，加拿大数学家托特又举出反例，否定了泰勒的证明。后来，越来越多的数学家虽然对此绞尽脑汁，但仍一无所获。于是，人们开始认识到，这个貌似简单容易的题目，其实是一个可以与费尔马猜想相媲美的难题。

我们看到，正是上述那些似乎没有多大意义的游戏的抽象与论证的方法，开创了图论科学的研究。遗憾的是，由于当时社会生产落后，对图论知识的要求甚寡，这一学科的发展颇为迟缓，甚至处于停滞状态。两百年以后，即1936年，匈牙利著名图论学家柯尼系发表《有限图与无限图理论》，这是图论的第一部专著，它总结了图论二百年的主要成果，是图论的重要里程碑。此后的五十多年，图论经历了一场爆炸性的发展，终于成长为数学科学中一门独立的学科。它的主要分支有图论、超图理论、极值图论、算法图论、网络图论和随机图论等。近二十年来，图论在科学界可以说是异军突起，活跃非常。