对一道数学高考题的探究

习题精选说题活动

垣曲中学高三数学组宁登云

课表要求

了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；

经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质；

了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质；能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题（直线与圆锥曲线的位置关系）和实际问题。

⑤通过圆锥曲线的学习，进一步体会数形结合的思想。

考纲要求：

了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；

掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质（范围、对称性、定点、离心率）；了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质（范围、对称性、定点、离心率、渐近线）；

了解曲线与方程的对应关系；

理解数形结合的思想；

了解圆锥曲线的简单应用；

学情分析及对策

抛物线是圆锥曲线中的一种，也是日常生活中常见的一种曲线.学生很早就认识了抛物线，知道斜抛物体的轨迹是抛物线，一些拱桥的桥拱形状是抛物线，一元二次函数的图像是抛物线等等

实体拓展及变化 原题再现

过抛物线2

2(0)y px p =>对称轴上一点(,0)A a (

a >线与抛物线相交于M 、N 两点，自M 、N 分别向直线

:l x a =-作垂线，垂足分别为1M 、1N .

(Ⅰ)当2

p

a =

时，求证：11AM AN ⊥. 二、证题分析 当2

p a =

时，点A 即为抛物线2

2(0)y px p =>的焦点，直线:l x a =-为抛物线2

2(0)y px p =>的准线.设211(,)2y M y p 、222(

,)2y N y p ，则11(,)2p M y -、12(,)2

p

N y -.要证明11AM AN ⊥，只需证明110AM AN ⋅=，即证明12(,)(,)0p y p y -⋅-=，故只需证

明2

120y y p +=，或者证明112

M AN π

∠=

.

三、题根追溯

1.(人教版第二册上第119页习题7)过抛物线2

2(0)y px p =>的焦点的一条直线和此

抛物线相交，两个交点的纵坐标分别为1y 、2y ，求证：2

12y y p =-.

2.(新课标选修2-1第70页例5)过抛物线焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，通过点A 和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D.求证：直线DB 平行于抛物线的对称轴.

该题虽然没有要求证明2

12y y p =-，但是要证明直线DB 平行于抛物线的对称轴，也就

是证明D 、B 两点的纵坐标相同.因为D 、O 、A 三点共线，于是可用A 点的纵坐标表示D 点的纵坐标，从而得出A 、B 纵坐标的关系.

四、一题八证

(证法一)设11(,)M x y 、22(,)N x y ，则11(,)2p M y -

、12(,)2

p

N y -，于是有11(,)AM p y =-，12(,)AN p y =-.

显然直线ＭＮ的斜率不为０，于是可设直线ＭＮ的方程为2

p

x ty =+

.

由222p x ty y px ⎧

=+⎪⎨⎪=⎩

，得2220y pty p --=. 因为1y 、2y 是方程22

20y pty p --=的两个根，由韦达定理可得212y y p =-，所以

有2111212(,)(,)0AM AN p y p y p y y ⋅=-⋅-=-+=，即11AM AN ⊥.

(证法二)设211(,)2y M y p 、2

22(,)2y M y p

. 因为M 、A 、N 三点共线，所以//AM AN .所以221221(

)()02222

y y p p

y y p p ---=，整理得2

12y y p =-.从而有2111212(,)(,)0AM AN p y p y p y y ⋅=-⋅-=-+=，即11AM AN ⊥.

(证法三)由抛物线的定义可得11MN MA AN MM NN =+=+.

设211(,)2y M y p 、222(,)2y M y p ，则11(,)2p M y -、12(,)2

p N y -. 将MN MA AN =+

222122y y p p p

=++.整理

得

2212()0

y y p +=，于是有

2

12y y p =-.从而有

2111212(,)(,)0AM AN p y p y p y y ⋅=-⋅-=-+=，即11AM AN ⊥.

(证法四)设A 点内分MN 的比为λ，于是有22

1212

221201y y p p p y y

λλλλ

⎧+⎪⎪=⎨+⎪+⎪=+⎩.消去λ得2

12y y p =-.

从而有2111212(,)(,)0AM AN p y p y p y y ⋅=-⋅-=-+=，即11AM AN ⊥.

(证法五)由新课标选修2-1第70页例5可知1M 、M 的纵坐标相同.由N 、O 、1M 三点共

线

，

得

2

12

p y y =-

，即

2

12y y p =-.从而有

2111212(,)(,)0AM AN p y p y p y y ⋅=-⋅-=-+=，即11AM AN ⊥.